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Universität/Hochschule Länge eines Einheitstangentenfeldes
Mandacus
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Mitteilungen: 221
  Themenstart: 2022-05-07

Guten Abend, ich habe ein Problem mit der Berechnung eines Einhetstangentenfeldes einer Kurve. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Tangentenfeld.jpg Das Einheitstangentenfeld ist gegeben durch $T(x)=\frac{\gamma'(x)}{|\gamma'(x)|}$. Ich habe für die Ableitung $$ \gamma'(x) = \begin{pmatrix} -\frac{\sin(x)(((1+\sin^2(x))+2 \cos^2(x))}{(1+\sin^2(x))^2} \\ \frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)-\sin^2(x) \cos^2(x)-\sin^4(x)}{(1+\sin^2(x))^2} \end{pmatrix} $$ Somit bekomme ich für das Einheitstangenfeld $$ T(x)= \sqrt{(\sin(x)((1+\sin^2(x))+2 \cos^2(x)))^2+(\cos^2(x)-\sin^2(x)-\sin^2(x) \cos^2(x)-\sin^4(x)} \begin{pmatrix} -(\sin(x)((1+\sin^2(x))+2 \cos^2(x))) \\ \cos^2(x)-\sin^2(x)-\sin^2(x) \cos^2(x)-\sin^4(x) \end{pmatrix} $$ Man kann zeigen, dass $$ T'(x)=\frac{\gamma''(x)}{|\gamma'(x)|}-\frac{\langle \gamma''(x), T(x) \rangle}{|\gamma'(x)|} T(x). $$ Um nun die Länge des Einheitstangentenfeldes zu finden müsste ich das Integral $\int_{0}^{2 \pi} |T'|$ berechnen. Allerdings sind die Ausdrücke sehr kompliziert. Gibt es noch einen anderen Weg die Länge zu bestimmen?


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