Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Gehe ich hier richtig vor, Fixpunktiteration
Autor
Universität/Hochschule Gehe ich hier richtig vor, Fixpunktiteration
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Themenstart: 2022-05-18

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55596_asb.png Bezüglich der Fixpunktiteration arctan(e^-x)=1/2 auf 2*x*arctan(e^-x)=x bringen oder? Dann muss ich die erste Ableitung bestimmen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55596_bro.png Aber wie gehe ich nun weiter vor? Ich habe ja kein Intervall angegeben? Was kann ich nun tun?


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1410
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du könntest doch sicher mal qualitativ einen Punkt finden, an dem sicher $\arctan(\e^{-x})>1/2$ gilt. Analog könntest du einen finden, wo sicher $\arctan(\e^{-x})<1/2$ gilt. Dann hast du einen Bereich auf dem du dein Verfahren anwenden kannst. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 22:32 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Hallo, du könntest doch sicher mal qualitativ einen Punkt finden, an dem sicher $\arctan(\e^{-x})>1/2$ gilt. Analog könntest du einen finden, wo sicher $\arctan(\e^{-x})<1/2$ gilt. Dann hast du einen Bereich auf dem du dein Verfahren anwenden kannst. LG Nico \quoteoff Danke aber das gilt ja für arctan(e^-x)-1/2 abgeleitet und nicht 2xarctan(e^-x) oder? Also hast du garnicht diese Form der Fixpunktgleichung ovn 2arctan(e^-x) genommen, sondern direkt arctan(e^-x)-1/2, darf man das auch?


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1410
Wohnort: Köln
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-18

Ich verstehe dein Problem nicht. Wenn du so ein Intervall wie von mir beschrieben gefunden hast, dann weißt du doch auch, dass in diesem Intervall die Lösung liegen muss. Dann kannst du eines der Verfahren auf diesem Intervall verwenden.


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 22:44 - nzimme10 in Beitrag No. 3) Ich verstehe dein Problem nicht. Wenn du so ein Intervall wie von mir beschrieben gefunden hast, dann weißt du doch auch, dass in diesem Intervall die Lösung liegen muss. Dann kannst du eines der Verfahren auf diesem Intervall verwenden. \quoteoff Aso, weil ich habe verstanden, dass bei der Fixpunktiteration gelten müsse, dass ich die Gleichung erst auf die Form gleich x bringen muss, was ja mit 2arctan(e^-x)=x gegeben wäre? Dein Vorgehen wäre ja da anders


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1410
Wohnort: Köln
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Das tut doch nichts zur Sache. Wenn $x_0$ die Gleichung $f(x_0)=c$ erfüllt, dann kann man das so umformulieren, dass $x_0$ die Lösung eines Fixpunktproblems ist. Setzt man $g(x):=f(x)-c+x$, dann gilt $g(x_0)=x_0$. Eine Lösung der Gleichung $f(x)=c$ zu finden ist also das selbe, wie einen Fixpunkt der Funktion $g$ zu finden. Wenn $x_0\in I$ für ein Intervall $I\subseteq \mathbb R$ gilt, dann liegt auch der Fixpunkt (einer der Fixpunkte) von $g$ in diesem Intervall.\(\endgroup\)


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 22:54 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Das tut doch nichts zur Sache. Wenn $x_0$ die Gleichung $f(x_0)=c$ erfüllt, dann kann man das so umformulieren, dass $x_0$ die Lösung eines Fixpunktproblems ist. Setzt man $g(x):=f(x)-c+x$, dann gilt $g(x_0)=x_0$. Eine Lösung der Gleichung $f(x)=c$ zu finden ist also das selbe, wie einen Fixpunkt der Funktion $g$ zu finden. Wenn $x_0\in I$ für ein Intervall $I\subseteq \mathbb R$ gilt, dann liegt auch der Fixpunkt (einer der Fixpunkte) von $g$ in diesem Intervall. \quoteoff Okay danke, also x=0 bis x=4 wäre so ein Intervall, aber warum muss das Intervall erfüllen, dass es in einem Punkt kleiner 1/2 und im anderen größer 1/2 ist, warum 1/2?


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1410
Wohnort: Köln
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Weil du eine Zahl $x_0$ suchst, so dass genau $1/2$ rauskommt, wenn du $x_0$ in die Funktion auf der linken Seite einsetzt. Da $x\mapsto \arctan(\exp(-x))$ stetig ist garantiert dir der Zwischenwertsatz, dass dann in diesem Intervall auf jeden Fall solch eine Zahl $x_0$ existiert. \(\endgroup\)


   Profil
lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11350
Wohnort: Sankt Augustin NRW
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-18

Die Nullstellen welcher Funktion suchst du denn? kommt da 1/2 vor? lula [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-18 23:06 - lula in Beitrag No. 8) Die Nullstellen welcher Funktion suchst du denn? kommt da 1/2 vor? lula [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.] \quoteoff Hi, warum Nullstelle? Ist die Fixpunktiteration dafür da Nullstellen zu finden? Ich dachte das sei dafür um sowas wie f(epsilon)=epsilon zu finden und keine NUllstellen? Ich weiß leider gar nicht, ob ich überhaupt eine Nullstelle suchen müsste... Die Aufgabenstellung steht ja eigentlich oben, was genau soll ich da überhaupt dann prüfen?


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1410
Wohnort: Köln
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich verstehe dein Problem nicht so ganz. Du hast eine Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ x\mapsto \arctan(\e^{-x})$ gegeben und suchst nun (mit Hilfe numerischer Verfahren) eine reelle Zahl $x_0$ mit $f(x_0)=1/2$. Du hast dich gewundert, wie du das machen sollst, wenn $f$ auf ganz $\mathbb R$ und nicht etwa nur auf einem Intervall $[a,b]$ definiert ist. Ich habe dir vorgeschlagen, durch vorherige Überlegungen solch ein Intervall zu finden und dann wäre doch deine Fragestellung obsolet? Es ist z.B. $\arctan(1)=\frac \pi 4>\frac 12$. Weiter ist $\e^{-0}=1$. Folglich ist $f(0)=\frac \pi 4>\frac 12$. Weiter gilt $f(x)\to 0$ für $x\to \infty$. Wenn du hier nicht weiter überlegen willst, dann nimm einfach eine naheliegende Zahl, z.B. $2$, für die $f(x)<\frac 12$ gilt. Nun weißt du, dass $f$ auf dem Intervall $[0,2]$ irgendwo mal den Wert $\frac 12$ annehmen muss. Für deine Verfahren kannst du nun also mit dem Intervall arbeiten. For all intents and purposes könntest du auch von vorne rein ein plausibel wirkendes Intervall "erraten" und dann mit deinen Verfahren beginnen. Wenn du damit eine Lösung für dein Problem findest, ist doch alles gut. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 07:53 - nzimme10 in Beitrag No. 10) Ich verstehe dein Problem nicht so ganz. Du hast eine Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ x\mapsto \arctan(\e^{-x})$ gegeben und suchst nun (mit Hilfe numerischer Verfahren) eine reelle Zahl $x_0$ mit $f(x_0)=1/2$. Du hast dich gewundert, wie du das machen sollst, wenn $f$ auf ganz $\mathbb R$ und nicht etwa nur auf einem Intervall $[a,b]$ definiert ist. Ich habe dir vorgeschlagen, durch vorherige Überlegungen solch ein Intervall zu finden und dann wäre doch deine Fragestellung obsolet? Es ist z.B. $\arctan(1)=\frac \pi 4>\frac 12$. Weiter ist $\e^{-0}=1$. Folglich ist $f(0)=\frac \pi 4>\frac 12$. Weiter gilt $f(x)\to 0$ für $x\to \infty$. Wenn du hier nicht weiter überlegen willst, dann nimm einfach eine naheliegende Zahl, z.B. $2$, für die $f(x)<\frac 12$ gilt. Nun weißt du, dass $f$ auf dem Intervall $[0,2]$ irgendwo mal den Wert $\frac 12$ annehmen muss. Für deine Verfahren kannst du nun also mit dem Intervall arbeiten. For all intents and purposes könntest du auch von vorne rein ein plausibel wirkendes Intervall "erraten" und dann mit deinen Verfahren beginnen. Wenn du damit eine Lösung für dein Problem findest, ist doch alles gut. LG Nico \quoteoff Danke, das Problem ist, dass wir dir Fixpunktiteration nie so angewendet haben. In den Vorlesungsfolien hatten wir immer solche Beispiele wie .... = irgendeineKonstante (diese .... stehen für eine FUnktion) Dann haben wir IMMER, das so umgeformt, dass wir nicht irgendeine Konstante haben, sonder immer steht ....=x. Sprich nach den Vorlesungsfolien müsste ich: arctan(e^-x)=1/2 zu 2xarctan(e^-x)=x umformen. Und dann müsste ich mit 2xarctan(e^-x) arbeiten, so steht das zumindest in unseren Unterlagen, deshalb bin ich etwas verwirrt.


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1410
Wohnort: Köln
  Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Was hindert dich denn nun daran? Du hast nun ein Intervall, z.B. $[0,2]$ und dein Problem bereits zu einem Fixpunktproblem $2x\arctan(\e^{-x})=x$ umformuliert. Woran scheitert es nun noch? LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 17:49 - nzimme10 in Beitrag No. 12) Was hindert dich denn nun daran? Du hast nun ein Intervall, z.B. $[0,2]$ und dein Problem bereits zu einem Fixpunktproblem $2x\arctan(\e^{-x})=x$ umformuliert. Woran scheitert es nun noch? LG Nico \quoteoff Die Sache ist, ich muss doch zeigen, dass ich von [a,b] auf [a,b] abbilde, verkleinern wir das Intervall auf [0.5,0.6], weil in diesem Intervall gilt dies. Dafür müsste ich ja zunächst mal nachweisen, dass strenge monotonie der FUnktion herrscht, wenn ich das nun ableite, also 2xarctan(e^-x) so bekomme ich: 2arctan(e^-x)-( 2x*e^-x)/(e^(-2)+1) raus. Jetzt müsste ich ja abschätzen irgendwie, dass das im Intervall von 0.5 bis 0.6 immer negativ ist (Weil dann habe ich streng fallend, kann die beiden Randwerte bei f einsetzen und so [a,b]-->[a,b] begründen. Aber iwe kann ich das abschätzen? allein dieses 2arctan(e^-x)?


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Oder moment: arctan(e^-x)+x-1/2=x ist auch eine Fixpunktgleichung für das oben f(x)= arctan(e^-x)+x1/2 f ´(x)=1 - e^(-x)/(1+e^(-2x)) = 1 - 1/(e^x*e^(-2x) (immer größer als 0) --> Streng monoton steigend. Jetzt wähle ich Intervall [-10,10] f(-10)= ca. -9 f(-10)= arctan(e^-x)+x1/2=9.5 Aus strenger monotonie folgt [-10,10]->[-10,10] ABER: ich kann die Fixpunktiteration nicht anwenden, weil ich L nicht auf <1 abschätzen kann?


   Profil
manuel28 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]