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Universität/Hochschule Zwischenwertsatz periodische Funktion
Das_Fragezeichen
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  Themenstart: 2022-06-25

Hallo liebes Forum, ich bekomme folgende Aufgabe nicht gelöst: Sei f eine periodische Funktion mit \(f(x)=f(x+2)\). Beweisen sie, dass ein x0 existiert sodass f(x0)=f(x0+k) mit k aus den ganzen Zahlen. Danke für Antworten Das Fragezeichen


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, $f$ ist bestimmt auch als stetig vorausgesetzt, oder? (Immerhin hast du den Zwischenwertsatz im Titel stehen^^) Weiter fehlt der Definitions- und Zielbereich von $f$. Die gehören zur Definition einer Funktion immer dazu. Betrachte eventuell die Funktion $g(x):=f(x)-f(x+k)$ (mit dem entsprechenden Definitionsbereich). Ich gehe nun mal davon aus, dass $f$ auf $\mathbb R$ definiert ist. Überlege dir nun, warum $f(\mathbb R)=f([0,2])$ gilt. Warum folgt dann, dass es ein $\xi\in \mathbb R$ mit $f(x)\leq f(\xi)$ für alle $x\in \mathbb R$ gibt? Was kannst du nun über $g(\xi)$ und $g(\xi-k)$ aussagen? LG Nico\(\endgroup\)


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Das_Fragezeichen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Hallo, genau f von R nach R und stetig. Also: \(g(\xi + k+ 1 ) = -g(\xi + k)\) Also existiert nach dem Zwischenwertsatz ein \(\gamma\) sodass \(g(\xi + \gamma) = 0\). Es folgt \(f(\xi + \gamma) = f(\xi +\gamma + 1)\) Vielen Dank


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du bist nicht auf meinen obigen Ansatz eingegangen mit deiner Antwort. In deiner vorgeschlagenen Lösung zeigst du doch auch gar nicht das, was du eigentlich zeigen willst? Das $k$ kommt am Ende ja gar nicht mehr vor. Auch kann ich gar nicht nachvollziehen, was du da genau machst. Ich schlage dir folgendes vor: Beantworte am besten erstmal alle von mir gestellten Fragen. Bei $g(\xi)$ und $g(\xi-k)$ bin ich (sind wir) eigentlich nur auf eine Aussage über das jeweilige Vorzeichen aus. Am Ende des Tages wollen wir zeigen, dass $g$ eine Nullstelle haben muss. LG Nico\(\endgroup\)


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