| Autor |
  Simultane Kongruenz |
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elias114
Aktiv 
Dabei seit: 15.09.2021
Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2022-02-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}
\newcommand{\deg}{\operatorname{deg}}\)
Hallo,
ich habe folgendes Kongruenzsystem gegeben:
$$\begin{align*}
x &\equiv 4 \mod 6 \qquad (1) \\
x &\equiv 2 \mod 8 \qquad (2)
\end{align*}$$
Nach Chinesischem Restsatz ist $(1)$ ja äquivalent zu
$$\begin{align*}
x &\equiv 0 \mod 2 \\
x &\equiv 1 \mod 3
\end{align*}$$
Wenn jedoch $x$ eine Lösung von $(2)$ ist, so auch von $x \equiv 0 \mod 2$.
Reicht es also, das Kongruenzsystem
$$\begin{align*}
x &\equiv 1 \mod 3 \\
x &\equiv 2 \mod 8
\end{align*}$$
zu betrachten? Ist es äquivalent zum gegebenen?
Viele Grüße\(\endgroup\)
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-25
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\quoteon(2022-02-25 18:47 - elias114 im Themenstart)
Wenn jedoch $x$ eine Lösung von $(2)$ ist, so auch von $x \equiv 0 \mod 2$.
\quoteoff
Nein: $x = 1$ ist ein Gegenbeispiel für diese Aussage.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4407
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-02-25
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\quoteon(2022-02-25 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Nein: $x = 1$ ist ein Gegenbeispiel für diese Aussage.
\quoteoff
Das kann kein Gegenbeispiel sein, da $x=1$ keine Lösung von $x\equiv2\pmod 8$ ist.
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-25
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Ups, ich hatte mich bei der Zeile (2) vertan.
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elias114
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2021
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}
\newcommand{\deg}{\operatorname{deg}}\)
\quoteon(2022-02-25 19:20 - zippy in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-02-25 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Nein: $x = 1$ ist ein Gegenbeispiel für diese Aussage.
\quoteoff
Das kann kein Gegenbeispiel sein, da $x=1$ keine Lösung von $x\equiv2\pmod 8$ ist.
\quoteoff
Dass aber $x \equiv 2 \mod 8 \implies x \equiv 0 \mod 2$ für $x \in \Z$ gilt, dürfte doch richtig sein.\(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4407
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-26
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\quoteon(2022-02-26 10:45 - elias114 in Beitrag No. 4)
Dass aber $x \equiv 2 \mod 8 \implies x \equiv 0 \mod 2$ für $x \in \Z$ gilt, dürfte doch richtig sein.
\quoteoff
Ja, das ist recht offensichtlich.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-02-26
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\quoteon(2022-02-25 18:47 - elias114 im Themenstart)
ich habe folgendes Kongruenzsystem gegeben:
$$\begin{align}
x &\equiv 4 \mod 6 \\
x &\equiv 2 \mod 8
\end{align}$$
Nach Chinesischem Restsatz ist $(1)$ ja äquivalent zu
$$\begin{align*}
x &\equiv 0 \mod 2 \\
x &\equiv 1 \mod 3
\end{align*}$$
\quoteoff
Meinst du mit (1) die beiden Ausgangsgleichungen? Dann ist das nicht äquivalent. x = 4 erfüllt die beiden zweiten Gleichungen, nicht aber die beiden ersten.
Edit: Erst jetzt sehe ich, dass ganz rechts die Nummerierung der Zeilen steht.
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elias114
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2021
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-26
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\quoteon(2022-02-26 11:51 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6)
Edit: Erst jetzt sehe ich, dass ganz rechts die Nummerierung der Zeilen steht.
\quoteoff
Ich gebe zu, es ist etwas undurchsichtig, ich habe die Nummerierung jetzt etwas deutlicher gemacht.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3690
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-02-26
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Wenn ich das richtig sehe, dann wurde die eigentliche Frage bisher noch nicht beantwortet:
Alle Behauptungen aus dem Themenstart sind richtig.
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elias114
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2021
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-26
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\quoteon(2022-02-26 13:13 - Nuramon in Beitrag No. 8)
Wenn ich das richtig sehe, dann wurde die eigentliche Frage bisher noch nicht beantwortet:
Alle Behauptungen aus dem Themenstart sind richtig.
\quoteoff
Danke!
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2063
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.10, eingetragen 2022-02-26
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\(\begin{bmatrix}x\equiv4\,\mod6\\x\equiv2\,\mod8\end{bmatrix}\;\equiv\;\begin{bmatrix}x\equiv0\,\mod2\\x\equiv1\,\mod3\\x\equiv2\,\mod8\end{bmatrix}\;\equiv\;\begin{bmatrix}x\equiv1\,\mod3\\x\equiv2\,\mod8\end{bmatrix}\)
[Falls man das - noch - so schreiben darf.]
Auch nach meinem Dafürhalten ist das in Ordnung.
Als notwendige Bedingung hat sich mir eingeprägt,
dass sich das \(kgV\) der Modulo-Basen im Zuge der
Umformung(en) nicht verändern darf.
Halbiert man die Modulo-Basis \(6\) auf \(3\) und wendet
auf den Rest modulo 6 die Modulo-3-Operation an,
so erhält man eine folgerichtige Aussage, "verliert"
jedoch an Einschränkung, dass die \(x\) gerade sein
müssen. Das "behebt" die hinzugenommene Modulo-
2-Kongruenz. Da letztere aber ihrerseits folgerichtiger
Schluss aus der Modulo-8-Kongruenz ist, kann sie
wieder entfallen.
\(\begin{bmatrix}x\equiv8\,\mod21\\x\equiv22\,\mod35\end{bmatrix}\;\equiv\;\begin{bmatrix}x\equiv2\,\mod3\\x\equiv1\,\mod7\\x\equiv2\,\mod5\\x\equiv1\,\mod7\end{bmatrix}\;\equiv\;\begin{bmatrix}x\equiv1\,\mod7\\x\equiv2\,\mod15\end{bmatrix}\)
... wäre eine artverwandte Umformung.
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