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  Bedingte Unabhängigkeit |
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RaffeJos
Junior 
Dabei seit: 31.07.2021
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2022-05-13 13:19
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Hallo zusammen,
ich bin gerade ein wenig am Stochastik lernen und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54892_Screenshot_2022-05-13_130900.jpg
Meine Idee war auf der linken Seite anzufangen und dann durch Umformungen zur rechten Seite zu kommen. Ich habe bis jetzt die Def. der bedingten Wahrscheinlichkeit angewandt und habe probiert mit der Multiplikationsformel weiter zu kommen, jedoch hilft mir das nicht weiter.
\(P(A \cap B | C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C | A \cap B)}{P(C)}\)
Hier habe ich dann weiter probiert mit \(P(B|A)\) zu vereinfach, da A und B ja stochastisch unabhängig sind. Aber bei \(P(C | A \cap B)\) bekomme ich wieder den Schnitt aller drei Mengen, wenn ich die Def. der Unabhängigkeit anwende.
Hat jemand von euch vielleicht eine Idee oder einen Tipp?🙂
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 Profil
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 699
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-13 14:40
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Moin, du arbeitest mit Annahmen, die explizit in der Aufgabe nicht getroffen werden. Z.B. musst du zur Berechnung von $P(C\mid A\cap B)$ annehmen, dass $P(A\cap B)>0$ gilt ...
Die Gleichung ist aequivalent mit
\[P(A\cap B\cap C)\cdot P(C)=P(A\cap C)\cdot P(B\cap C)\,.\]
Vielleicht kann man ja so Honig saugen.
vg Luis\(\endgroup\)
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RaffeJos
Junior
Dabei seit: 31.07.2021
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 11:00
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Erst einmal danke luis.
Das mit der Voraussetzung hatte ich ganz vergessen, damit hast du mir auf jeden Fall schonmal weitergeholfen!
Aber ich bin darauf gekommen, dass die Gleichung äquivalent zu\(\frac{P(A\cap B \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A\cap C)P(B\cap C)}{P(C)}\), wenn man die Def. der bedingten Wahrscheinlichkeit anwendet. Da kann man dann die P(C) kürzen, aber ich weiß nicht ganz, was mein Ziel sein soll, wenn ich lediglich die Gleichung umstelle.
Meine Idee war ja, dass ich bei der linken Seite anfangen muss, um dann zur rechten Seite umzustellen und dabei die Voraussetzung benutze, dass A und B stoch. unabhängig sind. Ist das denn schon der falsche Ansatz?
Ich hab auch weiter rumprobiert, aber es wird leider kein Schuh draus🙁
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7716
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14 13:50
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Hallo RaffeJos,
ich würde mal versuchen, nach einem Gegenbeispiel zu suchen.
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RaffeJos
Junior
Dabei seit: 31.07.2021
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 15:16
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\quoteon(2022-05-14 13:50 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3)
Hallo RaffeJos,
ich würde mal versuchen, nach einem Gegenbeispiel zu suchen.
\quoteoff
Das Leben kann so einfach sein, danke!
Ich habe mir ein Beispiel überlegt, bei dem Kugeln, auf denen noch Zahlen stehen, gezogen werden. Habe zwei Ereignisse A und B so gewählt, dass sie stochastisch unabhängig sind und das dritte Ereignis C so, dass P(C) > 0.
Und überprüft man das mit der Gleichung, so sind die linke und rechte Seite ungleich. Also folgt aus der stochastischen Unabhängigkeit von A und B nicht die Gleichung.
Vielen Dank für den Tipp!
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