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Universität/Hochschule Ableitung der Rotationsmatrix
Muon
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  Themenstart: 2022-05-30

Hallo zusammen, leider komme ich gerade nicht mit der folgenden Aufgabe weiter? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-05-30_um_15.03.00.png Wenn ich die Aufgabe jetzt richtig verstanden habe, dann muss ich doch die Ableitung der Rotationsmatrix bestimmen? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-05-30_um_15.03.23.png Leider stehe ich gerade voll auf dem Schlauch und weiß echt nicht, wie genau ich das machen soll? Hat jemand vielleicht eine Idee? Finde leider nichts im Internet dazu oder verstehe ich die Aufgabe einfach nur falsch?


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-30

Moin Muon, drücke zuerst $x,y$ durch $\tilde{x},\tilde{y}$ aus und verwende die Kettenregel, die sich mit der hiesigen Terminologie gemäß \[\frac{\partial}{\partial \tilde{x}} = \frac{\partial x}{\partial \tilde{x}} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \tilde{x}} \frac{\partial}{\partial y}, \\ \frac{\partial}{\partial \tilde{y}} = \frac{\partial x}{\partial \tilde{y}} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \tilde{y}} \frac{\partial}{\partial y}\] liest. LG, semasch


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Muon
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-30

Danke semasch schon einmal für deine Hilfe 👍 \quoteon(2022-05-30 16:09 - semasch in Beitrag No. 1) drücke zuerst $x,y$ durch $\tilde{x},\tilde{y}$ aus \quoteoff Kann ich das so machen? (x^~;y^~)= M*(x,y) M^(-1)*(x^~;y^~)= M*M^(-1)(x,y) M^(-1)*(x^~;y^~)=(x,y) M soll wiederum die Rotationsmatrix sein und M^(-1) die Inverse der Rotationsmatrix


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-31

Ja, wobei anstelle des Zeilenvektors $(x,y)$ der Spaltenvektor $(x,y)^T$ gehört und in Zeile zwei auf der rechten Seite die Reihenfolge der Matrizen besser andersherum geschrieben wird im Kontext dieses Rechengangs (auch wenn die Reihenfolge in diesem konkreten Fall natürlich irrelevant ist, da die Matrizen zueinander invers sind). LG, semasch


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Muon
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31

Danke semasch noch einmal für deine Hilfe, Sorry, hatte komplett vergessen bei Zeilenvektoren das Hoch T zu schreiben. Habe jetzt für x und y folge Gleichungen erhalten. x= x^~*cos(\phi2)+y^~*sin(\phi2) y= -x^~*sin(\phi2)+y^~*cos(\phi2) Ich wollte dann die Ableitung für pdiff(1,x^~) mit Hilfe der Kettenregel herleiten pdiff(1,x^~)=pdiff(x,x^~)*pdiff(1,x)+pdiff(y,y^~)*pdiff(1,y) pdiff(1,x^~)=pdiff(x^~*cos(\phi2)+y^~*sin(\phi2),x^~)*pdiff(1,x)+pdiff(-x^~*sin(\phi2)+y^~*cos(\phi2),y^~)*pdiff(1,y) pdiff(1,x^~)=cos(\phi2)*pdiff(1,x)+cos(\phi2)*pdiff(1,y) Leider komme ich jetzt bei dem letzten Schritt nicht weiter und ich gehe stark davon aus, dass ich die Regel falsch angewendet habe, denn wenn ich jetzt noch Kosinus-Terme ableiten soll, wären diese ja null, da diese noch von phi abhängen und nicht von x oder y.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-31

Wir interessieren uns hier dafür, wie die partiellen Ableitungsoperatoren $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}$ und $\frac{\partial}{\partial \tilde{x}}, \frac{\partial}{\partial \tilde{y}}$ transformieren, i.e. miteinander zusammenhängen. Die $1$ im Zähler der zugehörigen Symbole, die du durchgehend verwendet hast, ist falsch und muss weggelassen werden. Ansonsten hast du erstmal $x,y$ in deinem ersten Gleichungssatz korrekt durch $\tilde{x}, \tilde{y}$ ausgedrückt. In deinem zweiten Gleichungssatz hast du dann die Kettenregel falsch implementiert. Die richtige Version steht in meinem vorigen Beitrag. Die Koeffizienten der Transformationsmatrix sind aber von der Form $\pm \cos(\phi), \pm \sin(\phi)$, in der Hinsicht hast du schon richtig gerechnet. Wende einfach die Kettenregel wie in Beitrag #1 an. LG, semasch


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