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Analysis » Folgen und Reihen » Warum darf man im Betrag prüfen, ob eine Folge eine Nullfolge ist?
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Universität/Hochschule Warum darf man im Betrag prüfen, ob eine Folge eine Nullfolge ist?
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  Themenstart: 2022-05-30

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55622_asdaaaa.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55622_asdda.png Das macht doch keinen Sinn, dass ich das im Betrag prüfe?


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Qing
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-30

Hallo, du könntest hier auch wieder das Sandwich-Lemma bemühen und die Konvergenz gegen Null so begründen: $\frac{-1}{\sqrt{n}}\leq \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$. Da jetzt die einschließenden Folgen gegen Null konvergieren, tut dies auch die mittlere. Wenn du noch genauer hinsiehst, dann siehst du ebenfalls, dass diese Abschätzung nach oben und unten eigentlich genau das ist, was der Betrag zusammenfasst. Die betragsmäßige Folge zeigt hier also, dass die beiden Teilfolgen (für gerades und ungerades $n$) den gleichen Grenzwert Null hat. Selbstfrage für dich: Was ist der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n$?


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benutzer0
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-30

\quoteon(2022-05-30 02:36 - Qing in Beitrag No. 1) Hallo, du könntest hier auch wieder das Sandwich-Lemma bemühen und die Konvergenz gegen Null so begründen: $\frac{-1}{\sqrt{n}}\leq \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$. Da jetzt die einschließenden Folgen gegen Null konvergieren, tut dies auch die mittlere. Wenn du noch genauer hinsiehst, dann siehst du ebenfalls, dass diese Abschätzung nach oben und unten eigentlich genau das ist, was der Betrag zusammenfasst. Die betragsmäßige Folge zeigt hier also, dass die beiden Teilfolgen (für gerades und ungerades $n$) den gleichen Grenzwert Null hat. Selbstfrage für dich: Was ist der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n$? \quoteoff Danke, (1-1/Wurzel(n))^n sollte gegen 1^n, also 1 konvergieren oder? wenn ich den limes laufen lasse ist 1/Wurzel(n)=0 somit bleibt 1^n?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-30

Hallo und willkommen hier im Forum! Zu deiner eigentlichen Frage mit der Verwendung der Betragsklammern: \quoteon(2022-05-30 02:26 - benutzer0 im Themenstart) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55622_asdda.png Das macht doch keinen Sinn, dass ich das im Betrag prüfe? \quoteoff Doch, das ist einfach ein Formalismus, den man theoretisch ebensogut durch den Begleittext "es ist egal, ob der Zähler konstant 1 ist oder das Vorzeichen alterniert" ersetzen könnte. Das geschieht also im Sinn einer mathematisch korrekten bzw. ansprechenden Schreibweise und hat ansonsten keinen tieferen Sinn. Gruß, Diophant


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Qing
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-30

\quoteon Danke, (1-1/Wurzel(n))^n sollte gegen 1^n, also 1 konvergieren oder? wenn ich den limes laufen lasse ist 1/Wurzel(n)=0 somit bleibt 1^n? \quoteoff Nein, eben nicht. Kennst du schon die Eulersche Zahl?


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studkal
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\) \quoteon(2022-05-30 02:26 - benutzer0 im Themenstart) Das macht doch keinen Sinn, dass ich das im Betrag prüfe? \quoteoff Hier noch eine weitere Erklärung: Aus der Definition der Folgenkonvergenz folgt unmittelbar, dass $$\lim_{n \to \infty} a_n = a \quad (1)$$ und $$\lim_{n \to \infty} | a_n - a | = 0 \quad (2)$$ äquivalent sind. Um zu zeigen, dass $a_n = \frac{(-1)^n}{3\sqrt{n}}$ eine Nullfolge ist, genügt es also $$ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(-1)^n}{3\sqrt{n}} - 0 \right| = 0$$ zu zeigen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)


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