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Analysis » Folgen und Reihen » Definition explizite arithm. u. geom. Zahlenfolgen
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Schule Definition explizite arithm. u. geom. Zahlenfolgen
William_Wallace
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  Themenstart: 2022-06-22 18:37

Guten Abend, d=a_(n+1)-a_n ist die Definition in jeglicher Literatur. Damit ergibt sich a_(n+1)=a_n+d und letztendlich a_n = a_1 + (n-1)d Unser Dozent macht da aber nicht mit und definiert heiter und froh d=a_1-a_0 womit sich schließlich a_n=a_0 + n*d ergibt. Entsprechend definiert er für die geometrische Folge q= (g_1)/(g_0), usw. Nun meine Frage: ist das überhaupt äquivalent? a_n = a_1 + (n-1)d <=> a_n=a_0 + n*d Wenn nein, dann habe ich es verstanden. Falls das äquivalent sein sollte, ergibt sich die Frage: Wie kann a_1 mein erstes Folgeglied sein, wenn es auch noch ein a_0 gibt? Ich hoffe, ihr habt verstanden, wo mein Denkfehler liegt, und könnt ihn entsprechend beheben. Mir geht es nicht darum, Hilfestellungen für eine Aufgabe zu bekommen, sondern rein um das Verständnis.


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-22 18:53

\quoteon(2022-06-22 18:37 - William_Wallace im Themenstart) ist das überhaupt äquivalent? \quoteoff Hi, die Darstellungen an=a1+(n-1)*d und an=a0+n*d sind äquivalent und hängen über die Gleichung a0=a1-d miteinander zusammen. Gruß Buri


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co2357
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-22 19:50

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Hallo, mit dem Doppelpfeil oder einer Äquivalenz-Aussage wäre ich vorsichtig. Die beiden Bildungsvorschriften sind nicht miteinander vertauschbar. Sie stellen beide das $n$-te Glied einer arithmetischen Zahlenfolge dar, wobei sich die Anfangsglieder formal unterscheiden: $a_0$ für $a_n=a_0+nd$ und $a_1$ für $a_n= a_1+(n-1)d$. Grüße, Christian\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-22 20:00

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo William_Wallace, \quoteon(2022-06-22 18:37 - William_Wallace im Themenstart) Unser Dozent macht da aber nicht mit und definiert heiter und froh d=a_1-a_0 womit sich schließlich a_n=a_0 + n*d ergibt. \quoteoff Da könnte auch folgendes der Hintergrund sein: es gibt nach wie vor in der Mathematik keine Einigkeit daürber, was man unter der Menge \(\IN\) zu verstehen hat. Die moderne Version ist hier die, dass die Null dazugehört, dass also die Null eine natürliche Zahl ist. Dann gibt es aber auch wieder Mathematiker und damit auch Dozenten, die (eher traditionell) \(\IN=\lbrace 1,2,\dotsc\rbrace\) definieren. Da bei Folgen die Indexmenge in aller Regel eben gerade \(\IN\) ist, hängt es nun von dieser Definition ab, welche Nummer das erste Glied einer Folge hat. Eben \(0\) oder \(1\). Und entsprechend wird man dann die explizite Darstellung anpassen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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William_Wallace
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22 20:06

a_n = (a_1-d) + n * d = a_1 + (n-1)*d Danke dir, Buri Gruß [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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William_Wallace
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22 20:14

Die Nachricht von co2357 habe ich nicht verstanden. Meine Rechnung, in dem ich eingesetzt habe, stimmt doch, und damit sind sie äquivalent, oder?


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-23 11:06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-06-22 20:14 - William_Wallace in Beitrag No. 5) Die Nachricht von co2357 habe ich nicht verstanden. \quoteoff Das ist so gemeint, wie ich es oben auch schon erwähnt hatte. Wenn man noch explizit dazusagt, dass für ein festes \(n\) die Folgenglieder \(a_n\) in beiden Darstellungen für unterschiedliche Glieder stehen (da wie gesagt die Nummerierung eine andere ist), dann kann man schon von Äquivalenz sprechen, und so hat es Buri sicherlich gemeint. \quoteon(2022-06-22 20:14 - William_Wallace in Beitrag No. 5) Meine Rechnung, in dem ich eingesetzt habe, stimmt doch, und damit sind sie äquivalent, oder? \quoteoff In dem Sinn, dass man jede arithmetische Folge auf beide Arten darstellen kann: ja. Und deine Rechnung ist richtig, das war ja deine eigentliche Frage? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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co2357
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-23 11:25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Auf formal-logischer Ebene müsste mit Verknüpfung und Implikation z.B. so geschrieben werden: \[a_n=a_1+(n-1)d\quad\wedge\quad a_1=a_0+d\quad\Rightarrow\quad a_n=a_0 + nd\] War eher ein spitzfindiger Kommentar. Aber hier ein Beispiel mit Äquivalenz: \[a_{n+1}=a_n+d\quad\wedge\quad a_1\quad\Leftrightarrow\quad a_n=a_1+(n-1)d\] \(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-23 11:38

\quoteon(2022-06-23 11:25 - co2357 in Beitrag No. 7) Aber hier ein Beispiel mit Äquivalenz: \[a_{n+1}=a_n+d\quad\wedge\quad a_1\quad\Leftrightarrow\quad a_n=a_1+(n-1)d\]\quoteoff Das ergibt nicht einmal syntaktisch einen Sinn. Es geht doch hier lediglich darum, dass man eine Folge entweder mit dem Index $0$ oder mit dem Index $1$ beginnen kann. Unabhängig davon, mit welchem Index man beginnt, ist eine arithmetische Folge durch $a_{n+1}-a_n=d$ für alle Indizes $n$ definiert, wobei $d$ eine Konstante ist. Ein Unterschied ergibt sich nur in der expliziten Darstellung der Folge: - Für eine mit $0$ beginnende Folge $(a_n)_{n\ge0}$: $a_n=a_0+n\cdot d$ - Für eine mit $1$ beginnende Folge $(\tilde a_n)_{n\ge1}$: $\tilde a_n=\tilde a_1+(n-1)\cdot d$. Diese beiden Darstellungen sind äquivalent in dem Sinne, dass für $a_0=\tilde a_1$ beide Folgen die gleichen Werte annehmen:$$ (a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots) = (\tilde a_1,\tilde a_2,\tilde a_3,\tilde a_4,\ldots)$$


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