Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Basis von Polynomen mit komplexen Koeffizienten
Autor
Universität/Hochschule Basis von Polynomen mit komplexen Koeffizienten
dergeodaet
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2022-05-19

Moin, ich stehe gerade vor einem Problem. Und zwar habe ich folgende drei Polynome im \(Pol_{3} \mathbb{C}\): \(p_{1}(X) = i,\, p_{2}(X) = X^{2} + 1 \,\text{und}\, p_{3}(X) = (X + i)^2 \) In einem ersten Schritt ging es darum zu zeigen bzw. zu prüfen, ob diese drei Polynome linear abhängig bzw. linear unabhängig sind. Dort habe ich über einen Koeffizientenvergleich als Ergebnis erhalten, dass diese Polynome linear unabhängig sind. Dann soll in einem zweiten Schritt eine Basis mit diesen drei Polynomen ermittelt werden. Das heißt, da dieser Vektorraum als Dimension 4 hat, benötige ich ein weiteres Polynom. Meine Wahl fiel dabei erstmal auf \[p_{4}(X) = X^{3} \] und dann gilt es ja für eine Basis zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendendsystem bilden und linear unabhängig sind. Und hier hakt es bei mir. Ich habe ein beliebiges Polynom aus dem Vektorraum genommen und gleichgesetzt mit dem Polynom das sich aus den vier obigen ergibt. Das sah dann schon aasmultipliziert und umgeformt so aus: \[\alpha \cdot X^{3} + \beta \cdot x^{2} + \mu \cdot X + \gamma = (d)\cdot X^{3} + (b + c)\cdot X^{2} + (c \cdot 2i)\cdot X + ((b - c) + ai)\cdot 1\] Dann habe ich wieder ein LGS aufgestellt und es kommt für drei der vier Faktoren auch das entsprechend \(\alpha, \beta, \mu\), aber bei dem letzten Teil \(\gamma\) erhalte ich dieses nicht. Kann es also sein, dass ich mich irgendwie verrechnet habe bzw. ein falschen Ansatz hab, oder diese vier Vektoren kein Erzeugendensystem bilden? Über Hilfe bzw. einen Tipp wäre ich sehr dankbar. Edit: Ich habe danach die lineare Unabhängigkeit geprüft und die vier Vektoren als linear unabhängig festgestellt. Daher meine Verwirrung.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9540
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-19

Hallo, doch, die vier Vektoren bilden eine Basis. Für alles andere müsstest du aber deine Rechnung samt Resultaten noch posten. Man kann die Frage zwar theoretisch auf einfacherem Weg klären, aber dein Ansatz mit dem LGS ist schon richtig. Nur wie gesagt: ohne weitere Infos können wir dir nicht sagen, wo dann ggf. beim Lösen des LGS ein Fehler passiert ist. Gruß, Diophant


   Profil
dergeodaet
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Ok dann poste ich mal mein Rechenweg: \[I.\, \alpha = d\\ II.\, \beta = b + c\\ III.\, \mu = c \cdot 2i\\ IV.\, \gamma = (b - c) + ai \] Dann habe ich Gleichung 1 umgedreht und 3 nach c aufgelöst: \[I.\, d = \alpha\\ II.\, \beta = b + c\\ III.\, c = \frac{\mu}{2i}\\ IV.\, \gamma = (b - c) + ai \] Dann III. in II. eingesetzt \[I.\, d = \alpha\\ II.\, b = \beta - \frac{\mu}{2i} \\ III.\, c = \frac{\mu}{2i}\\ IV.\, \gamma = (b - c) + ai \] und das dann in IV eingesetzt: \[I.\, d = \alpha\\ II.\, b = \beta - \frac{\mu}{2i} \\ III.\, c = \frac{\mu}{2i}\\ IV.\, a = \frac{\gamma - \beta}{i} - \mu \] Und wenn ich das jetzt einsetzte in die Gleichung erhalte ich \[\alpha \cdot X^{3} + (\beta - \frac{\mu}{2i} + \frac{\mu}{2i})\cdot X^{2} + (\frac{\mu}{2i} \cdot 2i) \cdot X \] Das löst sich dann in Wohlgefallen auf, aber der letzte Teil ist dann \[\beta - \frac{\mu}{2i} - \frac{\mu}{2i} + \frac{\gamma - \beta}{i} - \mu \] Da muss ja am Ende \(\gamma\) rauskommen. Aber das bekomme ich nicht hin oder bin zu dumm das zu sehen.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9540
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-19 18:05 - dergeodaet in Beitrag No. 2) Ok dann poste ich mal mein Rechenweg: \[I.\, \alpha = d\\ II.\, \beta = b + c\\ III.\, \mu = c \cdot 2i\\ IV.\, \gamma = (b - c) + ai \] Dann habe ich Gleichung 1 umgedreht und 3 nach c aufgelöst: \[I.\, d = \alpha\\ II.\, \beta = b + c\\ III.\, c = \frac{\mu}{2i}\\ IV.\, \gamma = (b - c) + ai \] Dann III. in II. eingesetzt \[I.\, d = \alpha\\ II.\, b = \beta - \frac{\mu}{2i} \\ III.\, c = \frac{\mu}{2i}\\ IV.\, \gamma = (b - c) + ai \] und das dann in IV eingesetzt: \[I.\, d = \alpha\\ II.\, b = \beta - \frac{\mu}{2i} \\ III.\, c = \frac{\mu}{2i}\\ IV.\, a = \frac{\gamma - \beta}{i} - \mu \] \quoteoff Das kann man noch ein wenig vereinfachen, wenn man \(1/i=-i\) verwendet. Aber die Resultate bekomme ich auch. \quoteon(2022-05-19 18:05 - dergeodaet in Beitrag No. 2) Und wenn ich das jetzt einsetzte in die Gleichung erhalte ich \[\alpha \cdot X^{3} + (\beta - \frac{\mu}{2i} + \frac{\mu}{2i})\cdot X^{2} + (\frac{\mu}{2i} \cdot 2i) \cdot X \] Das löst sich dann in Wohlgefallen auf, aber der letzte Teil ist dann \[\beta - \frac{\mu}{2i} - \frac{\mu}{2i} + \frac{\gamma - \beta}{i} - \mu \] Da muss ja am Ende \(\gamma\) rauskommen. Aber das bekomme ich nicht hin oder bin zu dumm das zu sehen. \quoteoff Den letzten Teil verstehe ich nicht. Auf der rechten Seite sollte doch eine Linearkombination der gewählten Basis stehen. Nach meiner Rechnung wäre das: \[\alpha X^3+\left(\beta+\frac{i}{2}\mu\right)\left(X^2+1\right)-\frac{i}{2}\mu\cdot\left(X+i\right)^2+\left(\gamma-\beta-i\cdot\mu\right)\cdot i\] Rechenfehler nicht ausgeschlossen. Jedenfalls musst du das Polynom wenn schon denn schon wie oben als Linearkombination deiner Basiselemente ausdrücken. Und wenn das gelingt, dann hast du damit gezeigt, dass das oben eine Basis von \(\on{Pol_3}\IC\) ist (und damit auch ein Erzeugendensystem). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
dergeodaet
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Danke für die Hilfe. Ich hab meine Ergebnisse in die Gleichung in meinem ersten Post eingesetzt. Ich hatte den Teil mit den gegebenen Polynomen ausmultipliziert und geordnet, damit es vermeintlich übersichtlicher wird. Und wenn ich in dieser das Einsetzte, dann erhalte ich das was ich im letzten Teil herausbekommen habe. Dann habe ich das missverstanden. Das man das direkt mit den gegebenen Basen darstellt, hab ich irgendwie nicht verstanden bis jetzt.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9540
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 18:45 - dergeodaet in Beitrag No. 4) Dann habe ich das missverstanden. Das man das direkt mit den gegebenen Basen darstellt, hab ich irgendwie nicht verstanden bis jetzt. \quoteoff Das ist doch (u.a.) der tiefere Sinn bzw. die Bedeutung einer Basis: dass man jedes Element des betreffenden Vektorraums als Linearkombination dieser Basis darstellen kann. Sprich: als Summe von Vielfachen der einzelnen Elemente. Und genau das möchtest du doch zeigen, bzw. das möchte die Aufgabe von dir. Gruß, Diophant


   Profil
dergeodaet
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Was eine Basis bedeutet und was der Sinn dahinter ist, ist mir schon klar gewesen. Mein Hauptproblem lag darin, dass ich nicht richtig wusste, wann bzw. wie ich zeige, dass in dem Fall ein Erzeugendensystem vorliegt. Das es eine Basis ist, das habe ich ja auch geprüft und auch das richtige Ergebnis herausgefunden. Das mit dem ES hatte ich noch nicht richtig verstanden.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9540
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 19:13 - dergeodaet in Beitrag No. 6) Was eine Basis bedeutet und was der Sinn dahinter ist, ist mir schon klar gewesen. Mein Hauptproblem lag darin, dass ich nicht richtig wusste, wann bzw. wie ich zeige, dass in dem Fall ein Erzeugendensystem vorliegt. Das es eine Basis ist, das habe ich ja auch geprüft und auch das richtige Ergebnis herausgefunden. Das mit dem ES hatte ich noch nicht richtig verstanden. \quoteoff Eine Basis ist einfach nur ein kleinstmögliches Erzeugendensystem. Insbesondere ist eine Basis immer ein Erzeugendensystem. Gruß, Diophant


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9520
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-19

Hallo, vielleicht kannst du auch theoretischer an die Sache herangehen - vier linear unabhängige Elemente in einem vierdimensionalen Vektorraum....... Viele Grüße Wally


   Profil
dergeodaet hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]