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 Paralleluniversum Collatz [2]: modulobasierte Expansion |
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cramilu
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 |  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16
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Dieser Tag ist für mich geprägt von Eindrücken, welche mir
Reinhard Meys »Irgendein Depp bohrt irgendwo immer«
in Erinnerung gerufen haben: Laubbläser, Rasenmäher,
Bohrhammer, Fliesensäge, Fichtenmoped, Häcksler, ...
Nirgends kann man in Ruhe konzentriert etwas tun - also
Kopfhörer auf und am PC herumgehackt!
gonz, schön, was Du da in der Mache hast!
Wenn Du magst, dann schau' Dir doch bitte zu jeder gelben
jeweils auch ihren oberen und unteren Nachbarn an, denn
ggf. war ich ja irgendwo fahrig nachlässig bis voreilig.
In meiner aktuellen Betrachtung für \(d=22\) habe ich -
extra für Dich 😉 - ein, zwei schon grundbemutmaßte
vorsichtshalber doch auf GELB gelassen.
Ich betone nochmals aufrichtig, dass mir ein zuverlässiges
Zerstören leuchtgrüner Träume fast noch "lieber" ist als
Rettungsversuche für die gelben! 😄
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gonz
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 | Beitrag No.41, eingetragen 2022-07-18
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Aaaalso... wenn ich es recht verstanden habe, dann müssen die Grasgrünen für alle Startwerte in genau einen Zyklus enden, es gibt weder divergierende Startwerte noch mehr als einen Zyklus.
Dazu scheint mir bei D=10 A=18 B=2 der Startwert 65 verdächtig, ich sehe nicht, dass der wieder in den bis dato einzigen Zyklus einbiegt...
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gonz
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| Beitrag No.42, eingetragen 2022-07-19
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Und noch ein Nachtrag... D=11 A=14 B=8 ist der Startwert 755 ebenfalls verdächtig.
Irgendwie... befinden wir uns ohne Boden unter den Füßen auf dem Weg in den Sumpf ?
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gonz
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| Beitrag No.43, eingetragen 2022-07-19
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Oder andersherum... Glaube Hoffnung Zuversicht... Für die Froschgrünen habe ich - bezogen auf die Grafik in Post #36 - keine weiteren Verdachtsfälle gefunden, das Programm ist gerade durchgelaufen.
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cramilu
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| Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-19
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Verdachtsfälle dankend hingenommen:
Damit könnte dann meine Vermutung #4 bezüglich \(d=11,22,44,88,...\)
erst einmal hinfällig sein.
Wenn man sich nun auf die obere Hälfte der Übersicht konzentriert,
dann ließe es sich auch wie folgt darstellen:
Bevor ich das dann nähere erläutern werde, möchte ich - auch für
neuerlich Hinzugekommene - etwas repetieren...
Der empfehlenswerte englischsprachige WIKIPEDIA-Artikel zum Problem
- »Collatz conjecture« - hat erst jüngst wieder Bearbeitungen erfahren;
der deutschsprachige Artikel - »Collatz-Problem« - sogar erst heute.
Was eine einheitliche stimmige Notation anbelangt, scheint man sich
immer noch nicht einig. Das braucht uns hier aber nicht zu kümmern,
denn wir wissen ja, worum es geht!
Hauptkniff bei »Collatz«: Ungerade Zwischenwerte im nächsten Schritt
zwingend wieder gerade machen. Also durch 2 teilbar. Dass es sich dann
bei der in der Bildungsvorschrift addierten Eins eben auch um den Rest
modulo 2 handelt, war schon lange klar. Worum es mir hier geht, ist
eine entsprechend verallgemeinerte Betrachtung für Teiler \(d>2\) .
Bei »Collatz« treten bloß zwei Fälle auf, nämlich einer für Modulo-Rest
Null, und der andere für Modulo-Rest Eins - also nicht Null.
Derart konzentriert mochte ich es für \(d>2\) auch betrachten!
Warum \(a=d+1\) als untere Schranke für den Expansionsfaktor?
\showon
Bei »Collatz« stellen Viererpotenzen eine Art 'Fangzaun' für den
Entwicklungskollaps dar - sobald durch einen 'Ausgleichschritt' \(4\),
\(16\), \(64\), \(256\) ... erreicht wird, kommt es hernach zu unmittelbar
wiederholten Halbierungen. Das Augenmerk rückt also eher hin
zum Expansionsfaktor \(3\) für zwischenzeitliche Vervielfachung.
Schätzt man das Ganze grob ab, indem man jeweils zwei direkt
aufeinander folgende Entwicklungsschritte beäugt, so ergibt sich
bei »Collatz« ein 'Grobwachstum' von \(\frac{a}{d}=\frac{3}{2}=1,5>1\) .
Und dieses vermag dann der 'Fangzaun' zum Kollaps zu führen.
Betrachtungen für \(\frac{a}{d}\leq1\) sind da intuitiv "unsexy", denn das
führt ja für \(\frac{a}{d}<1\) schon beim 'Grobwachstum' absehbar zur
'Schrumpfung'. Und für \(\frac{a}{d}=1\) muss absehbar jeder geeignete
nachgeschaltete Summand auch früher oder später so in den
'Fangzaun' führen, dass der Kollaps erfolgen wird.
Ergo: Lediglich \(\frac{a}{d}>1\) kann spannend sein!
\showoff
Warum \(a=2d-1\) als obere Schranke für den Expansionsfaktor?
\showon
Schon das 'Grobwachstum' von \(\frac{a}{d}=\frac{3}{2}=1,5>1\) bei »Collatz«
(siehe oben) erweist sich als tückisch.
Als ich dem Problem Anfang der 1990-er Jahre erstmalig im Rahmen
der Mathematik im Grundstudium Diplom-Informatik begegnet bin,
haben wir in unserer Übungsgruppe natürlich naseweis versucht,
uns selber ähnlich schicke Folgen auszudenken. Zu expansiven
Faktoren \(5\) oder größer (\(\frac{a}{d}>2\)) hatten wir keine finden können.
Und das dem einen oder anderen gewiss geläufige
\(f(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;\;n\;\;gerade \\
4\cdot n+4 & wenn\;\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\)
wächst zwar grob mit \(\frac{a}{d}=\frac{4}{2}=2\) und mündet dennoch für jeden
natürlichen Startwert \(n\) in die Sequenz ...\(8\);\(4\);\(2\);\(1\)[;\(8\)...] , ist aber
recht banal und schon intuitiv als streng collabil zu entlarven:
Jeder Startwert \(n\in\mathbb{N}_+\) liegt in einem Vierergrüppchen aufeinander
folgender natürlicher Zahlen - \(n\in\{4k+1;4k+2;4k+3;4k+4\}\)
mit \(k\in\mathbb{N}_0\) . \((4k+1)\) ist ungerade und entwickelt sich daher nach
drei Folgeschritten zu \((4k+2)\) , also zur nächst größeren Zahl im
selben Vierergrüppchen. \((4k+2)\) ihrerseits ist gerade und entwickelt
sich daher nach drei Folgeschritten zu \((4k+4)\) , also zur größten Zahl
im selben Vierergrüppchen. \((4k+3)\) ist wieder ungerade; nach drei
Folgeschritten entwickelt sie sich ebenfalls zu \((4k+4)\) .
Und was macht die? Sie landet nach zwei [weiteren] Folgeschritten
bei \((k+1)<(4k+1)\) , also in einem 'kleineren' Vierergrüppchen;
in Konsequenz bedeutet das, dass alle Startwerte früher oder später
im 'kleinsten' Vierergrüppchen \(\{1,2,3,4\}\) landen müssen!
Und dort? \(1\);\(8\);\(4\);\(2\);\(1\)[;\(8\)...] führt in eine Sequenz, welche bereits die
\(2\) und die \(4\) enthält. Und was macht die \(3\)? \(3\);\(16\);\(8\);\(4\);\(2\);\(1\)[;\(8\)...] - voilà!
Für \(\frac{a}{d}=2\) habe ich daher mit höchstens 'banaler Verwandtschaft'
gerechnet und mich demzufolge für die Modulo-Betrachtungen auf
\(1<\frac{a}{d}<2\) konzentriert.
\showoff
Warum \(b=2d-a\) als Vorfaktor für die Rest-Addition?
\showon
Intuitiv ermittelt! 😎 Für \(d=3\) und \(a=4\) hatte ich schlicht überlegt,
dass \((3k+1)\cdot4=12k+3+1\) , und dass man demnach noch zweimal,
fünfmal, achtmal usw. den anfänglichen Rest \(1\) dazuzählen müsste, um
auf ein Vielfaches von \(3\) zu kommen. Für \((3k+2)\cdot4=12k+6+2\)
entsprechend zweimal, fünfmal, achtmal usw. den anfänglichen Rest
von \(2\). Mit dem kleinsten Wert, der Verdoppelung, habe ich angefangen.
Für \(d=3\) und \(a=5\) verliefen die Überlegungen ähnlich, und es hat
sich schnell gezeigt, dass der kleinste Wert immer \((2d-a)\) ist.
Wenn man etwas abziehen möchte, um die Teilbarkeit zu erzwingen,
ist entsprechend \((d-a)\) der einfachste Wert als Vorfaktor für den
Divisionsrest \(r\) .
\showoff
Da sich nun bis dato für die Modulo-Folgen in der unteren Hälfte der
tabellarischen Übersicht keine einzige streng collabile gefunden hat,
mochte ich in meiner zweiten Darstellung nur noch die 'oberen'
beleuchten, also diejenigen, bei denen am Ende ein Vielfaches des
Modulo-Restes dazugezählt wird.
Und als 'Beleuchtung' vom Ursprung aus kann man es denn auch
verstehen; mutmaßlich collabile Folgen im Beleuchtungskorridor
erscheinen grün, mutmaßlich divergente - und sei es auch noch so
'knapp' - rötlich. Die beiden grün gestrichelten Ursprungsgeraden
lassen sich als 'Trägerstrahlen' auffassen, auf deren Weg mehr als
eine streng collabile Folge liegt. Sie repräsentieren damit meine
Vermutungen #2 und #3.
Damit jedoch nicht genug! Stellt man sich nämlich jede dunkelgrüne
Position als Schachtdeckel mit Griff vor, so kann man den jeweiligen
Schacht öffnen und seinen Inhalt wie bei einem Apothekerschrank
nach oben ins Licht ziehen. Unter »\(3n+r\)« kommen dann etwa
auch noch alle »\(3n+3^k\)« gemäß meiner Vermutung #1 zum Vor-
schein, sowie z.B. unter »\(6n+4r\)« die mutmaßlich ebenfalls streng
collabilen »\(6n+9r\)« , »\(6n+24r\)« , »\(6n+54r\)« , »\(6n+64r\)« usw.
Die Zusammenhänge dabei ahne ich noch nicht wirklich... 🤔
Nachdem gonz erfolgreich »\(18n+2r\)« für \(d=10\) als Hochstaplerin
entlarvt hat, bleibt als bisherige 'Spitzenreiterin' mit \(\frac{a}{d}=\frac{7}{4}=1,75\)
»\(28n+4r\)« für \(d=16\) . Sie scheint indes keinen weiteren 'Trägerstrahl'
begründen zu können. Also auch keine weitere Vermutung.
p.s.
Die Verfolgung eines 'Störstrahles' hat mir eben noch eine
illustre Kandidatin für strenge Kollabilität beschert:
»\(76n+64r\)« für \(d=70\) - gonz, schnapp' sie Dir! 😉
... und »\(524n+512r\)« für \(d=518\) ebenso.
»\(40n+8r\)« für \(d=24\) hatte ich außerdem auf dem Zettel.
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gonz
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| Beitrag No.45, eingetragen 2022-07-20
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Da darf man gespannt sein!
Ich steuere nebenbei zu, was ich so finde (aktuell eher für die Aufzeichnungen und weniger, weil es neues wäre):
D = 13 A = 16 und B = -3
Startwert 22687 geht auf über 100 Dezimalstellen
und ist damit zurecht gelb. Die Folgen sind recht
interessant, denn es gibt auch Zyklen, die erst von
fünfstelligen Startzahlen aus erreicht werden.
Cool ist auch D = 17 A = 20 und B = -3
wo sich der 17. gefundene Zyklus, gefunden von Startzahl 60 aus,
hinaufschraubt bis 1814310378869182539494942557896501170121,
und dann aber in den Zyklus zurückfindet.
Oder hier, noch einen "Ausreißer" gefunden:
D = 21 A = 25 und B = -4
Startwert 48 erreicht 101 Dezimalziffern
Genauso bei D = 22 A = 27 und B = -5 der Startwert 52
Ich sammle mal, und "füttere" damit dann bei Gelegenheit
parallel nochmal das C Programm, um da weiter zu suchen.
Nachtrag: Ich habe die Hinweise auf lohnende Kandidaten gelesen,
die kommen auch mit dran :)
Noch ein Nachtrag: Die übrigen "gelben" im unteren Bereich, also mit negativem B, sind für mich unauffällig.
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cramilu
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| Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-20
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Ein konzentrierter Blick auf die Übersichten legt nahe,
dass als notwendige Bedingung für strenge Kollabilität
\(b=2a-d\) den Wert einer Zweierpotenz haben muss.
Unter Berücksichtigung der Nebenbedingung \(d5\) \(a=2d-b\) durch \(4\) teilbar
sein zu müssen...
Während gonz nun »\(14n+8r\)« für \(d=11\) entzaubern
konnte, und ich selber inzwischen »\(56n+32r\)« für \(d=44\)
definitiv als höchstens streuend collabil dingfest gemacht habe,
weil sie schon für den Startwert \(n=75\) eine andere Schleife
hervorbringt, scheinen »\(112n+64r\)« für \(d=88\) und auch
»\(224n+128r\)« für \(d=176\) wieder 'mitzuspielen'. Ts! 🤔
Weitere Kandidatin - wenn auch mit kleinem \(\frac{a}{d}\) :
»\(262n+256r\)« für \(d=259\)
EDIT
Letztere Kandidatin ist eine interessante, denn bislang ist
\(d=5\) der einzige ungerade Divisor, für den es eine streng
collabile Modulo-Folge zu geben scheint: »\(6n+4r\)« .
Sollte die für \(d=259\) einer Überprüfung standhalten, ließe
sich mutmaßen, dass andere infrage kommende ungerade
Divisoren jeweils um \(3\) größer sein müssen als eine Zweier-
potenz. Für \(d=7\) , \(d=11\) , \(d=19\) und \(d=35\) ist damit
leider schon 'Essig'. 🙄
Beim Untersuchen gerader Divisoren kann man sich jedoch
wohl gemäß obiger Beobachtungen jeweils auf wenige be-
schränken, so man nach streng collabilen Folgen sucht:
??? \(d=24\) : »\(32n+16r\)«[+] ; »\(40n+8r\)«[+] ; »\(44n+4r\)«[-]
??? \(d=26\) : »\(36n+16r\)«[-] ; »\(44n+8r\)«[-] ; »\(48n+4r\)«[-]
usw.
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gonz
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| Beitrag No.47, eingetragen 2022-07-21
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D = 13 A = 16 und B = -3
Startwert 22687 erreicht Zyklus 7
Maximum vor Einkehr in Zyklus bei 168 Dezimalstellen
Nachtrag - und bleibt dann allerdings brav, immer weitere Schleifen
ziehend:
Zyklus 25 Min = 225162 Max = 2433636126792 Len = 437 Startzahl = 54606
wobei die Zyklenlänge der gefundenen Zyklen 17 bis 25 einheitlich 437 ist - was ebenfalls einer Erklärung bedürfen könnte. Irgendwie scheinen die Zyklen "verwandt" zu sein.
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gonz
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| Beitrag No.48, eingetragen 2022-07-21
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Zu der "unteren Hälfte", erst einmal wie in der Grafik bis D=22, versuche ich es noch einmal automatisiert anzugehen, um nichts zu übersehen.
Bisherige Befunde:
Für alle Werte mit B<0 werden tatsächlich zwei oder mehr Zyklen gefunden - checked. Keine froschgrünen für den unteren Zweig der Tabelle.
Die Folge D=5 A=8 B=-3 hat den auffälligen Startwert 142, was ich noch genauer untersuchen werde, ggf. gehört sie nicht hellgrün, sondern fliederfarbend, was auch besser ins Schema passen würde... (so es das Schema dort gibt).
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cramilu
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| Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21
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Mein 'Suchstrahler' für die "obere Hälfte" ist neu ausgerichtet:
Zunächst werden einem da wohl ein paar streuend collabile (hellgrün)
durch die Lappen gehen, aber das lässt sich später nachsichten.
Was die "untere Hälfte" anbelangt, überlege ich noch, ob sich da ggf.
auch ein Steigungskorridor für die insgesamt im Verhältnis wenigen
streuend collabilen angeben ließe...
EDIT
Es drängt sich da folgende weitere Vermutung auf:
Für jeden natürlichen Startwert \(n\in\mathbb{N}_+\) und jeden natürlichen Divisor
\(d\in\mathbb{N}_2\) (\(d\geq2\)) erzeugt die Funktion
\(m_{-1;d}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{d} & wenn\;\;\;r=n\mod d=0 \\
(d+1)\cdot n-r & wenn\;\;\;r=n\mod d\neq0 \end{array}\right.\)
bei unendlicher Selbstverkettung irgendwann streuend collabil eine
von mindestens (\(d-1\)) auftretenden zweigliedrigen periodischen
Folgenschleifen der Form »...\(d\);\(1\)[;\(d\);\(1\);...]« , »...\(2d\);\(2\)[;\(2d\);\(2\);...]« ,...,
»...\((d^2-d)\);\((d-1)\)[;\((d^2-d)\);\((d-1)\);...]« - oder eine weitere.
Mit anderen Worten: An der 'Basis' der "unteren Hälfte" sind alle
hellgrün, also streuend collabil! Zudem scheint für ungerade \(d\)
auch jeweils die 'nächst höhere' Modulo-Folge streuend collabil -
mit jeweils denselben 'zweigliedrigen Basisschleifen'!
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gonz
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| Beitrag No.50, eingetragen 2022-07-22
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Ich würde die folgenden Kandidaten für "froschgrün" nominieren:
D=24 A=32
D=24 A=40
D=28 A=40
D=32 A=48
D=34 A=36
jeweils mit B=2D-A
Am kauen bin ich noch mit
D=28 A=44 Startwert 1503
Sind Kandidaten für hellgrüne auch von Interesse?
Grüße aus dem Harz - und so vor sich hinplaudernd aus dem "Nähkästchen"
Gerhard/Gonz
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gonz
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| Beitrag No.51, eingetragen 2022-07-22
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So diese Anmerkung ist eher technischer Natur...
Während es Folgen gibt, die soweit ansteigen, dass man nicht mehr folgen möchte (bei mir aktuell über 1000 Dezimalstellen) und von denen wir annehmen, dass sie divergieren könnten, da "dort oben" die Rückkehrwahrscheinlichkeit bzw. die Wahrscheinlichkeit von Zyklenbildung (vermutlich) sehr gering wird,
habe ich jetzt den ersten konkreten Fall, in dem eine Folge sich in diesem riesigen Zahlenraum so lange auf- und abbewegt, dass mein Programm ebenfalls nicht mehr folgen mag. Das liegt auch daran, dass ich alle bisher erreichten Werte in eine Liste speichere, um zu prüfen, ob ein Zyklus erreicht wurde. Und hier ist also die spezielle Geschichte:
D = 28 A = 44 und B = 12 Startwert 5655 iteriert öfter als 100000fach ohne die Grenze von 1000 Stellen zu überschreiten oder zyklisch zu werden.
Im Suchraum bis Startwert 50000 gibt es etwas bei einem Dutzend solcher Startwerte. Ob sie "weiter oben" in eine gemeinsame Folge münden kann ich nicht sagen.
Grüße aus dem Harz und frohes Forschen im "Garten der Wege die sich verzweigen"... wünscht Gerhard/Gonz
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gonz
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| Beitrag No.52, eingetragen 2022-07-23
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So - liebe Mitstreiter!
Soweit... profitiere ich von dem abendlichen Austausch im Schwätz.
Ich habe aus dem Programm Ballast entfernt, es sortiert nun nur noch in die folgenden Kategorien:
- Überschreitet Grenze: Stellenzahl > 1000
- Überschreitet Grenze: Anzahl Iterationen > 100000
- Startwerte < 50000 konvergieren, es gibt mehr als einen Zyklus
- Startwerte < 50000 konvergieren in genau einen Zyklus
Die eingestellten Grenzen sind natürlich noch sehr knapp, wir hatten darüber gesprochen. Es handelt sich erstmal um einen Probelauf.
Die Laufzeit ist jedenfalls deutlich besser: Für die Folgen in dem aktuell betrachteten "oberen Dreieck", D Vielfaches von 2, A Vielfaches von 4 bis D=50 werden 5 Minunten gebraucht.
Das Ergebnis könnte vielleicht schon erste Anhaltspunkte liefern. Bisher nur als textbasierter Logfile.
\showon
Erweiterte Collatz Muster nach Cramilu
EC-VI python Realisierung von gonz Vers 1.07 "Simplicitas"
D = 6 A = 8 B = 4 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 8 A = 12 B = 4 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 10 A = 12 B = 8 Kein Befund, ein Zyklus
D = 10 A = 16 B = 4 Kein Befund, ein Zyklus
D = 12 A = 16 B = 8 Kein Befund, ein Zyklus
D = 12 A = 20 B = 4 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 14 A = 16 B = 12 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 14 A = 20 B = 8 Kein Befund, ein Zyklus
D = 14 A = 24 B = 4 Startwert 11 erreicht 1871 Dezimalziffern
D = 16 A = 20 B = 12 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 16 A = 24 B = 8 Kein Befund, ein Zyklus
D = 16 A = 28 B = 4 Kein Befund, ein Zyklus
D = 18 A = 20 B = 16 Kein Befund, ein Zyklus
D = 18 A = 24 B = 12 Startwert 1 erreicht 1282 Dezimalziffern
D = 18 A = 28 B = 8 Startwert 17 erreicht 1464 Dezimalziffern
D = 18 A = 32 B = 4 Startwert 7 erreicht 1676 Dezimalziffern
D = 20 A = 24 B = 16 Kein Befund, ein Zyklus
D = 20 A = 28 B = 12 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 20 A = 32 B = 8 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 20 A = 36 B = 4 Startwert 125 iteriert öfter als 100001
D = 22 A = 24 B = 20 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 22 A = 28 B = 16 Kein Befund, ein Zyklus
D = 22 A = 32 B = 12 Startwert 3 erreicht 1113 Dezimalziffern
D = 22 A = 36 B = 8 Startwert 9 erreicht 1522 Dezimalziffern
D = 22 A = 40 B = 4 Startwert 1 erreicht 1156 Dezimalziffern
D = 24 A = 28 B = 20 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 24 A = 32 B = 16 Kein Befund, ein Zyklus
D = 24 A = 36 B = 12 Startwert 1 erreicht 1805 Dezimalziffern
D = 24 A = 40 B = 8 Kein Befund, ein Zyklus
D = 24 A = 44 B = 4 Startwert 21 erreicht 1712 Dezimalziffern
D = 26 A = 28 B = 24 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 26 A = 32 B = 20 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 26 A = 36 B = 16 Startwert 19 iteriert öfter als 100001
D = 26 A = 40 B = 12 Startwert 5 erreicht 1400 Dezimalziffern
D = 26 A = 44 B = 8 Startwert 3 erreicht 1036 Dezimalziffern
D = 26 A = 48 B = 4 Startwert 3 erreicht 1401 Dezimalziffern
D = 28 A = 32 B = 24 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 28 A = 36 B = 20 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 28 A = 40 B = 16 Kein Befund, ein Zyklus
D = 28 A = 44 B = 12 Startwert 5655 iteriert öfter als 100001
D = 28 A = 48 B = 8 Startwert 37 iteriert öfter als 100001
D = 28 A = 52 B = 4 Startwert 3 erreicht 1327 Dezimalziffern
D = 30 A = 32 B = 28 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 30 A = 36 B = 24 Startwert 1 erreicht 1624 Dezimalziffern
D = 30 A = 40 B = 20 Startwert 1 erreicht 1282 Dezimalziffern
D = 30 A = 44 B = 16 Startwert 5 erreicht 1159 Dezimalziffern
D = 30 A = 48 B = 12 Startwert 1 erreicht 1047 Dezimalziffern
D = 30 A = 52 B = 8 Startwert 1 erreicht 1318 Dezimalziffern
D = 30 A = 56 B = 4 Startwert 3 erreicht 1640 Dezimalziffern
D = 32 A = 36 B = 28 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 32 A = 40 B = 24 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 32 A = 44 B = 20 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 32 A = 48 B = 16 Kein Befund, ein Zyklus
D = 32 A = 52 B = 12 Startwert 29 erreicht 1116 Dezimalziffern
D = 32 A = 56 B = 8 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 32 A = 60 B = 4 Startwert 3 erreicht 1733 Dezimalziffern
D = 34 A = 36 B = 32 Kein Befund, ein Zyklus
D = 34 A = 40 B = 28 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 34 A = 44 B = 24 Startwert 55 iteriert öfter als 100001
D = 34 A = 48 B = 20 Startwert 1 erreicht 1171 Dezimalziffern
D = 34 A = 52 B = 16 Startwert 3 erreicht 1729 Dezimalziffern
D = 34 A = 56 B = 12 Startwert 1 erreicht 1264 Dezimalziffern
D = 34 A = 60 B = 8 Startwert 1 erreicht 1569 Dezimalziffern
D = 34 A = 64 B = 4 Startwert 1 erreicht 1724 Dezimalziffern
D = 36 A = 40 B = 32 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 36 A = 44 B = 28 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 36 A = 48 B = 24 Startwert 1 erreicht 1282 Dezimalziffern
D = 36 A = 52 B = 20 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 36 A = 56 B = 16 Startwert 697 iteriert öfter als 100001
D = 36 A = 60 B = 12 Startwert 1 erreicht 1138 Dezimalziffern
D = 36 A = 64 B = 8 Startwert 7 erreicht 1452 Dezimalziffern
D = 36 A = 68 B = 4 Startwert 1 erreicht 1052 Dezimalziffern
D = 38 A = 40 B = 36 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 38 A = 44 B = 32 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 38 A = 48 B = 28 Startwert 9 iteriert öfter als 100001
D = 38 A = 52 B = 24 Startwert 3 erreicht 1750 Dezimalziffern
D = 38 A = 56 B = 20 Startwert 5 erreicht 1618 Dezimalziffern
D = 38 A = 60 B = 16 Startwert 3 erreicht 1124 Dezimalziffern
D = 38 A = 64 B = 12 Startwert 1 erreicht 1423 Dezimalziffern
D = 38 A = 68 B = 8 Startwert 1 erreicht 1642 Dezimalziffern
D = 38 A = 72 B = 4 Startwert 1 erreicht 1885 Dezimalziffern
D = 40 A = 44 B = 36 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 40 A = 48 B = 32 Kein Befund, ein Zyklus
D = 40 A = 52 B = 28 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 40 A = 56 B = 24 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 40 A = 60 B = 20 Startwert 1 erreicht 1806 Dezimalziffern
D = 40 A = 64 B = 16 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 40 A = 68 B = 12 Startwert 1 erreicht 1363 Dezimalziffern
D = 40 A = 72 B = 8 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 40 A = 76 B = 4 Startwert 1 erreicht 1161 Dezimalziffern
D = 42 A = 44 B = 40 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 42 A = 48 B = 36 Startwert 1 erreicht 1191 Dezimalziffern
D = 42 A = 52 B = 32 Startwert 1663 iteriert öfter als 100001
D = 42 A = 56 B = 28 Startwert 1 erreicht 1282 Dezimalziffern
D = 42 A = 60 B = 24 Startwert 1 erreicht 1589 Dezimalziffern
D = 42 A = 64 B = 20 Startwert 1 erreicht 1935 Dezimalziffern
D = 42 A = 68 B = 16 Startwert 1 erreicht 1316 Dezimalziffern
D = 42 A = 72 B = 12 Startwert 1 erreicht 1201 Dezimalziffern
D = 42 A = 76 B = 8 Startwert 1 erreicht 1722 Dezimalziffern
D = 42 A = 80 B = 4 Startwert 7 erreicht 2005 Dezimalziffern
D = 44 A = 48 B = 40 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 44 A = 52 B = 36 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 44 A = 56 B = 32 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 44 A = 60 B = 28 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 44 A = 64 B = 24 Startwert 119 iteriert öfter als 100001
D = 44 A = 68 B = 20 Startwert 7 erreicht 1615 Dezimalziffern
D = 44 A = 72 B = 16 Startwert 1 erreicht 1005 Dezimalziffern
D = 44 A = 76 B = 12 Startwert 1 erreicht 1734 Dezimalziffern
D = 44 A = 80 B = 8 Startwert 1 erreicht 1033 Dezimalziffern
D = 44 A = 84 B = 4 Startwert 9 erreicht 1327 Dezimalziffern
D = 46 A = 48 B = 44 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 46 A = 52 B = 40 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 46 A = 56 B = 36 Startwert 33 iteriert öfter als 100001
D = 46 A = 60 B = 32 Startwert 1 erreicht 1529 Dezimalziffern
D = 46 A = 64 B = 28 Startwert 1 erreicht 1306 Dezimalziffern
D = 46 A = 68 B = 24 Startwert 1 erreicht 1900 Dezimalziffern
D = 46 A = 72 B = 20 Startwert 1 erreicht 1161 Dezimalziffern
D = 46 A = 76 B = 16 Startwert 1 erreicht 1427 Dezimalziffern
D = 46 A = 80 B = 12 Startwert 7 erreicht 1737 Dezimalziffern
D = 46 A = 84 B = 8 Startwert 1 erreicht 1848 Dezimalziffern
D = 46 A = 88 B = 4 Startwert 9 erreicht 1067 Dezimalziffern
D = 48 A = 52 B = 44 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 48 A = 56 B = 40 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 48 A = 60 B = 36 Startwert 1 erreicht 1987 Dezimalziffern
D = 48 A = 64 B = 32 Kein Befund, ein Zyklus
D = 48 A = 68 B = 28 Startwert 77 iteriert öfter als 100001
D = 48 A = 72 B = 24 Startwert 1 erreicht 1806 Dezimalziffern
D = 48 A = 76 B = 20 Startwert 1 erreicht 1340 Dezimalziffern
D = 48 A = 80 B = 16 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 48 A = 84 B = 12 Startwert 1 erreicht 1246 Dezimalziffern
D = 48 A = 88 B = 8 Startwert 9 iteriert öfter als 100001
D = 48 A = 92 B = 4 Startwert 9 erreicht 1504 Dezimalziffern
D = 50 A = 52 B = 48 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 50 A = 56 B = 44 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 50 A = 60 B = 40 Startwert 1 erreicht 1624 Dezimalziffern
D = 50 A = 64 B = 36 Startwert 1 erreicht 1594 Dezimalziffern
D = 50 A = 68 B = 32 Startwert 39 erreicht 1248 Dezimalziffern
D = 50 A = 72 B = 28 Startwert 3 erreicht 1795 Dezimalziffern
D = 50 A = 76 B = 24 Startwert 3 erreicht 1131 Dezimalziffern
D = 50 A = 80 B = 20 Startwert 1 erreicht 1047 Dezimalziffern
D = 50 A = 84 B = 16 Startwert 1 erreicht 1596 Dezimalziffern
D = 50 A = 88 B = 12 Startwert 1 erreicht 1769 Dezimalziffern
D = 50 A = 92 B = 8 Startwert 1 erreicht 1938 Dezimalziffern
D = 50 A = 96 B = 4 Startwert 1 erreicht 1059 Dezimalziffern
Done
\showoff
Einen angenehmen Weg ins Wochenende
Gerhard / Gonz
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gonz
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| Beitrag No.53, eingetragen 2022-07-23
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Es bleibt spannend. Um abzuschätzen, ob ein größerer Suchraum andere Ergebnisse bringt, habe ich folgende beiden Ergebnisse:
Prüft man 500.000 statt 50.000 Startwerte, findet man einen verdächtigen Wert bei einer bisher unauffälligen Folge:
D = 40 A = 72 B = 8 Startwert 50581 Iterationen
Vergrößert man die maximale Stellenzahl und die maximale Iterationszahl beide um Faktor 10 (beide gleichlaufend zu Erhöhen macht Sinn aus meiner Sicht) dann läuft ein bisher auffälliger Wert doch noch in einen Zyklus.
D = 28 A = 44 B = 12 Kein Befund, mehrere Zyklen
Laufzeit dabei jeweils so eine 3/4 Stunde.
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gonz
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| Beitrag No.54, eingetragen 2022-07-23
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Und hier noch die ersten Ergebnisse für die Werte in den Lücken, sprich für A = 2 (mod 4)
\showon
Erweiterte Collatz Muster nach Cramilu
EC-VI python Realisierung von gonz Vers 1.07 "Simplicitas"
10^3 Dezimalstellen, 10^5 Iterationen, bis Startwert 5*10^4
D = 4 A = 6 B = 2 Kein Befund, ein Zyklus
D = 6 A = 10 B = 2 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 8 A = 10 B = 6 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 8 A = 14 B = 2 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 10 A = 14 B = 6 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 10 A = 18 B = 2 Startwert 65 Dezimalstellen
D = 12 A = 14 B = 10 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 12 A = 18 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 12 A = 22 B = 2 Startwert 9 Dezimalstellen
D = 14 A = 18 B = 10 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 14 A = 22 B = 6 Startwert 21 Iterationen
D = 14 A = 26 B = 2 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 16 A = 18 B = 14 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 16 A = 22 B = 10 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 16 A = 26 B = 6 Startwert 21 Dezimalstellen
D = 16 A = 30 B = 2 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 18 A = 22 B = 14 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 18 A = 26 B = 10 Startwert 241 Iterationen
D = 18 A = 30 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 18 A = 34 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 20 A = 22 B = 18 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 20 A = 26 B = 14 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 20 A = 30 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 20 A = 34 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 20 A = 38 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 22 A = 26 B = 18 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 22 A = 30 B = 14 Startwert 211 Iterationen
D = 22 A = 34 B = 10 Startwert 17 Dezimalstellen
D = 22 A = 38 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 22 A = 42 B = 2 Startwert 7 Dezimalstellen
D = 24 A = 26 B = 22 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 24 A = 30 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 24 A = 34 B = 14 Startwert 5 Dezimalstellen
D = 24 A = 38 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 24 A = 42 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 24 A = 46 B = 2 Startwert 9 Dezimalstellen
D = 26 A = 30 B = 22 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 26 A = 34 B = 18 Startwert 687 Iterationen
D = 26 A = 38 B = 14 Startwert 9 Dezimalstellen
D = 26 A = 42 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 26 A = 46 B = 6 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 26 A = 50 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 28 A = 30 B = 26 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 28 A = 34 B = 22 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 28 A = 38 B = 18 Startwert 5 Dezimalstellen
D = 28 A = 42 B = 14 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 28 A = 46 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 28 A = 50 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 28 A = 54 B = 2 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 30 A = 34 B = 26 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 30 A = 38 B = 22 Startwert 1873 Iterationen
D = 30 A = 42 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 30 A = 46 B = 14 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 30 A = 50 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 30 A = 54 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 30 A = 58 B = 2 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 32 A = 34 B = 30 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 32 A = 38 B = 26 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 32 A = 42 B = 22 Startwert 83 Iterationen
D = 32 A = 46 B = 18 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 32 A = 50 B = 14 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 32 A = 54 B = 10 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 32 A = 58 B = 6 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 32 A = 62 B = 2 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 34 A = 38 B = 30 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 34 A = 42 B = 26 Startwert 2157 Iterationen
D = 34 A = 46 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 34 A = 50 B = 18 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 34 A = 54 B = 14 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 34 A = 58 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 34 A = 62 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 34 A = 66 B = 2 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 36 A = 38 B = 34 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 36 A = 42 B = 30 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 36 A = 46 B = 26 Startwert 1 Iterationen
D = 36 A = 50 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 36 A = 54 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 36 A = 58 B = 14 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 36 A = 62 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 36 A = 66 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 36 A = 70 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 38 A = 42 B = 34 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 38 A = 46 B = 30 Startwert 40151 Iterationen
D = 38 A = 50 B = 26 Startwert 7 Dezimalstellen
D = 38 A = 54 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 38 A = 58 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 38 A = 62 B = 14 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 38 A = 66 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 38 A = 70 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 38 A = 74 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 40 A = 42 B = 38 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 40 A = 46 B = 34 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 40 A = 50 B = 30 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 40 A = 54 B = 26 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 40 A = 58 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 40 A = 62 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 40 A = 66 B = 14 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 40 A = 70 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 40 A = 74 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 40 A = 78 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 42 A = 46 B = 38 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 42 A = 50 B = 34 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 42 A = 54 B = 30 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 42 A = 58 B = 26 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 42 A = 62 B = 22 Startwert 7 Dezimalstellen
D = 42 A = 66 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 42 A = 70 B = 14 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 42 A = 74 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 42 A = 78 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 42 A = 82 B = 2 Startwert 5 Dezimalstellen
D = 44 A = 46 B = 42 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 44 A = 50 B = 38 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 44 A = 54 B = 34 Startwert 3 Iterationen
D = 44 A = 58 B = 30 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 44 A = 62 B = 26 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 44 A = 66 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 44 A = 70 B = 18 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 44 A = 74 B = 14 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 44 A = 78 B = 10 Startwert 5 Dezimalstellen
D = 44 A = 82 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 44 A = 86 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 46 A = 50 B = 42 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 46 A = 54 B = 38 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 46 A = 58 B = 34 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 46 A = 62 B = 30 Startwert 9 Dezimalstellen
D = 46 A = 66 B = 26 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 46 A = 70 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 46 A = 74 B = 18 Startwert 7 Dezimalstellen
D = 46 A = 78 B = 14 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 46 A = 82 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 46 A = 86 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 46 A = 90 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 50 B = 46 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 48 A = 54 B = 42 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 58 B = 38 Startwert 13 Iterationen
D = 48 A = 62 B = 34 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 66 B = 30 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 70 B = 26 Startwert 5 Dezimalstellen
D = 48 A = 74 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 78 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 82 B = 14 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 86 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 90 B = 6 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 48 A = 94 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 50 A = 54 B = 46 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 50 A = 58 B = 42 Kein Befund, mehrere Zyklen
D = 50 A = 62 B = 38 Startwert 1 Iterationen
D = 50 A = 66 B = 34 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 50 A = 70 B = 30 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 50 A = 74 B = 26 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 50 A = 78 B = 22 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 50 A = 82 B = 18 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 50 A = 86 B = 14 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 50 A = 90 B = 10 Startwert 1 Dezimalstellen
D = 50 A = 94 B = 6 Startwert 3 Dezimalstellen
D = 50 A = 98 B = 2 Startwert 1 Dezimalstellen
Done
\showoff
Die Formulierung "kein Befund" bedeutet: Bis zu dem definierten maximalen Startwert führen alle Folgen in eine (oder mehrere) Zyklen.
Die Anzahl der tatsächlich erreichten Dezimalstellen habe ich rausgenommen, da mir das den Vergleich der Logs bei veränderten Parametern erleichtert.
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gonz
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| Beitrag No.55, eingetragen 2022-07-24
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Es ist Sonntag, und zu warm. Sozusagen Zeit für eine kleine Siesta. Aber ich musste doch noch eine erste Ausgabe des Handbüchleins für die erweiterten Collatz Folgen nach Cramilu auf die Reise bringen.
Wer mag kann sein Exemplar hier herunterladen
Ich wünsche euch einen angenehmen Sonntag, vielleicht lesen wir uns ja heute abend. Güße aus dem Harz
Gerhard/Gonz
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gonz
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| Beitrag No.56, eingetragen 2022-07-28
|
Wir haben den Suchraum erweitert, und zwar von dem bisherigen B=D-A und B=2D-A auf verallgemeinert B=F*D-A, wobei F von 1 bis 15 läuft.
Damit entsteht eine gehörige Sammlung an Daten, die insgesamt etwas bei 50 "Collatzians" beinhaltet, also Folgen, bei denen alle bisher untersuchten Startwerte in genau einem, für alle Startwerte gleichen Zyklus enden.
Diese Bilden eine Art von Gitter im dreidimensionalen Parameterraum, ich hab mal versucht, das durch Projektion auf jeweils eine der Koordinatenebenen darzustellen.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_Bananas-D-A.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_Bananas-D-F.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_Bananas-A-F.png
Soweit. Man sieht, dass es da Strukturen gibt, aber weitergehende Ideen hab ich im Augenblick nicht. Wenn jemand sich das genauer angucken will kann ich natürlich die CSV Datei mit den Daten übermitteln, das sind aktuell um die 600 kByte, also noch ganz gut zu handhaben.
Grüße aus dem Harz
und - vielleicht hat jemand eine Idee :)
Gerhard/Gonz
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cramilu
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| Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-28
|
Mit heißer Nadel knallbunt gestrickt [und nachkorrigiert]:
Was den Parameter "f" bzw. "s" für die Dimensionierung des
Modulo-Rest-Aufschlages anbelangt, sind gonz und ich noch
am Grübeln...
... wie auch über ggf. sich herauskristallisierende Muster. 🤔
Further analysis in progress ;
English speaking combatants are dearly welcome to join us! 🤗
EDIT
haegar90, einige hier vermissen Dich ;
Dein Account scheint noch aktiv zu sein - komm' bitte wieder !
Wer außerplanetarischen Kontakt zu haegar90 hat,
der informiere ihn bitte entsprechend!
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 | Beitrag No.58, eingetragen 2022-07-31
|
Hi Gonz und hallo Cramilu
Wäre es ok wenn ich mir D=4*n, A=2D-8 und B=8 schnappe? Nicht exklusiv, sondern nur um etwas beizutragen. Das sieht nach einer Art "Serie" aus.
Grüße aus der Ferne - Lea
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gonz
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| Beitrag No.59, eingetragen 2022-08-01
|
Hallo liebe Freunde der Extended Collatz Folgen,
und insbesondere welcome back Lea :)
Da ich gefragt wurde, habe ich meinen Python Code zugänglich gemacht - wie er ist, Hinweise auf Unschönheiten, mögliche Verbesserungen etc gerne gehört. Ob er eine geeignete Basis für die weitere Untersuchung der Extended Collatz Folgen ist, sei dahingestellt.
hier
In .py umbenennen, oben die drei grenzwerte maxstart etc anpassen, und ganz unten hineinprogrammieren, welche Folgen bearbeitet werden sollen oder ob eine csv datei schon als Input benutzt werden soll.
Ich betrachte das als frei von Rechten, bitte einfach damit machen, was ihr wollt. Eine Erwähnung wäre natürlich nett.
Grüße aus dem Harz
und einen angenehmen Wochenstart
Gerhard/Gonz
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cramilu
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| Beitrag No.60, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01
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Noch einmal etwas nachuntersucht...
Hallo Lea - schön, Dich wieder dabeizuhaben! 🤗
Hallo gonz; meine dreiste Bitte:
Könntest Du bei Gelegenheit die GELBEN noch gegenprüfen
sowie insbesondere für die vier FROSCHGRÜNEN und die GELBE
unter dem Datumsstempel prüfen, ob da meine Einschätzungen
stimmen? Ggf. könnte es zwischen den froschgrünen bzw. der
gelben und jeweils derjenigen mit dem nächst kleineren Rest-
Aufschlag noch weitere geben[?].
Falls meine Zählung stimmt, dann sind wir inzwischen bei
immerhin schon 80[!] verschiedenen Modulo-Folgen, für die
man stark vermuten muss, dass sie sich "collatzig" bzw.
"streng collabil" bzw. "mono-collabil" gebärden.
Kurz zum Parameter "s", mit dem ich zwar noch nicht
abschließend zufrieden bin, der sich jedoch konzeptionell
als Verbesserung des bisherigen "b" gezeigt hat:
s habe ich so verrechnet, dass sich für \(s=0\) gerade
die Folgen mit nagativem Rest-Aufschlag ergeben, und
für \(s=1\) diejenigen aus dem 'Hauptkeil' der Übersicht.
Es scheint dann so, als müsse s als notwendige Bedingung
dafür, dass eine "collatzige" Folge herausspringen kann,
prim oder Potenz einer Primzahl sein.
Dabei drängen sich bislang weitere Mutmaßungen auf:
1. Sogar innerhalb des 'Hauptkeils' (\(s=1\)) gibt es für jede
Zweierpotenz als Multiplikator beim Rest-Aufschlag jeweils
mindestens eine "mono-collabile" Modulo-Folge.
2. Zu jeder Kombination \(d,a\) , für die es im 'Hauptkeil'
eine "mono-collabile" Modulo-Folge gibt, lässt sich
mindestens eine weitere mit \(s>1\) finden, welche
sich ebenfalls als "mono-collabil" gebärdet.
3. Sehr viele mutmaßlich "mono-collabile" Modulo-Folgen
finden sich für \(\frac{a}{d}=\frac{6}{5}=1{,}2\) und \(\frac{a}{d}=\frac{3}{2}=1{,}5\) .
Der höchste Wert, welcher bis dato für \(\frac{a}{d}\) auftritt,
ist \(\frac{7}{4}=1{,}75\) (\(d=16;a=28\)) .
etc.
Teilt gerne mit, was Euch so auf- und einfällt! 😉
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gonz
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| Beitrag No.61, eingetragen 2022-08-01
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ich hätte da was ...
\showon
10^4 Dezimalstellen, 10^6 Iterationen, bis Startwert 10^5
D = 22 A = 25 B = 19 Multiple Cycles
D = 24 A = 27 B = 21 Start 1 too big
D = 26 A = 29 B = 23 Multiple Cycles
D = 28 A = 31 B = 25 Multiple Cycles
D = 30 A = 33 B = 27 Start 1 too big
D = 32 A = 35 B = 29 Multiple Cycles
D = 34 A = 37 B = 31 Multiple Cycles
D = 36 A = 39 B = 33 Start 1 too big
D = 38 A = 41 B = 35 Multiple Cycles
D = 40 A = 43 B = 37 Multiple Cycles
D = 42 A = 45 B = 39 Start 1 too many iterations
D = 44 A = 47 B = 41 Multiple Cycles
D = 46 A = 49 B = 43 Multiple Cycles
D = 48 A = 51 B = 45 Start 1 too many iterations
D = 50 A = 53 B = 47 Multiple Cycles
\showoff
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cramilu
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| Beitrag No.62, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-02
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Bloß als Update:
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gonz
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| Beitrag No.63, eingetragen 2022-08-02
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Wunderbar :) Wenn es das als Poster gäbe... würde ich es an die Wand neben meinen Schreibtisch hängen :)
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gonz
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| Beitrag No.64, eingetragen 2022-08-03
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Wunschgemäß - habe ich mich etwas um die Froschgrünen gekümmert.
Einen schönen Tag euch allen!
\showon
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_ecollatz-fr_sche.jpg
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gonz
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| Beitrag No.65, eingetragen 2022-08-04
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Aktuelle Überprüfung des erweiterten Bereichs der "Froschgrünen", wird noch etwa bis heute abend laufen. Beim Erweitern der Begrenzung der Tiefe der Prüfung ( hier jetzt: bis Startwert 10^5, bis Stellenzahl 10^4 und bis Iterationszahl 10^6) tritt, neben häufigem Wechsel zwischen den Begrenzungen "too big" (Stellenzahl) und "too many iterations", doch noch der eine oder andere Fall von ziemlich verspäteter Konvergenz ein. Ich bin zu begeistert, um das Gesamtergebnis abzuwarten, hier ist schon einmal ein Treffer:
\showon
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_vergleich.jpg
\showoff
Einem Vorschlag von Lea folgend werde ich neben dem erreichten Startwert demnächst auch die max. erreichte Stellenzahl und die max. erreichte Iterationszahl mit in die CSV Datei aufnehmen.
Habt's fein
Gerhard/Gonz
Nachtrag: Inzwischen sind's derer drei dieser Funde. Bemerkenswerterweise scheint die "doch noch konvergenz" Wahrscheinlichkeit höher bei "too many itertations" als bei "too big". Das bestärkt die Vermutung, dass mit steigender Stellenzahl die Rückkehrwahrscheinlichkeit doch arg sinkt.
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gonz
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| Beitrag No.66, eingetragen 2022-08-05
|
Noch ein Nachtrag:
Es sind tatsächlich nur drei Änderungen von "too many iterations" auf "multiple cycles".
Erhöht man die max. Iterationszahl weiter auf 10^7, dann gehen alle übrigen "too many iterations" auf "too big", also Überschreitung der max. Stellenzahl. Ich könnte mir damit vorstellen, dass in diesem Bereich nichts mehr zu holen ist.
Eine Besonderheit ist mir noch aufgefallen: während fast alle Parameterkombinationen, die Divergenzen zeigen, dies bereits bei Startwert 1, oder spätestens bei 2 oder 3 zeigen, gibt es einige wenige Parametersätze, bei denen die ersten hundert (oder mehr) Startwerten in einen Zyklus gehen, bevor es dann zu einer Divergenz kommt, und zwar
DAB = 10 18 162 Startwert 2829 divergiert ggf
DAB = 11 21 441 Startwert 769 divergiert ggf
DAB = 14 24 144 Startwert 376 divergiert ggf
DAB = 14 24 1152 Startwert 167 divergiert ggf
DAB = 17 21 81 Startwert 401 divergiert ggf
DAB = 18 32 256 Startwert 359 divergiert ggf
DAB = 22 42 882 Startwert 1033 divergiert ggf
DAB = 22 36 1944 Startwert 1406 divergiert ggf
DAB = 24 46 1058 Startwert 1799 divergiert ggf
Vielleicht lohnt es, sich diese nochmal anzuschauen...
Grüße und einen schömnen Weg ins Wochenende
Gerhard/Gonz
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cramilu
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| Beitrag No.67, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07
|
gonz, hab' Dank für Deine hartnäckige Mühe - 95 sind das neue Maß!
Dann könnten wir uns nun mit der gleichen Hartnäckigkeit
darum bemühen, überprüfbare Parameterzusammenhänge
zu finden und solchen weiter auf den Grund zu gehen. 😎
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gonz
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| Beitrag No.68, eingetragen 2022-08-11
|
Einer Mitteilung von Cramilu folgend... sind hier ein paar mögliche "Collatzians". Ich frage mich immer mehr... warum? wo ist der Trick?
Grüße an alle - Gerhard/Gonz
\showon
Erweiterte Collatz Muster nach Cramilu
EC-IX 1.13A by gonz@gmx.biz processing "Vermutung-1"
10^4 Dezimalstellen, 10^7 Iterationen, bis Startwert 10^6
D = 10 A = 16 B = 64 maybe Collatzian <---
D = 20 A = 32 B = 128 maybe Collatzian <---
D = 40 A = 64 B = 256 maybe Collatzian <---
D = 80 A = 128 B = 512 maybe Collatzian <---
D = 160 A = 256 B = 1024 maybe Collatzian <---
D = 320 A = 512 B = 2048 Multiple Cycles
D = 640 A = 1024 B = 4096 maybe Collatzian <---
D = 1280 A = 2048 B = 8192 maybe Collatzian <---
D = 2560 A = 4096 B = 16384 maybe Collatzian <---
D = 5120 A = 8192 B = 32768 maybe Collatzian <---
D = 10240 A = 16384 B = 65536 maybe Collatzian <---
D = 20480 A = 32768 B = 131072 maybe Collatzian <---
D = 40960 A = 65536 B = 262144 maybe Collatzian <---
D = 81920 A = 131072 B = 524288 maybe Collatzian <---
D = 163840 A = 262144 B = 1048576 maybe Collatzian <---
D = 327680 A = 524288 B = 2097152 maybe Collatzian <---
D = 655360 A = 1048576 B = 4194304 maybe Collatzian <---
D = 1310720 A = 2097152 B = 8388608 maybe Collatzian <---
D = 2621440 A = 4194304 B = 16777216 maybe Collatzian <---
D = 5242880 A = 8388608 B = 33554432 maybe Collatzian <---
D = 10485760 A = 16777216 B = 67108864 maybe Collatzian <---
Done - 656 seconds.
\showoff
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cramilu
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| Beitrag No.69, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-11
|
Ui! Stark, gonz! 😮
Dass mit meinen 11-er und 15-er-Vermutungen nüschd is',
hattest Du mir bereits privat mitgeteilt.
Immerhin hat es nun noch zu einer vierten Vermutung gelangt!
Da werden aber ggf. die ersten drei umzuformulieren sein,
weil es möglicherweise auch dort 'Löcher' gibt?
zur Erinnerung:
\showon
cramilu-Vermutung #1
D = 2 A = 3 B = 1
D = 2 A = 3 B = 3
D = 2 A = 3 B = 9
D = 2 A = 3 B = 27
D = 2 A = 3 B = 81
D = 2 A = 3 B = 243
D = 2 A = 3 B = 729
...
cramilu-Vermutung #2
D = 5 A = 6 B = 4
D = 10 A = 12 B = 8
D = 20 A = 24 B = 16
D = 40 A = 48 B = 32
D = 80 A = 96 B = 64
D = 160 A = 192 B = 128
D = 320 A = 384 B = 256
D = 640 A = 768 B = 512
...
cramilu-Vermutung #3 [probehalber erweitert]
D = 2 A = 3 B = 1 (Collatz)
D = 4 A = 6 B = 2
D = 8 A = 12 B = 4 ['LOCH']
D = 16 A = 24 B = 8
D = 32 A = 48 B = 16
D = 64 A = 96 B = 32
...
\showoff
Die neuerlich winkende Vermutung wäre dann wohl #2b ...
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gonz
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| Beitrag No.70, eingetragen 2022-08-12
|
Der Bericht zum Freitag Morgen:
Jeweils die ersten 64 Folgen, getestet bis Startwert 10^6
Vermutung #1 ist tadellos,
Vermutung #2 so das geht - sogar noch tadellöser...
Vermutung #3 ebenso, bis genau auf das eine bekannte "Loch".
@Cramilu: Die Nachrichten sind angekommen, kümmere ich mich drum :)
Grüße - Gerhard
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cramilu
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| Beitrag No.71, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13
|
Bevor ich mich wieder der Erkenntnisdiskussion widme...
Tatsächlich wurden jüngst sowohl der englischsprache
WIKIPEDIA-Artikel »Collatz conjecture« wie auch der
deutschsprachige »Collatz-Problem« überarbeitet.
Neuerdings ist dort von einem Collatz-Orbit die Rede...
Wovon wir beim Collatz-Problem oder konkret im Rahmen
dieses Themas hier reden, ist wohl den meisten intuitiv klar.
Wir wenden eine Funktion wieder und wieder auf genau das
Ergebnis an, welches sie im Schritt zuvor erzeugt hat, und
interessieren uns dann dafür, was wohl geschieht, wenn wir
das hinreichend oft nacheinander tun.
Solche Vorgehensweisen wird es gewiss auch auf anderen
Feldern geben, und mich persönlich hat da bislang noch
keine der gefundenen - zumeist schrittweisen - Notationen
wirklich überzeugen können.
Also habe ich mir selber etwas ausgedacht...
Seien Argument \(n\in\mathbb{N}_+[\mathbb{N}\setminus\{0\}]\) , Divisor \(d\in\mathbb{N}\land d\geq2\) ,
Amplifikator \(a\in\mathbb{N}\land dSupplement \(s\in\mathbb{N}_0[\mathbb{N}\cup\{0\}]\)
und Selbstverknüpfungsindex \(k\in\mathbb{N}_0[\mathbb{N}\cup\{0\}]\) .
Bedeute der Exponent \(\circ[k]\) für eine Funktion, dass sie im Sinne
einer Selbstverknüpfung \(k\) mal unmittelbar nacheinander zuerst
auf ihr Ursprungsargument angewendet werde und danach auf
das jeweils vorherige Funktionsergebnis.
Dann seien die hier diskutierten modulobasiert expandierenden
Syracuse-Folgen MESS (modulo-based expanding syracuse
sequences) wie folgt definiert:
\(\text{m}^{\circ[k]}_{d;a;s}(n)=\left\{\begin{array}{2} \,\text{for}\;\;k=0: & n \\ \,\text{for}\;\;k=1: & \left\{\begin{array}{2} \,\frac{n}{d} & \;\text{if}\;\;\;r\,=\,n\text{ mod }d\,=\,0\;\;{;} \\ \,a\cdot n\,+\,((s+1)\cdot d-a)\cdot r & \;\text{otherwise .} \end{array}\right. \\ \,\text{for}\;\;k>1: & \text{m}_{d;a;s}\left(\text{m}^{\circ[k-1]}_{d;a;s}(n)\right) \end{array}\right.\)
Bezeichne ferner der Ausdruck \(\lim\limits^\circ_{k\to\infty}(f)=\lim\limits^{\text{orbit}}_{k\to\infty}(f)\) den Grenz-Orbit
solcher Funktionen und entspreche - falls existent - einer Menge
aus entweder endlich vielen natürlichen Zahlen oder aus endlich
vielen Tupeln endlich vieler natürlicher Zahlen:
\(\lim\limits^\circ_{k\to\infty}\left(\text{m}^{\circ[k]}_{d;a;s}(n)\right)=\{c_1,c_2,c_3,{.}{.}{.}\}\;\;\;\left[\;=\left\{\begin{array}{l} \,(c_{1.1},c_{1.2},c_{1.3},{.}{.}{.})\, \\ \;{.}{.}{.} \end{array}\right\}\;\right]\)
Dann ließe sich etwa für die »Collatz-Folge« formulieren:
\(\lim\limits^{\text{orbit}}_{k\to\infty}\left(\text{m}^{\circ[k]}_{2;3;1}(n)\right)=\{1\}\;\;\;\left[\;=\{\,(4,2,\underline1)\,\}\;\right]\)
Oder für eine andere der bislang untersuchten Modulo-Folgen:
\(\lim\limits^\circ_{k\to\infty}\left(\text{m}^{\circ[k]}_{16;28;13}(n)\right)=\{49\}\;\;\;\left[\;=\{\,(1568,98,3136,196,6272,392,12544,784,\underline{49}
)\,\}\;\right]\)
Dabei geben bei einer Ergebnismenge aus natürlichen Zahlen
selbige die jeweils kleinsten Glieder verschiedener auftretender
Zyklen an, oder es geben bei einer Ergebnismenge aus Tupeln
selbige konkret und geordnet die verschiedenen auftretenden
Zyklen an, wobei deren jeweils kleinstes Glied am Ende des
Tupels aufgeführt wird.
Die Notation mit Tupeln finde ich weniger attraktiv, denn erstens
können die Tupel unterschiedliche, also uneinheitliche Längen
haben, und zweitens lassen sie sich ja im Einzelnen problemlos
nachermitteln, wenn man ihr kleinstes Glied kennt.
Weiterhin könnte man sagen:
\(\left\vert\lim\limits^\circ_{k\to\infty}\left(\text{m}^{\circ[k]}_{d;a;s}(n)\right)\right\vert=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{m}^{\circ[k]}_{d;a;s}(n)\) is[t] mono-collabil[e]
\(\left\vert\lim\limits^\circ_{k\to\infty}\left(\text{m}^{\circ[k]}_{d;a;s}(n)\right)\right\vert>1\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{m}^{\circ[k]}_{d;a;s}(n)\) is[t] poly-collabil[e]
Wie man notationstechnisch verfährt, falls eine derartige
Modulo-Folge 'divergiert', bliebe noch zu klären...
Wer hat hier zielführende Nasenstüber oder bessere Ideen
für mich parat? Dabei bitte ich zu bedenken, dass meine
eigenen alltagspraktischen Erfahrungen mit 'ordentlicher'
formaler Notation im akademischen Umfeld halt schon gut
20 Jahre zurückliegen. Will sagen: Lasset Milde walten!
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cramilu
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| Beitrag No.72, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14
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gonz' hartnäckigen wie gewissenhaften Bemühungen
um effiziente Algorithmik ist es zu danken, dass sich
unter anderem meine Vermutung #1 aus Beitrag #18
als wohlbegründet erhärten konnte.
Nach damaliger Formulierung:
cramilu-Vermutung #1
Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden
Folgen \(C_{3;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet:
\(C_{3;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\
3n+3^k & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\)
Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\)
irgendwann in den dreigliedrigen Zyklus " \(4\cdot3^k\) ; \(2\cdot3^k\) ; \(3^k\) " .
Unter jenen ist die »Collatz-Folge« \(C_{3;0}(n)\) !
Nach Formulierung gemäß vorherigem Beitrag #71:
Für alle \(s=\frac{1}{2}\cdot(1+3^t)\) mit \(t\in\mathbb{N}_0\,[\mathbb{N}\cup\{0\}]\) ist
\(\text{m}^{\circ[k]}_{2;3;s}(n)\) mono-collabil , und \(\lim\limits^\circ_{k\to\infty}\left(\text{m}^{\circ[k]}_{2;3;s}(n)\right)=\left\{2s-1\right\}\) .
Wenn ich auch rein vom Bauchgefühl her noch nicht vollends
zufrieden bin mit der verknappten Notation, so finde ich doch
bereits schick, was sich kurz und knackig formulieren lässt! 😉
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cramilu
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| Beitrag No.73, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-21
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gonz und ich brüten aktuell über geeigneten exemplarischen
Darstellungen für einige repräsentative Modulo-Folgen in der
neuerlichen Orbital-Notation.
Bis wir da zufrieden einig sind, möchte ich hier die bisherige
gedankliche Entwicklung auch für Neueinsteiger noch einmal
nachzeichnen.
Die grundsätzliche Idee ist im Startbeitrag skizziert.
Im deutschsprachigen WIKIPEDIA-Artikel zum »Collatz-Problem«
lautet die einschlägige Funktionsvorschrift für natürliche Zahlen
\(n\in\mathbb{N}_+\;[\mathbb{N}\setminus\{0\}]\) aktuell
\(\text{Col}(n)\;=\;\left\{\begin{array}{2}\,\frac{n}{2} & \text{wenn }n\text{ gerade ist,} \\
\,3n+1 & \text{wenn }n\text{ ungerade ist.} \end{array}\right.\)
Die ganzzahlige Halbierung, also Teilung mit Divisor \(d=2\) , ist
das bevorzugte Ziel, und die Vergrößerung auf eine garantiert
gerade, also ganzzahlig durch \(d=2\) teilbare Zahl ist die eine
Alternative; mehr als diese zwei Fälle gibt es hier nicht.
Der einschlägige englischsprachige WIKIPEDIA-Artikel zur
»Collatz conjecture« orientiert sich bei der Funktionsvorschrift
formal bereits an der Division mit Rest - übertragen:
\(\text{Col}(n)\;=\;\left\{\begin{array}{2}\,\frac{n}{2} & \text{wenn }n\equiv0\text{ (mod 2),} \\
\,3n+1 & \text{wenn }n\equiv1\text{ (mod 2).} \end{array}\right.\)
Um den Divisionsrest \(r\) selbst gleich innerhalb der Vorschrift
zu parametrisieren, brauchen wir die Bedingung in der oberen
Zeile lediglich leicht umzuformulieren. Dass bei Divisor \(d=2\)
jenes \(r\) stets \(1\) beträgt, falls nicht \(0\), ist banal, wird aber für
die weitere Parametrisierung vorausblickend genutzt. Ebenso
sein hier trivialer Koeffizient \(1\). Da es zudem auch erweitert
bei bloß zwei Fällen bleiben soll, lässt sich die untere Zeile
schmallippig verknappen:
\(\text{Col}(n)\;=\;\left\{\begin{array}{2}\,\frac{n}{2} & \;\text{wenn}\;\;\;r\,=\,n\text{ mod 2}\,=\,0\;\;{;} \\
\,3\cdot n\,+\,1\cdot r & \;\text{sonst .} \end{array}\right.\)
Neben dem verallgemeinernden Parameter \(d\) für den Divisor
braucht es so zunächst bloß noch zwei weitere, nämlich jeweils
für die Vorfaktoren zu \(n\) wie zu \(r\) in der unteren Zeile. Der
Einfachheit halber waren hierfür anfangs rein alphabetisch \(a\)
und \(b\) gewählt worden:
\(\text{m[MESS]}_{d;a;b}(n)\;=\;\left\{\begin{array}{2}\,\frac{n}{d} & \;\text{wenn}\;\;\;r\,=\,n\text{ mod }d\,=\,0\;\;{;} \\
\,a\cdot n\,+\,b\cdot r & \;\text{sonst .} \end{array}\right.\)
Wobei MESS = modulo-based expanding syracuse sequence ,
und \(\text{Col}(n)\;=\;\text{m[MESS]}_{2;3;1}(n)\) .
Dass allgemein für den Divisor \(d\in\mathbb{N}\,\land\,d\geq2\) gelten sollte,
ist klar. Was das \(a\) anbelangt, so hatten frühere persönliche
Betrachtungen gezeigt, dass \(a\leq d\) recht witzlos ist, weil für
\(a2d\) stets ergeben, dass Folgewerte in die Unendlichkeit
wegdriften, und für \(a=2d\) war mir in all den Jahren lediglich
zu \(d=2\) die Expansionsvorschrift \((4n+4)\) untergekommen,
die - sogar beweisbar! - zum Kollaps in den Zyklus \(\{8,4,2,1\}\)
führt; auch nicht besonders spannend. \(a\in\mathbb{N}\,\land\,dmono-collabilen, bei
denen das Verhältnis \(a:d\) maximal ist.
"\(a\)" wurde als Bezeichner beibehalten, weil es begrifflich für
Amplifikator (amplifier, Verstärker) oder auch Augmentator
(augmenter, Vermehrer) stehen kann.
Der Umgang mit dem "\(b\)" als Vorfaktor für den Divisionsrest
hat sich pragmatisch entwickelt. Jede natürliche Zahl kann
man in Bezug auf einen Divisor \(d\) darstellen als \(n=m\cdot d+r\) .
Multipliziert man das mit \(a\) , so ergibt sich \(a\cdot m\cdot n+a\cdot r\) ;
der erste Summand ist ganzzahlig durch \(d\) teilbar, während
der zweite noch 'stört'. \(b=-a\) behebt das zwar schon, weil
es das "\(a\cdot r\)" egalisiert, jedoch entwickeln sich dann sämtliche
\(nDivisors \(d\)
zuzuschlagen, hatte das anfänglich ausreichend behoben, und
wegen \(dDivisors \(d\) noch mono-collabile Modulo-Folgen
möglich sind. So wurde das vorherige "\(b_{1;2}\)" neuerlich abgelöst
von einem "\(s\)" für Supplement (Ergänzung). Dessen aktuelle
formale Berücksichtigung \(((s+1)\cdot d-a)\) mag auf den ersten
Blick sperrig wirken. Dahinter steckt die Absicht, dass für \(s=1\)
genau die 'Standard-Modulo-Folgen' entstehen, also diejenigen
im 'Hauptkeil' der aktuellen Übersicht bzw. in der 'oberen Hälfte'
der vormaligen Tabelle (siehe bis Beitrag #44), und für \(s=0\)
die jeweils höchstens poly-collabilen Modulo-Folgen der 'unteren
Hälfte' - mit stets negativem Vorfaktor für den Divisionsrest.
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