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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Skalarprodukt auf beliebigem Vektorraum
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Universität/Hochschule J Skalarprodukt auf beliebigem Vektorraum
Berpal23
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2022-05-21

Hallo, ich habe ein (vielleicht triviale) Frage. Kann man auf jedem beliebigen Vektorraum ein Skalarprodukt definieren?


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-21

Ich nehme an, dass du einen reellen Vektorraum meinst. Wähle eine Basis $(b_i)_{i \in I}$ und definiere $\langle -, - \rangle$ durch bilineare Fortsetzung von $\langle b_i,b_j \rangle = \delta_{ij}$. Nach Konstruktion ist das eine symmetrische Bilinearform. Für einen Vektor $v = \sum_i a_i b_i$ (mit $a_i \in \IR$, wobei fast alle $a_i=0$ sind) gilt $\langle v , v \rangle = \sum_{i} a_i^2$, also $\langle v,v \rangle \geq 0$ mit Gleichheit genau dann, wenn alle $a_i=0$ bzw. $v=0$.


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Berpal23
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22

Das klärt meine Frage, besten Dank!!


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