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  Zeige, dass Borel-σ-Algebra offene Mengen enthält |
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WagW
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 |  Themenstart: 2022-05-19
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Hallo zusammen,
folgende Aufgabe haben wir im Stochastik-Kurs bekommen, ohne jetzt tiefere Grundkenntnisse in Maß-und Integrationstheorie zu haben.
Sei $\mathcal{B}^n$ die Borel-sigma Algebra über $\mathbb{R}^n$. Zeige, dass $\mathcal{B}^n$ alle offenen Mengen von $\mathbb{R}^n$ enthält.
Meine Idee dazu:
Zunächst wissen wir aus der VL, dass sich $\mathcal{B}^n$ mittels der Mengen $I:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid a_i0$. OBdA sei $\epsilon\in(0,\infty)\cap\mathbb{Q}$. (Ansonsten finden wir ein kleineres $\epsilon$ welches rational ist, sodass offensichtlich auch weiterhin $I_{\epsilon}(y)\subset M$ gilt)
$\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)$ ist abzählbar und für alle $\epsilon\in E_y$ ist $I_{\epsilon}(y)\in\mathcal{B}^n$. Da $\mathcal{B}^n$ eine $\sigma$-Algebra ist, gilt $\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\in \mathcal{B}^n$.
Auch $\bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)$ ist abzählbar und daher $\bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)\in \mathcal{B}^n$.
Wir zeigen nun nur noch: $M=\bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)$.
Die Richtung $M\supseteq\bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)$ ist trivial.
Verbleibt also $M\subseteq\bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)$.
Falls wir irgendein Element $y\in M\cap \mathbb{Q}^n$ nehmen dann sehen wir sofort, dass $y\in\bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)$.
Falls wir irgendein Element $x\in M\setminus\mathbb{Q}^n$ dann wird es leider etwas komplizierter:
Da $M$ offen ist, finden wie ein $\epsilon>0$ sodass $I_{\epsilon}(x)\subset M$. ObdA nehmen wir $\epsilon\in\mathbb{Q}$ an. Natürlich ist auch $I_{\frac{\epsilon}{2}}(x)\subset M$. Da $\mathbb{Q}^n$ dicht in $\mathbb{R}^n$ ist, finden wir ein $y\in\mathbb{Q}^n$ mit $y\in I_{\frac{\epsilon}{2}}(x)$. Wir sehen, dass $x\in I_{\frac{\epsilon}{2}}(y) $. Da $\frac{\epsilon}{2}$ rational ist und $I_{\frac{\epsilon}{2}}(y) \subset I_{\epsilon}(x)\subset M$ folgt, dass $x \in \bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)$. Damit gilt $x\in \bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)$ und somit $M=\bigcup\limits_{y\in M\cap \mathbb{Q}^n}\left(\bigcup\limits_{\epsilon\in E_y}I_{\epsilon}(y)\right)$.
Ist das so richtig? Kann man das auch irgendwie einfacher machen? Insbesondere der Teil $x\in M\setminus\mathbb{Q}^n$ ist irgendwie kompliziert.
viele Grüße
WagW
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-19
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
was war denn eure Definition für $\mathcal B^n$? Wirklich, dass sie von den offenen Quadern erzeugt wird?
Siehe z.B. auch hier Beitrag #9.
LG Nico\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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\quoteon(2022-05-19 17:52 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
was war denn eure Definition für $\mathcal B^n$? Wirklich, dass sie von den offenen Quadern erzeugt wird?
[...]
\quoteoff
Ja genau
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-19
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Dann könntest du dich wie gesagt auch an dem von mir verlinkten Beitrag orientieren.
Du musst ja, wie du schon richtig rausgefunden hast, nur zeigen, dass man jede offene Teilmenge als abzählbare Vereinigung solcher Quader schreiben kann.
Wenn du jede Menge aber als (formal beliebig große) Vereinigung solcher Quader mit rationalen Eckpunkten schreiben kannst, dann bist du auch schon fertig, denn davon gibt es ja nur abzählbar viele. Das vereinfacht dir das Aufschreiben deines Beweises sehr.
LG Nico
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WagW
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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Was ist denn an meinem Beweis falsch?
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-19
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Du hast gefragt, ob es auch kürzer geht oder ob man es auch einfacher aufschreiben kann.
Auf diese Frage bezieht sich meine Antwort.
Zu deinem Beweis: Du sagst ja, dass $\bigcup_{\varepsilon \in E_y} I_{\varepsilon}(y)$ abzählbar wäre. Ja, es ist eine abzählbare Vereinigung, aber $I_{\varepsilon}(y)$ ist doch nicht abzählbar? Du solltest also betonen, dass die Vereinigung eine abzählbare ist, nicht, dass die Menge abzählbar ist. Ansonsten sehe ich aber gerade keine weiteren "Fehler".
LG Nico\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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Ich bin gerade mal Deinen Beweis aus dem verlinkten Beitrag durchgegangen. Wenn ich das richtig sehe wird Dein Ansatz dadurch kürzer, dass Du ausnutzt, dass man für ein irrationales $x$ einen offenen Quader findet, den man mittels rationaler $y$ konstruieren kann. Damit "zwingt" man alle überabzählbar vielen Elemente in ein abzählbaren Rahmen. Das fühlt sich auf den ersten Blick irgendwie unintuitiv an, wahrscheinlich ist mir das daher nicht in den Sinn gekommen.
In dem Kontext fällt mir gerade noch auf, dass man den Spieß auch umdrehen kann. Also wenn ich einen offenen Quader mit beliebigen Endpunkten habe, dann finde ich ja zwischen den beiden Endpunkten immer einen rationalen Punkt. Damit finde ich für jeden Quader immer eine rationale Zahl, sodass die Vereinigung aller Quader mit beliebigen Endpunkten abzählbar sein muss.
Stimmt das?
Damit müsste ich dann meinen Beweis stark vereinfachen können.
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-19
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Mein Argument macht gar keine Unterscheidung, ob der Punkt rational oder irrational ist. Der "Witz" daran ist, dass man jeden Punkt $x\in O$ ($O\subseteq \mathbb R^n$ offen) mit einem achsenparallelen offenen Quader $Q_x$ mit rationalen Eckpunkten umschließen kann, der auch noch ganz in $O$ enthalten ist.
Damit lässt sich $O$ als Vereinigung all dieser $Q_x$ schreiben. Da es aber insgesamt nur abzählbar viele solcher Quader geben kann, muss diese Vereinigung sogar abzählbar sein bzw. es können nur abzählbar viele der $Q_x$ auch wirklich verschieden sein.
LG Nico\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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Der Vollständigkeit halber wäre das mein vereinfachter/verkürzter Ansatz:
Sei $O$ eine beliebige offene Menge aus $\mathbb{R}^n$. Aufgrund der Offenheit finden wir für ein beliebiges $x\in O$ eine $U_{\epsilon(x)}(x)\subseteq O$. Da $\mathbb{Q}^n$ dicht in $\mathbb{R}^n$ liegt, finden wir ein $y\in\mathbb{Q}^n\cap U_{\epsilon(x)}(x)$. Damit finden wir für jedes $U_{\epsilon(x)}(x)\subseteq O$ ein rationales $y(x)$, sodass $\bigcup\limits_{x\in O} U_{\epsilon(x)}(x)$ eine abzählbare Vereinigung ist (da $\mathbb{Q}^n$ abzählbar ist). Es gilt offensichtlich $O=\bigcup\limits_{x\in O} U_{\epsilon(x)}(x)$. Da die einzelnen $U_{\epsilon(x)}(x)$ den Mengen der Bauart $I:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid a_i
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nzimme10
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-20
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Das ergibt so m.E. nach noch keinen Sinn.
Wenn du willst, dass deine $U_{\varepsilon(x)}(x)$ offene Quader sind, dann solltest du am besten betonen, dass du mit der Maximumsmetrik arbeitest. Sonst würde ich zumindest bei $U_\varepsilon(x)$ eher an eine offene Kugel, als an einen offenen Quader denken.
\quoteon
Damit finden wir für jedes $U_{\epsilon(x)}(x)\subseteq O$ ein rationales $y(x)$, sodass $\bigcup\limits_{x\in O} U_{\epsilon(x)}(x)$ eine abzählbare Vereinigung ist (da $\mathbb{Q}^n$ abzählbar ist).
\quoteoff
Was hat dieses $y(x)$ nun mit dieser Vereinigung zu tun? In der Notation der Vereinigung kommt kein $y$ oder $y(x)$ vor. Du möchtest vermutlich sagen, dass jedes $x\in O$ in einer Kugel $U_{\varepsilon(x)}(y(x))$ enthalten ist und daher die Vereinigung
$$
\bigcup_{x\in O} U_{\varepsilon(x)}(y(x))
$$
abzählbar ist bzw. höchstens abzählbar viele der Mengen in der Vereinigung verschieden sind? Aber auch das ist dann nicht direkt klar. Die "Radien" $\varepsilon(x)$ hängen ja auch noch von $x$ ab und es gibt ja überabzählbar viele $x\in O$, wenn $O$ nicht gerade leer ist. Du müsstest also auch die "Radien" rational wählen.
Wenn du diese Dinge berücksichtigst, dann hast du im Prinzip genau das selbe gemacht, wie ich bei meiner Argumentation, nur irgendwie sehr verschleiert.
LG Nico\(\endgroup\)
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WagW
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Ja das war nicht ganz sauber von mir war wohl schon zu spät 😂. Wenn wir die Maximum-Norm voraussetzen und ich das entsprechend korrigiere komme ich auf:
Sei $O$ eine beliebige offene Menge aus $\mathbb{R}^n$. Für ein rationales $y$ sei $O_y:=\bigcup\limits_{\epsilon\in(0,\infty)\cap\mathbb{Q}\\\text{ mit: }U_{\epsilon}(y)\subset O}U_{\epsilon}(y)$, welches abzählbar ist. Die $U_{\epsilon}(y)$ sind gemäß Aufgabenstellung in der Borel-$\sigma$-Algebra enthalten. Die Vereinigung $\bigcup\limits_{y\in\mathbb{Q}^n\cap O}O_y$ ist abzählbar. Damit ist $\bigcup\limits_{y\in\mathbb{Q}^n\cap O}O_y$ auch in der Borel-$\sigma$-Algebra enthalten.
Für ein beliebiges $x\in O$ finden wir aufgrund der Offenheit eine $U_{\epsilon(x)}(x)\subseteq O$, wobei wir OBdA annehmen können, dass $\epsilon>0$ rational ist.
Da $\mathbb{Q}^n$ dicht in $\mathbb{R}^n$ liegt, finden wir ein $y\in\mathbb{Q}^n\cap U_{\frac{\epsilon(x)}{2}}(x)$ und damit gilt auch andersrum $x\in U_{\frac{\epsilon(x)}{2}}(y)$ was sofort zu $x\in O_y$ führt.
Also $O\subset \bigcup\limits_{y\in\mathbb{Q}^n\cap O}O_y$. Offensichtlich gilt auch $O\supset \bigcup\limits_{y\in\mathbb{Q}^n\cap O}O_y$, sodass man $O$ durch eine abzählbare Vereinigung von Borel-Mengen darstellen kann bzw. $O\in\mathcal{B}^n$.
Das müsste doch dann so passen?
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nzimme10
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-20
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Ich finde das nach wie vor irgendwie etwas "verklausuliert", aber der Beweis passt so.
LG Nico
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WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WagW hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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