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| Autor |
 Erwartungswert gegen 0 impliziert Konvergenz in Wahrscheinlichkeit |
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konvergiert
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-06-26
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Hallo, bei den Aufgaben diese Woche, habe ich einige Fragen, dennoch das Meiste, meines Erachtens gut erledigt, aber bei dem Folgendem habe ich bisher wenig hilfreiche Ideen.
Zu beweisen
\(X_n\xrightarrow[n \to \infty]{P} X\) \(\Longleftrightarrow\) \(\mathbb{E}[\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}] \xrightarrow[n \to \infty]{} 0\)
\(\Longrightarrow\)
nach vorr. \(\forall \mathcal{E}>0:P(|X_n-X|>\mathcal{E})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0\) und mit \(0<\mathcal{E}_{N_n}\leq\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}\leq1\)
folgt
\(\mathbb{E}[\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}]= \sum_{\Omega_{X_n}, \Omega_X} (\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|})P(\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|})\leq \sum_{\Omega_{X_n}, \Omega_X} P(\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|})\leq \sum_{\Omega_{X_n}, \Omega_X} P(|X_n-X|>\mathcal{E}_{N_n}) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0\)
oder eher so
nach vorr. \(\forall \mathcal{E}>0:P(|X_n-X|>\mathcal{E})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0\) und mit \(0<\mathcal{E}_{N_n}\leq\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}\leq1\)
folgt
\(\mathbb{E}[\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}=|Z_n|]= \sum_{\omega\in\Omega} |Z_n|P(\{\omega\})\leq \sum_{\omega\in\Omega} |X_n-X|P(\{\omega\})\leq \sum_{\Omega_{X_n}, \Omega_X} P(|X_n-X|>\mathcal{E}_{N_n}) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0\)
Probleme habe ich vor allem mit der Rueckrichtung und mit dem klarerem Notieren.
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-27
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Moin konvergiert,
dein bisheriger Ansatz ist leider nicht ganz so zielführend.
Folgere für ein beliebiges $\epsilon > 0$ mithilfe der Zerlegung
\[\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|} = \frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|} 1_{[|X_n-X| > \epsilon]} + \frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|} 1_{[|X_n-X| \le \epsilon]},\]
dass die Ungleichungskette
\[\frac{\epsilon}{1+\epsilon} P(|X_n-X| > \epsilon) \le \mathbb{E}\left(\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}\right) \le P(|X_n-X| > \epsilon) + \epsilon\]
gilt und damit dann die fragliche Äquivalenz.
LG,
semasch
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konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-01
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aloha semasch,
vielen dank! ich kann das fast komplett nachvollziehen und die betrachtung vereinfacht die argumentation erheblich.
jedoch die + \(\mathcal{E}\) in der ungleichung kann ich noch nicht voellig nachvollziehen. also klar ist ein teil noch abzudecken, also ohne zusatz klappt es natuerlich nicht, ich weiß nur noch nicht gaenzlich, warum es so ausreicht.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-02
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Überlege dir, dass dir die erste Ungleichung direkt die Rückrichtung gibt, die zweite Ungleichung wiederum gibt dir
\[\limsup_n \mathbb{E}\left(\frac{|X_n-X|}{1+|X_n-X|}\right) \le \epsilon\]
für alle $\epsilon > 0$ und damit die Hinrichtung (warum?).
LG,
semasch
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