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 Poissonverteilung - Lambda aus Verteilungsplot finden |
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PeterMeier123
Aktiv 
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 162
 |  Themenstart: 2022-06-23 13:03
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Guten Tag 🙂,
ich habe eine Frage zum Parameter $\lambda$ der Poisson-Verteilung. Im nachfolgenden Bild sind die Verteilungsfunktionen für verschiedene Poissonverteilungen zu sehen. Wenn ich jetzt den Parameter $\lambda$ nicht weiß, diesen aber ermitteln möchte, dann würde ich dies über $E(X) = \lambda$ (Umgangssprachlich: Wert in der Mitte ist $\lambda$) machen also ich würde mir hier den Wert bei $F^{-1}_X(0.5)$ suchen.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50292_PoissonCDFs.PNG
Mal angenommen wir haben jetzt nicht so "eindeutige" Verteilungsfunktionen, wo man den Parameter $\lambda$ gut ablesen kann, sondern wir gehen jetzt einmal von Standardisierten Werten aus, dazu einmal folgender Plot:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50292_PoissonCDF.PNG
Wie würde man jetzt hier das $\lambda$ ermitteln? Ich würde hier wieder die "Stufen" zählen?! Geht das aber auch anders? 🤔
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 735
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-23 13:27
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
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Moin Peter, dein Ansatz ist mir nicht ganz klar.
Mit $F^{-1}_X(0.5)$ (wie auch immer dieser Wert hier definiert ist) berechnest du den *Median* der Verteilung, der aber bei der Poissonverteilung i.Allg. nicht $\lambda$ ist.
vg Luis\(\endgroup\)
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PeterMeier123
Aktiv
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 162
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 15:14
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Ich versuche mal bildlich auszudrücken, was ich meine :)
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50292_PoissonCDFBe.png
Also das $\lambda$ für die rote Verteilungsfunktion würde ich bestimmen, indem ich mir die Anzahl an Stufen um $F_X(x) = 0.5$ angucke. Ich habe einmal mit der blauen Linie versucht zu zeigen, wie ich hier vorgehen würde.... Ich komme dann auch auf $\lambda = 10$. Meine Frage ist aber, wenn wir jetzt standardisierte Werte verwenden, wie im zweiten Plot, wie würden wir hier $\lambda$ finden? Geht das auch rechnerisch?
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 735
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-23 15:34
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Ich bin verwirrt. Geht es dir um die (rechnerische) Bestimmung von $F_X^{-1}(0.5)$ oder um die Schaetzung von $\lambda$ einer Poisson-Verteilung? Im letzteren Fall ist $F_X^{-1}(0.5)$ denkbar ungeeignet, da die Poisson-Verteilung erst fuer grosse Werte annaehernd symmmetrisch ist.
Und warum standardisierst du?
vg Luis\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 162
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23 15:39
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Hey Luis,
mir gehts eigentlich nur darum: Gegeben ein Plot (standardisiert/nicht standardisiert) einer Poisson Verteilung und bestimme $\lambda$. Anhand des Plots oder rechnerisch (wenn das geht).
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 735
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-23 15:50
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\newcommand{\veps}{\varepsilon}
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\quoteon(2022-06-23 15:39 - PeterMeier123 in Beitrag No. 4)
Hey Luis,
mir gehts eigentlich nur darum: Gegeben ein Plot
\quoteoff
... vermutlich der Verteilungsfunktion $F_X(x)=P(X\le x)$ ...
\quoteon(2022-06-23 15:39 - PeterMeier123 in Beitrag No. 4)
(standardisiert/nicht standardisiert) einer Poisson Verteilung und bestimme $\lambda$. Anhand des Plots oder rechnerisch (wenn das geht).
\quoteoff
Vermutlich nicht, jedenfalls nicht mit $F_X^{-1}(0.5)$. $\lambda$ kennzeichnet m.W. keine charakteristische Stelle von $F_X$.
vg Luis\(\endgroup\)
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