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 Vollständigkeit und induzierte Metrik |
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Max_Br
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Mitteilungen: 82
 |  Themenstart: 2022-05-14 14:22
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Hallo,
(X, d) ist ein vollständiger metrischer Raum und X`\subsetequal\ X eine beschränkte Teilmenge von X. Jetzt ist der metrische Raum (X`,d`) genau dann vollständig, wenn X` als Teilmenge von X abgeschlossen ist.
Dabei ist die Abbildung d`: X`\cross\ X`->\IR die durch d induzierte Metrik auf X`.
Ich verstehe nicht warum (X`, d`) genau dann vollständig ist, wenn X` als Teilmenge abgeschlossen ist.
Kann mir das vielleicht jemand erklären?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-14 14:50
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Was hast du denn bereits versucht? Der Beweis ist sehr einfach, benutze einfach die Definition von "vollständig" und die Charakterisierung / Definition von "abgeschlossen" über Folgengrenzwerte (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805).
Die Beschränktheit von $X'$ wird nicht benötigt.
Sei $X'$ vollständig. Um zu zeigen, dass $X'$ abgeschlossen ist, nehme eine konvergente Folge $x_n \to x$ in $X$ mit $x_n \in X'$. Dann ist $(x_n)$ eine Cauchyfolge in $X'$ (warum?), also ...
Sei umgekehrt $X'$ abgeschlossen. Um zu zeigen, dass $X'$ vollständig ist, nehme eine Cauchyfolge $(x_n)$ in $X'$. Diese ist dann auch eine Cauchyfolge in $X$ (wieso?), also ...
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Max_Br
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 15:29
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Wenn ich eine konvergente Folge x_n -> x in X mit x_n \el\ X` nehme. Dann muss (x_n) eine Chauchyfolge in X` sein, weil aus der Vollständigkeit von X` folgt, dass jede Chauchyfolge in X` konvergieren muss.
Bin ich soweit richtig? Falls ja verstehe ich noch nicht warum deshalb X` abgeschlossen sein muss...
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14 15:30
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Nein, das Argument ist nicht richtig. Benutze die Definitionen und verwechsle $\Rightarrow$ nicht mit $\Leftarrow$.
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Max_Br
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 15:49
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Also laut Definition wird jeder metrische Raum (X,d) vollständig genannt, wenn jede Chauchyfolge konvergiert.
Soweit zumindest mit der Definition...
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-14 15:59
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Ja, aber du hast eine konvergente Folge in $X$ gegeben.
Keine Cauchyfolge in $X'$.
Diese musst du erst konstruieren. Genau darum geht es in diesem Beweisschritt.
Schau dir bitte Beitrag 1 noch einmal in Ruhe an.
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