Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Geeignete Basisvektoren für Reihenentwicklung auswählen
Autor
Universität/Hochschule Geeignete Basisvektoren für Reihenentwicklung auswählen
df1du
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 04.06.2022
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2022-06-04

Hallo, ich möchte einen Vektor \(v=\sum_{i=1}^n x_i b_i\) in einer alternativen bekannten Basis \(B^\prime=(b_1^\prime,b_2^\prime,\ldots,b_m^\prime) \) entwickeln. Von den verfügbaren \(m\) Basisvektoren sollen in einer Reihenentwicklung jedoch nur \(k


   Profil
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4100
Wohnort: Raun
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-05

Hallo df1du, herzlich Willkommen auf dem Matheplanet! Bei fest vorgegebenem k würde ich als die "bestgeeignetsten" k Basisvektoren diejenigen k Basisvektoren auswählen, für die die orthogonale Projektion von v auf den Unterraum der ausgewählten k Basisvektoren am nächsten an v liegt, also die Differenz der beiden Vektoren betragsmäßig am kleinsten ist. Die Rechenmethode weiß ich nicht auswendig und müsste ich auch erst heraussuchen, Suchbegriff "orthogonale Projetion auf eine Hyperebene". Ich würde mit k=1 beginnen und dafür den besten Basisvektor heraussuchen, dann bei k=2 von den übrigen Basisvektoren den am besten geeignetsten hinzunehmen, dann k=3 und so weiter bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Ich bin mir jetzt noch nicht sicher, ob man so eine bessere Lösung übersehen kann, ist also nur ein Anfangsversuch. Viele Grüße, Stefan


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9522
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo df1du, ich nehme an, du meinst Bestapproximation in der euklidischen Norm. Auf alle Fälle kann man alle Möglichkeiten durchprobieren. Leider ist deine Aufgabe ziemlich schwammig gestellt: soll \( k\) eher klein sein oder der Fehler? Und was ist das geneue Kriterium? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
df1du
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 04.06.2022
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-05

Vielen Dank zunächst für die Antworten und die freundliche Begrüßung! @Wally: Genau, im Sinne der euklidischen Norm. Wichtiger wäre ein kleiner Wert für k (von ca. m=50 Basisvektoren sollen im Optimalfall nur k<=5 genutzt werden). Als Kriterium verwende ich derzeit einen max. relativen Fehler von \(\epsilon<0.1\) zwischen \(v\) und der alternativen Entwicklung. Die ersten Stichworte, auf die ich zur Lösung meines Problems im Netz gestoßen bin, waren Singulärwertzerlegung (http://bwlewis.github.io/GLM/svdss.html) und Hauptkomponentenanalyse. Könnten diese Verfahren vielleicht helfen? Also ich bin nebenbei gesagt kein Mathematiker und suche nach einer Lösung, die sich nach Möglichkeit gut in Matlab implementieren lässt. Die Lösung von Stefan klingt für mich nachvollziehbar, jedoch wüsste ich ohne weiteres nicht, wie ich dies, z.B. in Matlab, implementieren würde.


   Profil
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4100
Wohnort: Raun
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-05

\quoteon(2022-06-05 07:37 - StefanVogel in Beitrag No. 1) Die Rechenmethode weiß ich nicht auswendig und müsste ich auch erst heraussuchen, Suchbegriff "orthogonale Projektion auf eine Hyperebene". \quoteoff Ein allgemeines Verfahren ist hier ein Gleichungssystem mit der Gramschen Matrix. Der Ausgangsvektor ist im Link auch mit \(v\) bezeichnet, die neue Basis mit \(U\) und die Projektion mit \(u\).


   Profil
df1du
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 04.06.2022
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-06

Vielen Dank für den Link, Stefan. Dieses Verfahren sollte für mich denke ich gut implementierbar sein, das sieht nicht zu kompliziert aus. Das hat mir schon sehr stark weitergeholfen. Gibt es vielleicht noch Gedanken oder Vorschläge bzgl. Singulärwertzerlegung bzw. Hauptkomponentenanalyse oder sind beide Verfahren für mein Problem eher abwegig?


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9522
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung bekommst du ein Verfahren, das im Mittel gute Werte liefert, aber nicht für jeden Vektor \( x\). Für diesen Fall würde ich den Vektor \( b_j'\) suchen, der mit \(x\) den kleinsten Winkel hat und darauf orthogonal projezieren, und dann mit dem Restvektor analog verfahren. Das sollte sich relativ effizient implementieren lassen. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
df1du
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 04.06.2022
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-07

Vielen Dank für die Erklärungen, Wally! Wenn ich aber trotzdem die Methode der Singulärwertzerlegung nutzen würde, wie kann ich aus den Ergebnissen einer Singulärwertzerlegung (Singulärwerte, Singulärvektoren) konkret die ,,besten" k Basisvektoren auswählen?


   Profil
df1du hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]