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Funktionentheorie » Holomorphie » komplexe Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule komplexe Differenzierbarkeit
Student10023
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  Themenstart: 2022-05-30

Sei $f(z) = exp(-\frac{1}{z^4})$ für $z \not= 0$ und $f(0) = 0$. Ich soll zeigen, dass $f$ in 0 nicht komplex differenzierbar ist, aber die Cauchy Riemann Differentialgleichungen erfüllt. Die erste Idee wäre $z = a+bi$ zu schreiben und das auszurechnen um die reelle Funktion (also $R^2 \to R^2$) explizit hinzuschreiben und so die CR-Differentialgleichung explizit nachzuprüfen. Dann müsste man nur noch zeigen, dass diese Funktion nicht reell differenzierbar ist. Da der Term aber sehr schnell sehr kompliziert wird, wollte ich fragen, ob man das irgendwie eleganter machen kann. Hat jemand eine Idee?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-30

Huhu, das ist ein Standardbeispiel - und ich sehe nicht, was da nun sehr kompliziert wird. Es ist: \(\displaystyle e^{-z^{-4}}=e^{-\frac{1}{(x+iy)^4}}=e^{-\frac{(x-iy)^4}{(x^2+y^2)^4}}=e^{-(1/r^8)(x^4+y^4-6x^2y^2-4ix^3y+4ixy^3)}=e^{-(1/r^8)(x^4+y^4-6x^2y^2)}e^{4ixy(x^2-y^2)/r^8}=e^{-(x^4+y^4-6x^2y^2)/r^8}\left[\cos\left\{\frac{4xy(x^2-y^2)}{r^8}\right\}+i\, \sin\left\{\frac{4xy(x^2-y^2)}{r^8}\right\}\right]\) mit \(r^2=x^2+y^2\). Nun kannst du doch leicht die CR-Gleichungen prüfen. Viel Erfolg! Gruß, Küstenkind


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-30

Da es nur um den Punkt $0$ geht, muss man lediglich $f(t)=\exp(-1/t^4)$ und $f(it)=\exp(-1/(it)^4)=\exp(-1/t^4)$ mit $t\in\mathbb R$ betrachten, um die partiellen Ableitungen von $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ auszurechnen. Wegen $\lim_{t\to0}\frac1t\,\exp(-1/t^4)=0$ gilt im Punkt $0$ offenbar $u_x=u_y=v_x=v_y=0$, und die CR-Differentialgleichungen sind trivialerweise erfüllt. --zippy


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Student10023
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-30

Vielen Dank für eure Antworten. Ich hätte ein paar Fragen zu Zyppis Vorschlag. 1) Ich hatte auch versucht diesen Grenzwert zu berechnen, aber war erfolglos, wie kommst du auf $Lim_{t\to 0} exp(-\frac{1}{t^4}) * \frac{1}{t}= 0$ ? 2) Wenn das gilt, müsste dann nicht $f$ in 0 differenzierbar sein, denn dieser Grenzwert ist ja gerade $f'(0)$. Wir wollen ja gerade zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert, da wir zeigen wollen, dass $f$ hier nicht differenzierbar ist oder ? (Ich hatte auch irgendwann die Idee zu zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert, indem ich zwei Folgen nehme und einsetze, habe aber nicht welche gefunden). 3) Ich sehe leider auch noch nicht wirklich warum es reicht $f(t)$ und $f(it)$ zu betrachten um die partiellen Ableitungen zu berechnen... Vielen Dank für die Hilfe


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-31

\quoteon(2022-05-30 23:00 - Student10023 in Beitrag No. 3) 1) Ich hatte auch versucht diesen Grenzwert zu berechnen, aber war erfolglos, wie kommst du auf $Lim_{t\to 0} exp(-\frac{1}{t^4}) * \frac{1}{t}= 0$ ? \quoteoff $$\left|\frac1t\,e^{-1/t^4}\right| = \left|\frac1t\,\frac1{1+\frac1{t^4}+\frac1{2t^8}+\cdots}\right| = \left|\frac1{t+\frac1{t^3}+\frac1{2t^7}+\cdots}\right| \le \left|t^3\right| \to 0$$ \quoteon(2022-05-30 23:00 - Student10023 in Beitrag No. 3) 2) Wenn das gilt, müsste dann nicht $f$ in 0 differenzierbar sein, denn dieser Grenzwert ist ja gerade $f'(0)$. \quoteoff Nein, wir haben hier nur ein reelles $t$ betrachtet, da das ausreicht, um die partielle Differenzierbarkeit von $f$ in $0$ zu zeigen. Für die totale Differenzierbarkeit müsste man ein komplexes $t$ betrachten. Dann funktioniert aber in der obigen Rechnung der "$\le$"-Schritt nicht mehr. \quoteon(2022-05-30 23:00 - Student10023 in Beitrag No. 3) 3) Ich sehe leider auch noch nicht wirklich warum es reicht $f(t)$ und $f(it)$ zu betrachten um die partiellen Ableitungen zu berechnen... \quoteoff Für die partiellen Ableitungen von $f(x+iy)$ im Punkt $0$ muss man einmal $y=0$ setzen und nach $x$ differenzieren und einmal $x=0$ setzen und nach $y$ differenzieren:$$ \lim_{t\to0}{f(t)-f(0)\over t} \;,\quad \lim_{t\to0}{f(it)-f(0)\over t} $$$f(0)=0$ führt dann zu den Grenzwerten$$ \lim_{t\to0}\frac1tf(t) \;,\quad \lim_{t\to0}\frac1tf(it) \;.$$


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Student10023
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31

ah vielen Dank. Aber damit hätte wir jetzt nur gezeigt, dass die Cauchy Riemann Differentialgleichungen erfüllt sind in 0 und nicht, dass $f$ in $0$ nicht komplex differenzierbar ist oder ? (falls ja, wie könnte man das noch folgern ?)


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-31

Wir haben gesehen, dass die Richtungsableitungen von $f$ im Punkt $0$ in die Richtungen $1$ und $i$ verschwinden. Betrachte jetzt mal eine andere Richtung, etwa $1+i$.


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Student10023
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31

ok also die Ableitung von $f$ in Richtung $1+i$ müsste sein: $$ \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} (f(h(1+i))-f(0)) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \exp(-\frac{1}{(h+hi)^4}) $$ Kann man diesen Grenzwert berechnen ? (ich habs ähnlich versucht, wie du vorhin, aber diesmal kann ich das h nicht einfach kürzen, weil ich in den Klammern (h+hi) habe.


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-31

Wegen $(1+i)^4=-4$ ist $f\bigl(t(1+i)\bigr)=e^{1/(4t^4)}\to\infty$.


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