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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Erwartungswert
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Universität/Hochschule Erwartungswert
physics100
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  Themenstart: 2022-06-26

Hallo an alle! Ich brauche diesmal dringend Hilfe, da ich bis morgen einige Aufgaben zum Erwartungswert abgeben muss. Ich muss hier den Erwartungswert berechnen, aber leider komme ich nicht voran. Ich probiere und rechne schon stundenlang hin und her und komme trotzdem nicht weiter. In der Angabe ist nicht nur der Erwartungswert gefragt, sondern auch die Eigenwerte, aber die habe ich berechnen können. Die Berechnung des Erwartungswertes hat mir Schwierigkeiten bereitet. Ich kann auch die anderen Aufgaben nicht lösen, da diese ähnlich funktionieren. Könnt ihr mir BITTE weiterhelfen? Was mach ich hier falsch? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_989E2DBD-FB54-4EE4-827F-8F511B6012AE.jpeg ´ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_1FC0F756-2D17-4538-830E-B25F8E7E4FAF.jpeg


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-26

Hallo physics100, das ist natürlich extrem kurzfristig, und ich weiß nicht, ob jemand hier die Zeit hat, diese Aufgabe mit dir so schnell durchzuarbeiten. Ich kann dir leider aus Zeitgründen auch nur kurz antworten. Die erste Zeile deiner Rechnung weist bereits mehrere Fehler auf. Du möchtest offenbar überprüfen, ob $\Psi$ ein Eigenvektor von $\hat{L}_z$ ist (die Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen sollten eigentlich aus der Vorlesung bekannt sein, aber man kann das natürlich auch explizit nachrechnen). Warum schreibst du dann $\Psi\hat{L}_z$ und nicht (wie üblich) $\hat{L}_z \Psi$? Und direkt nach dem Gleichheitszeichen schreibst du nur $\Psi$ hin; was ist mit $\hat{L}_z$ passiert? Und das nächste Gleichheitszeichen: Wohin ist $f(r)$ verschwunden? Nächste Zeile: Was sind plötzlich $\Psi_1$ und $\Psi_2$? Und dann rechnest du scheinbar drauf los 😉 Nur was genau rechnest du da, und was ist $A$? Ich denke, dass viele deiner Probleme dadurch beseitigt werden könnten, dass du sauberer vorgehst und wirklich jeden Schritt genau aufschreibst und dich selbst fragst, ob das überhaupt Sinn ergibt. Die exakte Bearbeitung von Übungsaufgaben erlernt man aber leider nicht über Nacht... Nachtrag: zippy hat für dich freundlicherweise im nächsten Beitrag die ausführliche Rechnung für den Erwartungswert aufgeschrieben. Damit das abgesehen von der Ferigstellung der Übungsaufgabe einen bleibenden Lerneffekt hat, empfehle ich dir, wirklich zu verstehen was hier passiert, und warum das für dich Probleme bereitet hat. Der erste Schritt (bei Übungsaufgaben im Allgemeinen) ist, den Aufgabentext zu verstehen. Was ist gefragt? Welche Form hat $\Psi$? Wissen wir nicht schon etwas über Kugelflächenfunktionen, das uns die Antwort auf die ersten beiden Fragen erleichtert? Was ist der Erwartungswert (zuerst allgemein, dann explizit für dieses Problem aufgeschrieben)? Kann ich jeden Schritt sauber begründen? Ist mein Aufschrieb vollständig und für einen Unbeteiligten lückenlos nachvollziehbar? ... Grüße, PhysikRabe


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-26

Bei dieser Aufgabe geht es nicht darum, wilde Integrationen auszuführen. Du musst nur wissen, dass die $Y^m_l$ Eigenfunktionen von $L_z$ zum Eigenwert $m\hbar$ sind. Es geht um den Erwartungswert$$ \langle L_z\rangle = \int\mathrm dr|f(r)|^2\,r^2\int\mathrm d\varphi\int\mathrm d\cos\theta \left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right]^* L_z \left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right] \;. $$Ohne den Operator $L_z$ wäre das einfach das Normierungsintegral$$ \begin{align*} \langle 1\rangle=& \int\mathrm dr|f(r)|^2\,r^2\int\mathrm d\varphi\int\mathrm d\cos\theta \left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right]^*\left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right]=\\[2.7ex] & \int\mathrm dr|f(r)|^2\,r^2\int\mathrm d\varphi\int\mathrm d\cos\theta \left[ \frac14\,\bigl|Y^1_2(\theta,\varphi)\bigr|^2 +\frac34\,\bigl|Y^{-1}_2(\theta,\varphi)\bigr|^2 \right] = \frac14+\frac34 = 1\;. \end{align*} $$Die gemischten Terme fallen weg, weil Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal zueinander sind. Der Operator $\frac1\hbar\,L_z$ ändert nun genau ein Vorzeichen in dieser Rechnung:$$\def\+{\color{red}-} \begin{align*} \frac1\hbar\langle L_z\rangle=& \int\mathrm dr|f(r)|^2\,r^2\int\mathrm d\varphi\int\mathrm d\cos\theta \left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right]^*\frac1\hbar\,L_z\left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right]=\\[2.7ex] & \int\mathrm dr|f(r)|^2\,r^2\int\mathrm d\varphi\int\mathrm d\cos\theta \left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right]^*\left[ \frac12Y^1_2(\theta,\varphi)\+\frac{\sqrt3}2Y^{-1}_2(\theta,\varphi) \right]=\\[2.7ex] & \int\mathrm dr|f(r)|^2\,r^2\int\mathrm d\varphi\int\mathrm d\cos\theta \left[ \frac14\,\bigl|Y^1_2(\theta,\varphi)\bigr|^2 \+\frac34\,\bigl|Y^{-1}_2(\theta,\varphi)\bigr|^2 \right] = \frac14\+\frac34 = -\frac12 \;. \end{align*} $$Also ist $\langle L_z\rangle=-\frac\hbar2$. --zippy [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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physics100
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27

Zippy, ich möchte mich bei dir aus tiefstem Herzen für deine ausführliche Erklärung bedanken. Ich kann nicht in Worte fassen wie dankbar ich bin, dieses Forum entdeckt zu haben. Vielen vielen Dank Zippy!! Ich habe versucht die Aufgabe zu verstehen und zu verinnerlichen und will auch einige Fragen dazu stellen: Du hast erwähnt, dass der Operator Lz= h/i genau ein Vorzeichen ändert. Und meine Frage ist, warum das so ist. Hat das damit zu tun, dass wir nach phi ableiten \(phi\) ableiten müssen, da wir ja beim Lz Operator einen phi abhängigen Teil haben? Und dieser phi-abhängiger Teil beschreibt ja die Magnetquantenzahl m. Und wir wissen auch, dass die Quantenzahl m phi-abhängig ist. Und die -1 am Y ist ja m. Und wenn wir quasi Y nach m=-1 ableiten, dann ändert sich das Vorzeichen? Ist diese Überlegung richtig oder denke ich viel zu kompliziert? Physik Rabe, ich möchte mich bei dir auch für deine schnelle Rückmeldung bedanken! Du hast natürlich recht, ich werde in der Zukunft sauberer und genauer vorgehen. Das Problem war nur, dass ich vor lauter Stress und Müdigkeit nicht klar denken konnte und mich auf mehrere Sachen gleichzeitig konzentrieren musste (bin momentan in der Prüfungsphase). Ich hab zwar die anderen Aufgaben irgendwie lösen können, aber ich merke schon, dass ich noch Übung brauche. Ich schaue mir die ganzen aufgaben heute in Ruhe noch einmal an und rechne alle durch und melde mich im Forum wieder falls ich nicht weiterkomme.


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-27

\quoteon(2022-06-27 08:24 - physics100 in Beitrag No. 3) Ist diese Überlegung richtig oder denke ich viel zu kompliziert? \quoteoff Diese Überlegung ist richtig, aber gleichzeitig auch zu kompliziert, weil das alles in der Aussage "$Y^m_l$ ist Eigenfunktion von $L_z$ zum Eigenwert $m\hbar$" bereits enthalten ist. Diese Aussage musst du natürlich einmal beweisen. Aber danach musst du diesen Beweis nicht in jeder Rechnung wiederholen.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-27

\quoteon(2022-06-27 08:24 - physics100 in Beitrag No. 3) Hat das damit zu tun, dass wir nach phi ableiten \(phi\) ableiten müssen, da wir ja beim Lz Operator einen phi abhängigen Teil haben? Und dieser phi-abhängiger Teil beschreibt ja die Magnetquantenzahl m. Und wir wissen auch, dass die Quantenzahl m phi-abhängig ist. Und die -1 am Y ist ja m. Und wenn wir quasi Y nach m=-1 ableiten, dann ändert sich das Vorzeichen? \quoteoff Man kann das direkt sehen: Ohne die von $l,m$ abhängigen, aber konstanten Vorfaktoren ist $Y_l^m (\vartheta,\varphi) \propto P_l^m (\cos\vartheta) e^{im\varphi}$, d.h. der $\varphi$-abhängige Anteil von $Y_l^m (\vartheta,\varphi)$ ist $e^{im\varphi}$. Daraus ist die Aussage nun unmittelbar klar: Da $\hat{L}_z e^{im\varphi} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi} e^{im\varphi} = -i\hbar im e^{im\varphi} = \hbar m e^{im\varphi}$, folgt $\hat{L}_z Y_l^m (\vartheta,\varphi) = \hbar m Y_l^m (\vartheta,\varphi)$. \quoteon(2022-06-27 08:24 - physics100 in Beitrag No. 3) Du hast natürlich recht, ich werde in der Zukunft sauberer und genauer vorgehen. Das Problem war nur, dass ich vor lauter Stress und Müdigkeit nicht klar denken konnte und mich auf mehrere Sachen gleichzeitig konzentrieren musste (bin momentan in der Prüfungsphase). \quoteoff Das verstehe ich, und ich war mir sicher, dass du deine Probleme auch schon selbst erkannt hast. Da die selben Probleme aber bereits in deinen anderen Threads auftraten, wollte dich in diesem Beispiel noch einmal bewusst mit der Nase darauf stoßen, insbesondere was die Art und Weise betrifft, Rechnungen aufzuschreiben und systematisch an eine Aufgabe heranzugehen. Jedenfalls wünsche ich dir viel Erfolg bei deinen Prüfungen. Kühlen Kopf bewahren! 😉 \quoteon(2022-06-27 08:24 - physics100 in Beitrag No. 3) Ich schaue mir die ganzen aufgaben heute in Ruhe noch einmal an und rechne alle durch und melde mich im Forum wieder falls ich nicht weiterkomme. \quoteoff Gerne! Grüße, PhysikRabe


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physics100
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27

Soweit verständlich, aber ich hätte ohne die Tabelle nicht gewusst, dass der phi abhängige Teil eine e-Funktion ist. Aber sonst habe ich´s verstanden, ich danke euch beiden sehr! Eine frage hätte ich noch: Warum schreibt man dr |f(r)|^2 ? Normalerweise schreibe ich den r-abhängigen Teil der Wellenfunktionen so an: Wellenfunktion * r^2 dr Und noch zur Orthogonalität: Falls wir 1/2 Y12 + √3/2 Y12 hätten, wären dann die beiden wieder orthogonal zueinander? Weil wir haben ja schließlich unterschiedliche Eigenwerte nur die Wellenfunktionen sind identisch. Für die Orthogonalität gilt ja (soweit ich weiß), dass man einmal die konjugiert komplexe Wellenfunktion und einmal die normale bzw. unveränderte Wellenfunktion braucht, damit diese orthogonal zueinander sind, oder?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-27

\quoteon(2022-06-27 20:42 - physics100 in Beitrag No. 6) Warum schreibt man dr |f(r)|^2 ? Normalerweise schreibe ich den r-abhängigen Teil der Wellenfunktionen so an: Wellenfunktion * r^2 dr \quoteoff Das fehlende $r^2$ war ein Tippfehler. \quoteon(2022-06-27 20:42 - physics100 in Beitrag No. 6) Falls wir 1/2 Y12 + √3/2 Y12 hätten, wären dann die beiden wieder orthogonal zueinander? \quoteoff Nein, das ist doch zweimal dieselbe Kugelfunktion.


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physics100
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29

Zippy, ich kann aber die Aussage „die gemischten Terme fallen weg, da Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal zueinander sind“ nicht nachvollziehen. Was meinst du damit genau? Wieso fallen diese Terme weg und wieso bleiben dann nur 1/4 + 3/4? Weil wir einmal e^imphi und einmal e^-imphi haben und diese sich herausheben??


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PhysikRabe
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-29

\quoteon(2022-06-29 08:47 - physics100 in Beitrag No. 8) Zippy, ich kann aber die Aussage „die gemischten Terme fallen weg, da Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal zueinander sind“ nicht nachvollziehen. Was meinst du damit genau? Wieso fallen diese Terme weg und wieso bleiben dann nur 1/4 + 3/4? Weil wir einmal e^imphi und einmal e^-imphi haben und diese sich herausheben?? \quoteoff Die Kugelflächenfunktionen erfüllen eine Orthonormalitätsrelation, siehe z.B. hier: Es gilt $\int (Y_l^m)^\ast Y_{l'}^{m'} = \delta_{ll'} \delta_{mm'}$, wobei $\delta$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Für $l\neq l'$ oder $m\neq m'$ ergibt das also $0$. Grüße, PhysikRabe


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physics100
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29

PhysikRabe, ich schaue mir das mal an und melde mich bei Fragen, danke dir vielmals! ich habe nun die Lösung bekommen und habe die Ergebnisse verglichen. Der Erwatungswert stimmt auf jeden Fall. Nur hatte ich Schwierigkeiten beim bestimmen der Eigenfunktion von Lz^2. Bei lz^2 kommt eine Eigenfunktion heraus. Aber nach meiner Rechnung kommt keine Eigenfunktion heraus. In der Lösung steht, dass die Wellenfunktion eine Eigenfunktion zu lz^2 ist. Das kann ich nicht nachvollziehen. PhysikRabe, könntest du mal einen Blick auf meine Rechnung werfen? (Vorfaktoren wurden als A bezeichnet) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_2DF231F8-E378-478E-8583-446665BE20CA.jpeg


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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-29

Wie schon zuvor muss man auch hier wieder nichts rechnen, sondern man kann (und sollte daher) die Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen benutzen. Wir haben ja schon besprochen, dass $\hat{L}_z Y_l^m = \hbar m Y_l^m$ gilt. Was ist also $(\hat{L}_z)^2 Y_l^m \equiv \hat{L}_z \hat{L}_z Y_l^m$? Und was folgt damit für $(\hat{L}_z)^2 \Psi$? Davon abgesehen ist $(\hat{L}_z)^2 = \hat{L}_z \hat{L}_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi} \left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}\right) = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}$. Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29

Danke für deine Erklärung PhysikRabe! Dann müsste das so aussehen (siehe Anhang) Eine Frage: Warum lassen wir den Operator nur auf Ylm wirken warum nicht Y l -m? Also warum betrachten wir nicht den zweiten Teil der Wellenfunktion oder warum betrachten wir nicht beide Terme (die Summen) der Wellenfunktion, also warum nicht Y12 + Y2 -1 ? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_9F77F90A-31E6-42FF-AA44-3B959CC6B49D.jpeg


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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-29 23:44 - physics100 in Beitrag No. 12) Dann müsste das so aussehen (siehe Anhang) \quoteoff Nicht so wirklich. Es muss $\hbar^2$, nicht $\hbar$ sein, und im Allgemeinen ist natürlich nicht $m^2 =1$. Ich weiß, dass du hier bereits verwendet hast, dass im vorliegenden Fall $m\in\{-1,1\}$ ist, aber so wie du es aufgeschrieben hast sieht es etwas seltsam aus. Und außerdem ist $Y_l^m$ nicht das selbe wie $e^{im\varphi}$, also ist dein Gleichheitszeichen völlig falsch. Aber du schreibst noch immer explizite Ausdrücke auf. Warum so kompliziert? Hier der Einzeiler (mit übertrieben vielen Zwischenschritten): $(\hat{L}_z)^2 Y_l^m \equiv \hat{L}_z \hat{L}_z Y_l^m = \hat{L}_z \hbar m Y_l^m = \hbar m \hat{L}_z Y_l^m = \hbar m \hbar m Y_l^m = \hbar^2 m^2 Y_l^m$. Also ist $Y_l^m$ eine Eigenfunktion von $(\hat{L}_z)^2$ zum Eigenwert $\hbar^2 m^2$. Na, war das nicht viel einfacher? 😉 \quoteon(2022-06-29 23:44 - physics100 in Beitrag No. 12) Eine Frage: Warum lassen wir den Operator nur auf Ylm wirken warum nicht Y l -m? \quoteoff Was meinst du mit "nur"? $Y_l^m$ ist die allgemeinste Gestalt einer Kugelflächenfunktion. Das deckt natürlich auch $Y_l^{-m}$ ab (ersetze einfach $m$ durch $-m$), und insbesondere bekommst du dadurch alles was du benötigst, um $Y_2^{-1}$ und $Y_2^1$ (und damit $\Psi$) zu behandeln. Der obige Beweis von $(\hat{L}_z)^2 Y_l^m = \hbar^2 m^2 Y_l^m$ sollte ja nur eine kurze Nebenrechnung sein, um dann $(\hat{L}_z)^2 \Psi$ berechnen zu können (was übrigens wieder ein Einzeiler ist). Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Vielen lieben Dank PhysikRabe! Mich freut es sehr, dass ich dank dir die Aufgabe schritt für schritt nachvollziehen kann. Wirklich danke! Und ja, so ist es viel einfacher und verständlicher. Aber eine Frage hätte ich noch: Dann muss doch Ylm ebenfalls eine Eigenfunktion von Lz zum Eigenwert hm sein? Dann kommt da auch ein Eigenwert heraus. Denk ich da falsch? Also so https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_8317CCC9-4BCF-4785-8A73-D74AA150D6C7.jpeg


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-30

Natürlich, aber das haben wir ja bereits besprochen: \quoteon(2022-06-26 23:46 - zippy in Beitrag No. 2) Bei dieser Aufgabe geht es nicht darum, wilde Integrationen auszuführen. Du musst nur wissen, dass die $Y^m_l$ Eigenfunktionen von $L_z$ zum Eigenwert $m\hbar$ sind. \quoteoff \quoteon(2022-06-27 08:30 - zippy in Beitrag No. 4) Diese Überlegung ist richtig, aber gleichzeitig auch zu kompliziert, weil das alles in der Aussage "$Y^m_l$ ist Eigenfunktion von $L_z$ zum Eigenwert $m\hbar$" bereits enthalten ist. \quoteoff \quoteon(2022-06-27 10:13 - PhysikRabe in Beitrag No. 5) Man kann das direkt sehen: Ohne die von $l,m$ abhängigen, aber konstanten Vorfaktoren ist $Y_l^m (\vartheta,\varphi) \propto P_l^m (\cos\vartheta) e^{im\varphi}$, d.h. der $\varphi$-abhängige Anteil von $Y_l^m (\vartheta,\varphi)$ ist $e^{im\varphi}$. Daraus ist die Aussage nun unmittelbar klar: Da $\hat{L}_z e^{im\varphi} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi} e^{im\varphi} = -i\hbar im e^{im\varphi} = \hbar m e^{im\varphi}$, folgt $\hat{L}_z Y_l^m (\vartheta,\varphi) = \hbar m Y_l^m (\vartheta,\varphi)$. \quoteoff Ich dachte das wäre dir klar? Immerhin haben wir das in den letzten Beiträgen mehrmals verwendet, insbesondere im Beweis von $(\hat{L}_z)^2 Y_l^m = \hbar^2 m^2 Y_l^m$ in meinem vorigen Beitrag... Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Aber in der Lösung steht, dass sie keine Eigenfunktion ist. Ist dann die Lösung falsch? Also das ist die Lösung: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_786EE9EE-AA32-49E3-B9AE-42F9DC6E6212.jpeg


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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-06-30

Du verwechselst etwas: $\Psi$ ist keine Eigenfunktion von $\hat{L}_z$. Aber $Y_l^m$ schon. Grüße, PhysikRabe


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Achso. Eben das meinte ich davor warum wir nur einen Teil der Wellenfunktion betrachten und nicht beide. Dann muss ich doch die Aufgabe etwas anders lösen?


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PhysikRabe
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-30 20:30 - physics100 in Beitrag No. 18) Achso. Eben das meinte ich davor warum wir nur einen Teil der Wellenfunktion betrachten und nicht beide. Dann muss ich doch die Aufgabe etwas anders lösen? \quoteoff Warum? Ich verstehe deine Verwirrung nicht. $\Psi$ ist doch eine Linearkombination von zwei Kugelflächenfunktionen. Wenn wir also $\hat{L}_z Y_l^m$ und $(\hat{L}_z)^2 Y_l^m$ kennen, dann auch $\hat{L}_z \Psi$ und $(\hat{L}_z)^2 \Psi$. Das war ja der Sinn dahinter: Die Aufgabe, $\hat{L}_z \Psi$ und $(\hat{L}_z)^2 \Psi$ zu bestimmen, kann man in kleinere Häppchen zerlegen, indem man erst $\hat{L}_z Y_l^m$ und $(\hat{L}_z)^2 Y_l^m$ bestimmt (natürlich genügt zur Bestimmung von $\Psi$ der Fall $l=2$ und $m=\pm 1$, aber der allgemeine Fall ist nicht schwieriger und sollte ja eigentlich bereits aus der Vorlesung bekannt sein). Also: $\hat{L}_z \Psi = \hat{L}_z \left[ f \left(\frac{1}{2} Y_2^1 + \frac{\sqrt{3}}{2} Y_2^{-1} \right) \right] = f \left(\frac{1}{2} \hat{L}_z Y_2^1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{L}_z Y_2^{-1} \right) = f \left(\frac{1}{2} \hbar Y_2^1 + \frac{\sqrt{3}}{2} (-\hbar) Y_2^{-1} \right) = \hbar f \left(\frac{1}{2} Y_2^1 - \frac{\sqrt{3}}{2} Y_2^{-1} \right)$ Hier wurde verwendet, dass $\hat{L}_z$ ein linearer Operator ist (also $\hat{L}_z (cg + h) = c\hat{L}_z g + \hat{L}_z h$ für Funktionen $g,h$ und Skalare $c$), und dass $\hat{L}_z Y_l^m = \hbar m Y_l^m$ (woraus folgt, dass $\hat{L}_z Y_2^{\pm 1} = \pm \hbar Y_2^{\pm 1}$). Erneute Anwendung von $\hat{L}_z$ liefert nun, analog zu obiger Rechnung, $(\hat{L}_z)^2 \Psi = \hbar^2 f \left(\frac{1}{2} Y_2^1 + \frac{\sqrt{3}}{2} Y_2^{-1} \right) \equiv \hbar^2 \Psi$. Grüße, PhysikRabe


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