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| Autor |
  Lebesgue-Integral |
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Jahi02
Aktiv 
Dabei seit: 03.02.2022
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2022-06-28
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Hallo zusammen,
ich soll zeigen, das für eine messbare Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow [0;\infty)$ gilt: $\int_{\mathbb{R}^n}fdx = \int_{0}^{\infty}|\{x\in\mathbb{R}^n | f(x) \geq t\}|dt$, und $|.|$ ist das Lebesgue-Maß.
Für Treppenfunktionen, habe ich schon einen Beweis gefunden, aber mir fehlt noch der Beweis für beliebige messbare Funktionen, hat jemand von euch eine Idee?
Jan
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1509
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
mit dem Cavalieri-Prinzip (oder Satz von Tonelli) kann man das zeigen, sofern dir diese Sätze bekannt sind. Konkret ist folgende Version davon sehr nützlich hier:
Satz. Sei $A\subseteq \mathbb R^{n}\times \mathbb R^m\cong \mathbb R^{n+m}$ eine Lebesgue-messbare Teilmenge. Dann ist für $\lambda$-fast jedes $x\in \mathbb R^n$ die Teilmenge
$$
A_x:=\lbrace y\in \mathbb R^m\mid (x,y)\in A\rbrace\subseteq \mathbb R^m
$$
messbar und es gilt
$$
\lambda^{n+m}(A)=\int_{\mathbb R^n} \lambda^m(A_x)\dd \lambda^n(x).
$$
Ansonsten ist der Weg von Treppenfunktionen zu nichtnegativen messbaren Funktionen i.d.R. durch eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen, die gegen deine Funktion konvergiert in Verbindung mit bestimmten Konvergenzsätzen.
LG Nico\(\endgroup\)
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mathilde01
Aktiv
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 53
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-28
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Noch ein weiterer Hinweis:
Füge auf der rechten Seite künstlich ein weiteres Integral ein.
LG
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Jahi02
Aktiv 
Dabei seit: 03.02.2022
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29
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Ja, danke, jetzt hat es geklappt :)
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Jahi02 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Jahi02 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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