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Mathematik » Zahlentheorie » Paralleluniversum Collatz [4]: Wertemenge und Abbildungen
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Kein bestimmter Bereich Paralleluniversum Collatz [4]: Wertemenge und Abbildungen
blindmessenger
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Hallo, wie in Collatz 3 gezeigt hat jeder Algorithmus seine eigenen Wertemengen: Für Algorithmen der Form $3n+k$ gilt: \[ \begin{array}{|c|c|c|} Algo. &Wertemenge \\\hline 3n+1&6i+1;6i+5 \\\hline 3n+3& 6i+3 \\\hline 3n+5&6i+1;6i+5 \\\hline 3n+7& 6i+1;6i+5 \\\hline 3n+9& 6i+3 \\\hline 3n+11& 6i+1;6i+5 \\\hline \end{array} \] \quoteoff Für Algorithmen der Form $jn+1$ gilt: \[ \begin{array}{|c|c|p{3cm}p{7cm}|} Algo. &Wertemenge \\\hline 3n+1&6i+1;6i+5 \\\hline 5n+1& 10i+1;10i+3;10i+7;10i+9 \\\hline 7n+1& 14i+1,14i+9,14i+11 \\\hline 9n+1& 6i+1;6i+5 \\\hline 11n+1& 22i+1;22i+3;22i+5;22i+7;22i+9;22i+13;22i+15;22i+17;22i+19;22i+21 \\\hline 13n+1& 26i+1;26i+3;26i+5;26i+7;26i+9;26+11;26i+15;26i+17;26i+19;26i+21;26n+23;26n+25 \\\hline 15n+1& 6i+1;6i+5 \\\hline 17n+1& 34i+1;34i+9;34n+13;34i+15; 34i+19; 34i+21; 34i+25; 34i+33 \\\hline \end{array} \] \quoteoff Es lässt sich aber noch schärfer formulieren. Wir können mit den Wertemengen Abbildungen bilden durch geschickte Wahl von Restklassen. Das sieht dann ungefähr so aus. Bei den Algorithmen $3n+k$ ergeben sich folgende Abbildungen $$Für \ 3n+1 \ gilt:$$ $$24n+1\ \rightarrow 18n+1$$ $$24n+17\ \rightarrow 18n+13$$ $$48n+13\ \rightarrow 18n+5$$ $$48n+29\ \rightarrow 18n+11$$ $$96n+37\ \rightarrow 18n+7$$ $$192n+181\ \rightarrow 18n+17$$ $$Für \ 3n+3 \ gilt:$$ $$24n+3\ \rightarrow 18n+3$$ $$24n+11\ \rightarrow 18n+9$$ $$24n+19 \ \rightarrow 18n+15$$ $$Für \ 3n+5 \ gilt:$$ $$24n+5\ \rightarrow 18n+5$$ $$24n+13\ \rightarrow 18n+11$$ $$48n+1\ \rightarrow 18n+1$$ $$48n+17\ \rightarrow 18n+7$$ $$96n+89\ \rightarrow 18n+17$$ $$192n+137\ \rightarrow 18n+13$$ Bei den Algorithmen $jn+1$ ergeben sich folgende Abbildungen $$Für \ 5n+1 \ gilt:$$ $$20n+1\ \rightarrow 50n+3$$ $$20n+9\ \rightarrow 50n+23$$ $$20n+13\ \rightarrow 50n+33$$ $$20n+17\ \rightarrow 50n+43$$ $$40n+7\ \rightarrow 50n+9$$ $$40n+23\ \rightarrow 50n+29$$ $$40n+31\ \rightarrow 50n+39$$ $$40n+39\ \rightarrow 50n+49$$ $$80n+11\ \rightarrow 50n+7$$ $$80n+27\ \rightarrow 50n+17$$ $$80n+43\ \rightarrow 50n+27$$ $$80n+59\ \rightarrow 50n+37$$ $$160n+3\ \rightarrow 50n+1$$ $$160n+67\ \rightarrow 50n+21$$ $$160n+99\ \rightarrow 50n+31$$ $$160n+131\ \rightarrow 50n+41$$ $$320n+83\ \rightarrow 50n+13$$ $$640n+243\ \rightarrow 50n+19$$ $$1280n+1203\ \rightarrow 50n+47$$ $$2560n+563\ \rightarrow 50n+11$$ $$Für \ 7n+1 \ gilt:$$ $$28n+3\ \rightarrow 98n+11$$ $$28n+11\ \rightarrow 98n+39$$ $$28n+15\ \rightarrow 98n+53$$ $$28n+19\ \rightarrow 98n+67$$ $$28n+23\ \rightarrow 98n+81$$ $$28n+27\ \rightarrow 98n+95$$ $$56n+5 \ \rightarrow 98n+9$$ $$56n+13\ \rightarrow 98n+23$$ $$56n+29 \ \rightarrow 98n+51$$ $$56n+37\ \rightarrow 98n+65$$ $$56n+45\ \rightarrow 98n+79$$ $$56n+53\ \rightarrow 98n+93$$ $$112n+1\ \rightarrow 98n+1$$ $$112n+17\ \rightarrow 98n+15$$ $$112n+33\ \rightarrow 98n+29$$ $$112n+65\ \rightarrow 98n+57$$ $$112n+81\ \rightarrow 98n+71$$ $$112n+97\ \rightarrow 98n+85$$ $$224n+57\ \rightarrow 98n+25$$ $$224n+185\ \rightarrow 98n+81$$ $$448n+169\ \rightarrow 98n+37$$ Mit diesen Abbildungen ergeben sich vielleicht ein paar interessante Ansätze.


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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22

Immerhin lässt sich für den Algorithmus $5n+1$ ein geschlossenes System (Baum) darstellen (Was für den Collatz Algorithmus $3n+1$ glaube ich schwieriger oder nicht möglich ist): $$Für \ 50n+1 \ gilt:$$ $$20n+1\ \rightarrow 50n+3$$ $$40n+31\ \rightarrow 50n+39$$ $$80n+11\ \rightarrow 50n+7$$ $$160n+131\ \rightarrow 50n+41$$ $$Für \ 50n+3 \ gilt:$$ $$20n+13\ \rightarrow 50n+33$$ $$40n+23\ \rightarrow 50n+29$$ $$80n+43\ \rightarrow 50n+27$$ $$160n+3\ \rightarrow 50n+1$$ $$320n+83\ \rightarrow 50n+13$$ $$640n+243\ \rightarrow 50n+19$$ $$1280n+1203\ \rightarrow 50n+47$$ $$2560n+563\ \rightarrow 50n+11$$ $$Für \ 50n+7 \ gilt:$$ $$20n+17\ \rightarrow 50n+43$$ $$40n+7\ \rightarrow 50n+9$$ $$80n+27\ \rightarrow 50n+17$$ $$160n+67\ \rightarrow 50n+21$$ $$Für \ 50n+9 \ gilt:$$ $$20n+9\ \rightarrow 50n+23$$ $$40n+39\ \rightarrow 50n+49$$ $$80n+59\ \rightarrow 50n+37$$ $$160n+99\ \rightarrow 50n+31$$ $$Für \ 50n+11 \ gilt:$$ $$20n+1\ \rightarrow 50n+3$$ $$40n+31\ \rightarrow 50n+39$$ $$80n+11\ \rightarrow 50n+7$$ $$160n+131\ \rightarrow 50n+41$$ $$Für \ 50n+13 \ gilt:$$ $$20n+13\ \rightarrow 50n+33$$ $$40n+23\ \rightarrow 50n+29$$ $$80n+43\ \rightarrow 50n+27$$ $$160n+3\ \rightarrow 50n+1$$ $$320n+83\ \rightarrow 50n+13$$ $$640n+243\ \rightarrow 50n+19$$ $$1280n+1203\ \rightarrow 50n+47$$ $$2560n+563\ \rightarrow 50n+11$$ $$Für \ 50n+17 \ gilt:$$ $$20n+17\ \rightarrow 50n+43$$ $$40n+7\ \rightarrow 50n+9$$ $$80n+27\ \rightarrow 50n+17$$ $$160n+67\ \rightarrow 50n+21$$ $$Für \ 50n+19 \ gilt:$$ $$20n+9\ \rightarrow 50n+23$$ $$40n+39\ \rightarrow 50n+49$$ $$80n+59\ \rightarrow 50n+37$$ $$160n+99\ \rightarrow 50n+31$$ $$Für \ 50n+21 \ gilt:$$ $$20n+1\ \rightarrow 50n+3$$ $$40n+31\ \rightarrow 50n+39$$ $$80n+11\ \rightarrow 50n+7$$ $$160n+131\ \rightarrow 50n+41$$ $$Für \ 50n+23 \ gilt:$$ $$20n+13\ \rightarrow 50n+33$$ $$40n+23\ \rightarrow 50n+29$$ $$80n+43\ \rightarrow 50n+27$$ $$160n+3\ \rightarrow 50n+1$$ $$320n+83\ \rightarrow 50n+13$$ $$640n+243\ \rightarrow 50n+19$$ $$1280n+1203\ \rightarrow 50n+47$$ $$2560n+563\ \rightarrow 50n+11$$ $$Für \ 50n+27 \ gilt:$$ $$20n+17\ \rightarrow 50n+43$$ $$40n+7\ \rightarrow 50n+9$$ $$80n+27\ \rightarrow 50n+17$$ $$160n+67\ \rightarrow 50n+21$$ $$Für \ 50n+29 \ gilt:$$ $$20n+9\ \rightarrow 50n+23$$ $$40n+39\ \rightarrow 50n+49$$ $$80n+59\ \rightarrow 50n+37$$ $$160n+99\ \rightarrow 50n+31$$ $$Für \ 50n+31 \ gilt:$$ $$20n+1\ \rightarrow 50n+3$$ $$40n+31\ \rightarrow 50n+39$$ $$80n+11\ \rightarrow 50n+7$$ $$160n+131\ \rightarrow 50n+41$$ $$Für \ 50n+33 \ gilt:$$ $$20n+13\ \rightarrow 50n+33$$ $$40n+23\ \rightarrow 50n+29$$ $$80n+43\ \rightarrow 50n+27$$ $$160n+3\ \rightarrow 50n+1$$ $$320n+83\ \rightarrow 50n+13$$ $$640n+243\ \rightarrow 50n+19$$ $$1280n+1203\ \rightarrow 50n+47$$ $$2560n+563\ \rightarrow 50n+11$$ $$Für \ 50n+37 \ gilt:$$ $$20n+17\ \rightarrow 50n+43$$ $$40n+7\ \rightarrow 50n+9$$ $$80n+27\ \rightarrow 50n+17$$ $$160n+67\ \rightarrow 50n+21$$ $$Für \ 50n+39 \ gilt:$$ $$20n+9\ \rightarrow 50n+23$$ $$40n+39\ \rightarrow 50n+49$$ $$80n+59\ \rightarrow 50n+37$$ $$160n+99\ \rightarrow 50n+31$$ $$Für \ 50n+41 \ gilt:$$ $$20n+1\ \rightarrow 50n+3$$ $$40n+31\ \rightarrow 50n+39$$ $$80n+11\ \rightarrow 50n+7$$ $$160n+131\ \rightarrow 50n+41$$ $$Für \ 50n+43 \ gilt:$$ $$20n+13\ \rightarrow 50n+33$$ $$40n+23\ \rightarrow 50n+29$$ $$80n+43\ \rightarrow 50n+27$$ $$160n+3\ \rightarrow 50n+1$$ $$320n+83\ \rightarrow 50n+13$$ $$640n+243\ \rightarrow 50n+19$$ $$1280n+1203\ \rightarrow 50n+47$$ $$2560n+563\ \rightarrow 50n+11$$ $$Für \ 50n+47 \ gilt:$$ $$20n+17\ \rightarrow 50n+43$$ $$40n+7\ \rightarrow 50n+9$$ $$80n+27\ \rightarrow 50n+17$$ $$160n+67\ \rightarrow 50n+21$$ $$Für \ 50n+49 \ gilt:$$ $$20n+9\ \rightarrow 50n+23$$ $$40n+39\ \rightarrow 50n+49$$ $$80n+59\ \rightarrow 50n+37$$ $$160n+99\ \rightarrow 50n+31$$


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27

ok Um hier mal etwas Licht ins Dunkel zu bringen wg. den ganzen Restklassen, Wertemengen und Definitionsmengen... Nehmen wir die den Algorithmus $$C_{3n+1}(n)\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ 3n+1 & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right. $$ Die Zielmenge hierfür wäre $$B_{3n+1}=\{6i+1:i\in\mathbb N\}\cup\{6i+5:i\in\mathbb N\}$$ Eine mögliche Definitionsmenge wäre dann $$A_{3n+1}=\{4i+3:i\in\mathbb N\}\cup\{8i+1:i\in\mathbb N\}$$ weil es gilt $$f_c:4i+3 \to 6i+5$$ $$f_c:8i+1 \to 6i+1$$ d.h. $$f_c:A_{3n+1} \to B_{3n+1}$$ Diese Abbildung gilt für alle ungeraden Zahlen. Bei folgenden Iterationsschritten trifft diese Abbildung aber nicht mehr zu weil die Definitionsmenge keine vollständige Teilmenge der Zielmenge ist. Vereinfacht gesprochen als Beispiel: Die $3$ kann zwar zur $5$ iteriert werden, aber es kann keine andere Zahl zur 3 iteriert werden, daher kann bei weiteren Iterationsschritten $4i+3$ keine Definitionsmenge mehr sein. Wir sollten also eine Abbildung finden bei der die Definitionsmenge Teil der Zielmenge ist. Durch Probieren treten folgende mögliche Restklassen zu Tage. (Der Faktor sollte als Vielfaches von $3$ gewählt werden, damit die Definitionsmenge Teilmenge der Zielmenge bleibt): $$f_c:12i+7 \to 18i+11$$ $$f_c:12i+11 \to 18i+17$$ $$f_c:24i+1 \to 18i+1$$ $$f_c:24i+17 \to 18i+13$$ $$f_c:48i+13 \to 18i+5$$ $$f_c:96i+37 \to 18i+7$$ Als Definitionsmenge ergibt sich somit: $$X_{3n+1}=\{12i+7:i\in\mathbb N\}\cup\{12i+11:i\in\mathbb N\}\cup\{24i+1:i\in\mathbb N\}\cup\{24i+17:i\in\mathbb N\}\cup\{48i+13:i\in\mathbb N\}\cup\{96i+37:i\in\mathbb N\}$$ Die Zielmenge $$Y_{3n+1}=\{18i+11:i\in\mathbb N\}\cup\{18i+17:i\in\mathbb N\}\cup\{18i+1:i\in\mathbb N\}\cup\{18i+13:i\in\mathbb N\}\cup\{18i+5:i\in\mathbb N\}\cup\{18i+7:i\in\mathbb N\}$$ entspricht genau $$B_{3n+1}=\{6i+1:i\in\mathbb N\}\cup\{6i+5:i\in\mathbb N\}$$ Analog kann man vorgehen bei $$C_{5n+1}(n)\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ 5n+1 & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right. $$ Zielmenge $$B_{5n+1}=\{10i+1:i\in\mathbb N\}\cup\{10i+3:i\in\mathbb N\}\cup\{10i+7:i\in\mathbb N\}\cup\{10i+9:i\in\mathbb N\}$$ Weil $$f_c:20i+1 \to 50i+3$$ $$f_c:20i+9 \to 50i+23$$ $$f_c:20i+13 \to 50i+33$$ $$f_c:20i+17 \to 50i+43$$ $$f_c:40i+7 \to 50i+9$$ $$f_c:40i+23 \to 50i+29$$ $$f_c:40i+31 \to 50i+39$$ $$f_c:40i+39 \to 50i+49$$ $$f_c:80i+11 \to 50i+7$$ $$f_c:80i+27 \to 50i+17$$ $$f_c:80i+43 \to 50i+27$$ $$f_c:80i+59 \to 50i+37$$ $$f_c:160i+3 \to 50i+1$$ $$f_c:160i+67 \to 50i+21$$ $$f_c:160i+99 \to 50i+31$$ $$f_c:160i+131 \to 50i+41$$ $$f_c:320i+83 \to 50i+13$$ $$f_c:640i+243 \to 50i+19$$ $$f_c:1280i+1203 \to 50i+47$$ $$f_c:2560i+563 \to 50i+11$$ ergibt sich als Definitionsmenge $$X_{5i+1}=\{20i+1:i\in\mathbb N\}\cup\{20i+9:i\in\mathbb N\}\cup\{20i+13:i\in\mathbb N\}\cup\{20i+17:i\in\mathbb N\}\cup\{40i+7:i\in\mathbb N\}\cup\{40i+23:i\in\mathbb N\}\cup\{40i+31:i\in\mathbb N\}\cup\{40i+39:i\in\mathbb N\}\cup\{80i+11:i\in\mathbb N\}\cup\{80i+27:i\in\mathbb N\}\cup\{80i+43:i\in\mathbb N\}\cup\{80i+59:i\in\mathbb N\}\cup\{160i+3:i\in\mathbb N\}\cup\{160i+67:i\in\mathbb N\}\cup\{160i+99:i\in\mathbb N\}\cup\{160i+131:i\in\mathbb N\}\cup\{320i+83:i\in\mathbb N\}\cup\{640i+243:i\in\mathbb N\}\cup\{1280i+1203:i\in\mathbb N\}\cup\{2560i+563:i\in\mathbb N\}$$ Die Zielmenge $$Y_{5i+1}=\{50i+3:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+23:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+33:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+43:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+9:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+29:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+39:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+49:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+7:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+17:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+27:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+37:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+1:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+21:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+31:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+41:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+13:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+19:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+47:i\in\mathbb N\}\cup\{50i+11:i\in\mathbb N\}$$ entspricht genau $B_{5n+1}$.


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-04 14:03

Die Zielmenge lässt sich gleichbleibend in die 6 Restklassen 18n+i einteilen. Die Anzahl der Abbildungen geht gegen unendlich: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46287_Abbildungen3.png


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-04 21:43

Die Anzahl der Abbildungen geht gegen unendlich. Die Abbildungen lassen sich jedoch durch drei mathematische Folgen beschreiben wie folgt. Beispiel Collatzalgorithmus $3n+1$: Um alle Abbildungen durch Folgen vollständig zu beschreiben ist es sinnvoll 3 Klassen zu bilden Abbildungen der Klasse 1 $$f_c:a_1n+b_1 \to 18n+c_1 $$ Folge 1 $$a_1=3\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_1=\frac{c_1\cdot2^i-1}{3}$$ Folge 3 $$c_1\in\{11,1,5,7,17,13,11,1,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgt konkret: $$12n+7 \to 18n+11$$ $$24n+1\to 18n+1$$ $$48n+13\to 18n+5$$ $$96n+37\to 18n+7$$ $$192n+181\to 18n+17$$ $$384n+277 \to 18n+13$$ $$... n+... \to 18n+11$$ Abbildungen der Klasse 2 $$f_c:a_2n+b_2 \to 18n+c_2 $$ Folge 1 $$a_2=3\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_2=\frac{c_2\cdot2^i-1}{3}$$ Folge 3 $$c_2\in\{17,13,11,1,5,7,17,13,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgt konkret: $$12 n+ 11 \to 18n+17$$ $$24 n+ 17 \to 18n+13$$ $$48 n+ 29 \to 18n+11$$ $$96 n+ 5 \to 18n+1$$ $$192 n+ 53 \to 18n+5$$ $$384 n+ 149 \to 18n+7$$ $$... n+ ... \to 18n+17$$ Abbildungen der Klasse 3 $$f_c:a_3n+b_3\to 18n+c_3 $$ Folge 1 $$a_3=3\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_3=\frac{c_3\cdot2^i-1}{3}$$ Folge 3 $$c_3\in\{5,7,17,13,11,1,5,7,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgt konkret: $$12 n+ 3 \to 18n+5$$ $$24 n+ 9 \to 18n+7$$ $$48 n+ 45 \to 18n+17$$ $$96 n+ 69 \to 18n+13$$ $$192 n+ 117 \to 18n+11$$ $$384 n+ 21 \to 18n+1$$ $$... n+ ... \to 18n+5$$ Zusammengenommen sind diese 3 Klassen von Abbildungen dann eigentlich alle Abbildungen die überhaupt entstehen können.


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-05 20:08

Analog lassen sich die Abbildungen zu dem Algorithmus 5n+1 finden. Hier ergeben sich 5 Klassen. Abbildungen der Klasse 1 $$f_c:a_1n+b_1 \to 50n+c_1 $$ Folge 1 $$a_1=5\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_1=\frac{c_1\cdot2^i-1}{5}$$ Folge 3 $$c_1\in\{3,39,7,41,33,29,27,1,13,19,47,11,43,9,17,21,23,49,37,31,3,39,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgen die Abbildungen: $$20n+1 \to 50n+3$$ $$40n+31 \to 50n+39$$ $$80n+11 \to 50n+7$$ $$160n+131 \to 50n+41$$ $$320n+211 \to 50n+33$$ $$640n+371 \to 50n+29$$ $$1280n+691 \to 50n+27$$ $$2560n+51 \to 50n+1$$ $$...\ \to \ ...$$ Abbildungen der Klasse 2 $$f_c:a_2n+b_2 \to 50n+c_2 $$ Folge 1 $$a_2=5\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_2=\frac{c_2\cdot2^i-1}{5}$$ Folge 3 $$c_2\in\{33,29,27,1,13,19,47,11,43,9,17,21,23,49,37,31,3,39,7,41,33,29,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgen die Abbildungen: $$20n+13 \to 50n+33$$ $$40n+23 \to 50n+29 $$ $$80n+43\to 50n+27$$ $$160n+3 \to 50n+1$$ $$320n+83\to 50n+13 $$ $$640n+243\to 50n+19$$ $$1280n+1203 \to 50n+47$$ $$2560n+563\to 50n+11$$ $$...\ \to \ ...$$ Abbildungen der Klasse 3 $$f_c:a_3n+b_3 \to 50n+c_3 $$ Folge 1 $$a_3=5\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_3=\frac{c_3\cdot2^i-1}{5}$$ Folge 3 $$c_3\in\{43,9,17,21,23,49,37,31,3,39,7,41,33,29,27,1,13,19,47,11,43,9,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgen die Abbildungen: $$20n+17\to 50n+43$$ $$40n+7 \to50n+9$$ $$80n+27\to 50n+17$$ $$160n+67\to 50n+21$$ $$320n+147\to 50n+23$$ $$640n+627\to 50n+49$$ $$1280n+947\to 50n+37 $$ $$2560n+1587 \to 50n+11$$ $$... \ \to \ ...$$ Abbildungen der Klasse 4 $$f_c:a_4n+b_4 \to 50n+c_4 $$ Folge 1 $$a_4=5\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_4=\frac{c_4\cdot2^i-1}{5}$$ Folge 3 $$c_4\in\{23,49,37,31,3,39,7,41,33,29,27,1,13,19,47,11,43,9,17,21,23,49,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgen die Abbildungen: $$20n+9 \to 50n+23$$ $$40n+39\to 50n+49$$ $$80n+59\to 50n+37$$ $$160n+99\to 50n+31$$ $$320n+19 \to 50n+3$$ $$640n+499\to 50n+39$$ $$1280n+179\to 50n+7$$ $$2560n+2099\to 50n+41$$ $$... \ \to \ ...$$ Abbildungen der Klasse 5 $$f_c:a_5n+b_5 \to 50n+c_5 $$ Folge 1 $$a_5=5\cdot2^{i+1}$$ Folge 2 $$b_5=\frac{c_5\cdot2^i-1}{5}$$ Folge 3 $$c_5\in\{13,19,47,11,43,9,17,21,23,49,37,31,3,39,7,41,33,29,27,1,13,19,...\}$$ $$n\in\mathbb{N_0}$$ $$i\in\mathbb{N}$$ Daraus folgen die Abbildungen: $$20n+5 \to50n+13$$ $$40n+15\to 50n+19$$ $$80n+75\to 50n+47$$ $$160n+35\to 50n+11$$ $$320n+275\to 50n+43$$ $$640n+115\to 50n+9$$ $$1280n+435\to 50n+17$$ $$2560n+1075\to 50n+21$$ $$... \ \to \ ...$$


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blindmessenger
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-05 21:19

Eine Verallgemeinerung für Algorithmen der Form $$C_{jn+1}(n)\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ jn+1 & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right. $$ $$j\in \{3,5,7,9,11,13,15,... \} $$ sähe dann wohl so aus: $$f_c:a \cdot m+b \to c \cdot m+d $$ $$m\in\mathbb{N}$$ $$Folge\ 1$$ $$a=j\cdot2^{v+1}$$ $$v\in\mathbb{N_{>0}}$$ $$Folge \ 2$$ $$b=\frac{d\cdot2^{v}-1}{j}$$ $$Folge \ 3$$ $$c(j)=8\Bigl(\frac{j+1}{2}\Bigr)^2-8\frac{j+1}{2}+2=A077591$$ $$Folge \ 4$$ $$d=q^{v+k} \ mod \ c $$ $$Folge \ 5$$ $$q(j)\left\{\begin{array}{2}\frac{3j+1}{2} & wenn\;\;(j-3) \ mod \ 4=0 \\ \frac{j+1}{2} & wenn \ (j-3) \ mod \ 4 \neq 0 \end{array}\right. $$ $$k\in \{u_1,u_2,u_3,...\}$$ $$u_1\in \{0,2,4,6,...\}$$ $$u_2\in \{0,4,8,12,...\}$$ $$u_3\in \{0,3,6,9,12...\}$$ $u$ orientiert sich an der Folge A002326 https://oeis.org/A002326 https://oeis.org/A077591


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juergenX
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-06 01:34

\quoteon(2022-06-04 21:43 - blindmessenger in Beitrag No. 4) Die Anzahl der Abbildungen gehen gegen unendlich. Die Abbildungen lassen sich jedoch durch drei mathematische Folgen beschreiben wie folgt. Beispiel Collatzalgorithmus $3n+1$: Um alle Abbildungen durch Folgen vollständig zu beschreiben ist es sinnvoll 3 Klassen zu bilden: \quoteoff Von mir etwas umgeschrieben: Abbildungen der Klasse 1: $\displaystyle f_c:a_1n+b_1 \to 18n+c_1$, wobei wir mit $fc$ eine Abbildunngvoschrift aller (un)geraden collatzglieder auf ihre Nachfolger haben sollten. Und c_1 soll wohl der Nachfolger von c_0 sein. Vorgaben sind: $\displaystyle n\in\mathbb{N_0}$. $\displaystyle i \in\mathbb{N}$. J ungerade. Und i? Ich hatte einfach das Problem damit, Deine Buchstabenvergabe und das konkrete besetzen der Variablen i,b,c,j,n nachzuvollziehen. Nochmals: Anzahl der Klassen=3. Klasse 1: $\displaystyle f_c:a_1n+b_1 \to d\cdot n+d_1$. j = belebig ungerade. 1 Bsp. fuer Folge 1: $\displaystyle n = 3, a_1 = 24, b1= 9: a_1n+b_1 =81 \to 18n+ c_1 =18\cdot 5 +1, d=18, d+1 = 81$; Beispiele für Folge 2: $\displaystyle c1=7, j=3, i=2, b_1=\frac{c_1\cdot2^{i}-1}{j} =\frac{27}{3} = 9$. $\displaystyle c1=11, j=3, i=1, b_1=\frac{c_1\cdot2^{i}-1}{j} =\frac{21}{3} = 3$. $\displaystyle c1=5, j=3, i=3, b_1=\frac{c_1\cdot2^{i}-1}{j} =\frac{39}{3} = 13$. $\displaystyle c1=35, j=3, i=1, b_1=\frac{c_1\cdot2^{i}-1}{j} =\frac{69}{3} = 23$. Für Folge 3: $\displaystyle j =3, c_1\in \{11,1,5,7,17,13,11,1,...\}$. Das sind konsequnt durchgerechnet (Danke an Jonas )alles ungerade Reste nach 18. Ich hoffe, ich habe die Folgen verstanden... Ungerade Reste bez der 18, also 1,3,5,7,9,11,13,15,17 sollten alle getroffen werden. Woher kommt das? Wohl wenn man gewissen a,b,c,i,j,n in obige 2 Formeln einsetzt?! Ich glaub es dir aber auch so ;) Vermutung: Deine Folgen 1 und 2 sind nichts weiter als die Standard-Collatzanweisungen fuer ungerade Glieder, wenn c_n = ungerade Ich habe jetzt eine gewisse Zeit fuer diese Erkenntnis investiert :) Daraus folgst Du: $\displaystyle 12n+7 \to 18n+11$. $\displaystyle 24n+1\to 18n+1$. $\displaystyle 48n+13\to 18n+5$. $\displaystyle 96n+37\to 18n+7$. $\displaystyle 192n+181\to 18n+17$. $384n+277 \to 18n+13$. Was ich nicht bezweifle, wenn man gewisse passende a,b,c,i,j,n in obige 2 Folgen einsetzt. Wahrscheinlich bin ich auch einer der wenigen, die sich die Muehe machten da mal Zahlen fuer a,c_0,c_1,b,i,j,n einzusetzen. Ich rechne solche Formel gern an konkreten Zahlen nach. Meine Bitte waere Zahlen fuer a,c_0,c_1,b,i,j,n zu nehmen Und wie du auf $\displaystyle 96n+37\to 18n+7$ kommst. Interessant ist aber, dass wenn das alles oben stimmt, alle aufgeführten Collatzfolgen in die ungeraden Representanten der Faktorgruppe $\displaystyle\mathbb Z/(18)$ enden. https://oeis.org/A077591 Maximum number of regions into which the plane can be divided using n (concave) quadrilaterals. Daher z.B. die 18n. Was bitte sind konkave quadrilaterals (=Vierecke?) In der Zeichnung unten nur die unten rechts, alle anderen sind Konvex. Wie wird eine Region (was ist das ?) mittels konkaver Vierecke aufgeteilt? Und warum nur auf diese bestimmten Arten? https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Six_Quadrilaterals.svg/330px-Six_Quadrilaterals.svg.png Thx (erstmals "fertig" 8:24 am 6.6.22 MEST)


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-06 14:44

Hallo Jürgen es ergibt sich folgendes: Eingabe: $$j=3$$ $$v=4$$ $$k=4$$ Formeln $$a=j\cdot2^{v+1}$$ $$b=\frac{d_1\cdot2^{v}-1}{j}$$ $$c=8\Bigl(\frac{j+1}{2}\Bigr)^2-8\frac{j+1}{2}+2=A077591$$ $$d=q^{v+k} \ mod \ c$$ $$q(j)\left\{\begin{array}{2}\frac{3j+1}{2} & wenn\;\;(j-3) \ mod \ 4=0 \\ \frac{j+1}{2} & wenn \ (j-3) \ mod \ 4 \neq 0 \end{array}\right. $$ $$j\in \{3,5,7,9,11,13,... \} $$ $$k=u_1\in \{0,4,8,12,...\}$$ Ausgabe: $$a=96$$ $$b=37$$ $$c=18$$ $$d=7$$ Und somit: $$ 96n+37\to 18n+7$$


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-09 20:22

\quoteon(2022-06-06 01:34 - juergenX in Beitrag No. 7) Interessant ist aber, dass wenn das alles oben stimmt, alle aufgeführten Collatzfolgen in die ungeraden Representanten der Faktorgruppe $\displaystyle\mathbb Z/(18)$ enden. https://oeis.org/A077591 Maximum number of regions into which the plane can be divided using n (concave) quadrilaterals. Daher z.B. die 18n. Wie wird eine Region (was ist das? ) mittels konkaver Vierecke aufgeteilt? Und warum nur auf diese bestimmten Arten? \quoteoff Wie bitte werden konkave quadrilaterals (=Vierecke?) sinnvoll angeordnet? Interessant und evtl. nicht ganz zufällig ist der Zusammenhang zur Parkettierung der Ebene mit Vierecken: "which the plane can be divided using n (concave) quadrilaterals." ist mit "the plane" eine (un)endliche Ebene gemeint?- Also haben wir hier eine topologische oder geometrische Analogie? http://www.mathematische-basteleien.de/parkett17.gif das sind 12 konkave Vierecke in einer endlichen Ebene, die wir ja beliebig fortsetzen können.. wieso also 1,2,18,50...?


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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-09 20:45

\quoteon(2022-06-09 20:22 - juergenX in Beitrag No. 9) ist mit "the plane" eine (un)endliche Ebene gemeint? \quoteoff Mit "plane" wird die euklidische Ebene bezeichnet. Also "unendlich".


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-10 16:29

Ich denke die meinen so etwas hier: a(2)=18 https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46287_Screenshot_2022-06-10_160734.png und für a(3)=50 https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46287_Screenshot_2022-06-10_161333.png a(4)=98 https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46287_a4_2.png


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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-12 11:49

Ja danke! Aber wie z.B. beim ersten Bild zählst du 18? Ecken, Kanten, Flächen? Guten Tag --------------------- Hier sonnig aber dunstig 24/14° und zu trocken das ganze Jahr schon *anmerk*


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12 22:15

Ich denke es ist so gemeint: Die eingeschlossene Flächen (Regionen) wären 17 plus die Fläche ausserhalb ergibt 18. Bei a (3) sollten es 49 eingeschlossene "Regionen" sein plus die Fläche ausserhalb ergibt 50. Zitat: "a(2) = 18 if you draw two concave quadrilaterals such that all four sides of one cross all four sides of the other."


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-13 12:25

https://oeis.org/A069129 Diese Folge passt wohl besser...


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