Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Yoneda-Lemma
Autor
Universität/Hochschule Yoneda-Lemma
Timethie
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 23
  Themenstart: 2022-05-11

Moin, ich sitze momentan an einer Aufgabe (3.b siehe unten) zum Yoneda-Lemma und komme bei dieser nicht weiter. Ich soll zeigen, dass die $G$-Linksmenge $G$, deren $G$-Linkswirkung durch Linksmultiplikation gegeben ist, ein darstellendes Objekt des Vergissfunktors $G-\mathtt{Set} \rightarrow \mathtt{Set}$ ist. Man soll hierbei das Yoneda-Lemma verwenden. Die Lösung der konkreten Aufgaben interessiert mich hier jetzt allerdings weniger, sondern eher der allgemeine Lösungsansatz. Ich weiß, dass ich nach dem Yoneda-Lemma eine Bijektion $$\text{Nat}(\text{Hom}_{\mathcal{C}}(A,-),F) \rightarrow F(A)$$ für eine gegeben Kategorie $\mathcal{C}$, einen Funktor $F \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathtt{Set}$ und ein Objekt $A$ in $\mathcal{C}$ finden kann. Wie aber hängt das jetzt mit darstellenden Objekten zusammen? Wenn ich mal den Vergissfunktor der Aufgabe mit $V$ bezeichne, soll ich ja zeigen, dass $\text{Hom}_{G\mathtt{-Set}}(G,-) \cong V$ gilt. Wie komme ich jetzt aber auf eine Formulierung mit natürlichen Transformationen wie im Yoneda-Lemma? Ich hatte bisher überlegt $\text{Nat}(\text{Hom}_{G\mathtt{-Set}}(G,-), V)$ zu betrachten, ich wüsste dann aber nicht einmal wie $F(G)$ auszusehen hätte um die Aussage zu zeigen. Ich dachte vielleicht einelementig, aber das kommt mir falsch vor, oder das ich die Existenz der Identität in $\text{Nat}(\dots)$. zeigen muss. Grüße und vielen Dank! https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54195_blatt03-001.jpg


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6380
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-11

Eine Umformulierung des Yoneda-Lemmas ist, dass für jedes Objekt $A$ einer Kategorie $\mathcal{C}$ der Funktor $\mathrm{Hom}(\mathcal{C},\mathbf{Set}) \to \mathbf{Set}$, $F \mapsto F(A)$ darstellbar ist, nämlich durch den Funktor $\mathrm{Hom}(A,-)$. Daher folgt b) sofort aus a). Sag Bescheid, falls du noch mehr Hilfe brauchst.


   Profil
Timethie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Timethie wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]