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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Definition von unzerlegbaren Objekten
Autor
Universität/Hochschule J Definition von unzerlegbaren Objekten
eisenstein01
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  Themenstart: 2022-05-26

Hi Leute, ich hätte eine Frage zu der Definition von unzerlegbaren Objekten (Kategorientheorie): Folgende Definition hatten wir in der VL: Ein Objekt $X$ aus einer Kategorie $C$ heißt $\mathbb{unzerlegbar}$, wenn (a) $X$ nicht initial ist und (b) wenn für alle $A, B \in C$ mit $A \sqcup B =X$ folgt, dass $A$ oder $B$ ein initiales Objekt in $C$ sein muss. Meine Frage: Geht man hier in der Definition davon aus, dass $A \neq B$? Denn wenn ich beweisen will, dass einelementige Mengen in $\textbf{Set}$ unzerlegbar sind, so würde ich dies eigentlich mittels Kardinalitätsargumenten beweisen wollen, aber dies macht nur Sinn, wenn eben $A \neq B$. LG

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-26

Nein, man geht nicht von $A \neq B$ aus. (Mir ist auch nicht klar, wie du darauf kommst und inwiefern das hier helfen sollte.) Vor allem von einem strukturellen Standpunkt aus betrachtet ergibt es keinen Sinn, überhaupt nach $A=B$ (oder dem Gegenteil) zu fragen. Wir vergleichen Objekte mit Morphismen, nicht durch Gleichheit. Beachte außerdem, dass es sich hier um Koprodukte handelt (wiederhole die Definition), dass Koprodukte nur bis auf Isomorphie eindeutig sind (mit $A \sqcup B = X$ ist also gemeint, dass $X$ ein Koprodukt von $A$ mit $B$ ist) und dass Koprodukte in $\mathbf{Set}$ sich durch disjunkte Vereinigungen konstruieren lassen. Dann sollte die Klassifikation klar sein. Kardinalitäten braucht man nicht (sind hier overkill). https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_union https://en.wikipedia.org/wiki/Coproduct

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eisenstein01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
eisenstein01 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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