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Mathematik » Stochastik und Statistik » aus stochastischer Konvergenz folgt P-f.s. Konvergenz?
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Universität/Hochschule aus stochastischer Konvergenz folgt P-f.s. Konvergenz?
Mathematiker36259
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  Themenstart: 2022-06-04

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben: Man hat eine Folge (X_{n}) aus reellen ZV. Es gilt: X_{n} kleiner gleich X_{n+1} P-f.s Nun muss ich folgende Implikation zeigen: (X_{n} konvergiert gegen X P-f.s <--> (X_{n}) konvergiert gegen X stochastisch "-->" diese Richtung habe ich bereits beweisen können. Bei der Rückrichtung habe ich allerdings keinerlei Ideen. Kann mir da jemand helfen? Grüße


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-23

Huhu Mathematiker36259, da $X_n$ f.s. monoton steigt, existiert $\lim X_n = \sup X_n = Y$. Allerdings könnte $Y$ noch (f.s.) unendlich sein. Schliesse das aus, in dem Du mit der Konvergenz i.W. und der (f.s.) Eindeutigkeit des Grenzwertes argumentierst. Beachte: Ggf. muss Du $\sigma$-Algebra, auf der $Y$ definiert ist noch vervollständigen (oder Du argumentierst recht umständlich, in dem Du in jedem der notwendigen Schritte ggf. eine weitere Nullmenge ausnimmst). lg, AK


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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-23

Hi AnnaKath, es muss noch Y=X fast sicher gezeigt werden. Außerdem ist "f.s. unendlich" nicht dasselbe wie "nicht f.s. endlich", um letzteres geht es hier. Gruß Buri


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AnnaKath
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-24

Huhu, @Buri der erste Punkt ist völlig klar (und ich wollte ja auch keine vollständige Lösung posten). Auch im zweiten hast Du natürlich recht (wobei ich zugebe, da nicht sonderlich drüber nachgedacht zu haben). Für mein Argument benötigten wir wohl, dass $Y$ f.s. endlich ist. Da $(X_n)_n$ stochastisch konvergiert, schien mir das klar, aber tatsächlich ist es das wohl nicht unmittelbar. Die Diskussion zu vertiefen mag den Themensteller allerdings zu sehr ablenken und verwirren, deshalb werde ich das nicht weiter kommentieren. Ich wollte wohl nur zu schlau sein... @Mathematiker Der "klassische" Beweis der gesuchten Implikation erfolgt über die Betrachtung einer f.s. konvergenten Teilfolge von $(X_n)_n$ (welche aufgrund der stochastischen Konvergenz existiert) und man kann mit Hilfe der Monotonie dann die f.s. Konvergenz der gesamten Folge nachweisen. lg, AK


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