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Strukturen und Algebra » Gruppen » Faktorgruppe bestimmen
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Universität/Hochschule Faktorgruppe bestimmen
nitram999
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  Themenstart: 2022-05-17

Hallo, ich habe die Frage, wie man die Faktorgruppe S_4 //V_4 explizit bestimmen kann. Also V_4 ist dabei die Kleinsche Vierergruppe. Die Faktorgruppe müsste ja 6 Elemente haben. LG nitram999

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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, wie wäre es damit die Definition zu benutzen? $S_4/V_4$ besteht aus allen Nebenklassen $\pi V_4$ mit $\pi\in S_4$.\(\endgroup\)

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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-18

Die Definition von $G/N$ ist dass es einen surjektiven Homomorphismus $G \to G/N$ mit Kern $N$ gibt (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1600). Versuche also einen surjektiven Homomorphismus $S_4 \to S_3$ mit Kern $V_4$ zu finden. Nützlich ist dabei ein geometrisches Bild im Kopf zu entwickeln. Alternativ kannst du $\mathrm{Aut}(V_4) \cong S_3$ benutzen und die Wirkung von $S_4$ auf $V_4$ durch Konjugation betrachten. Lösung: \hideonhttps://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=51298 \hideoff

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nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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