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Universität/Hochschule J Lebesgue-Integral
Jahi02
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  Themenstart: 2022-06-28

Hallo zusammen, ich soll zeigen, das für eine messbare Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow [0;\infty)$ gilt: $\int_{\mathbb{R}^n}fdx = \int_{0}^{\infty}|\{x\in\mathbb{R}^n | f(x) \geq t\}|dt$, und $|.|$ ist das Lebesgue-Maß. Für Treppenfunktionen, habe ich schon einen Beweis gefunden, aber mir fehlt noch der Beweis für beliebige messbare Funktionen, hat jemand von euch eine Idee? Jan


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, mit dem Cavalieri-Prinzip (oder Satz von Tonelli) kann man das zeigen, sofern dir diese Sätze bekannt sind. Konkret ist folgende Version davon sehr nützlich hier: Satz. Sei $A\subseteq \mathbb R^{n}\times \mathbb R^m\cong \mathbb R^{n+m}$ eine Lebesgue-messbare Teilmenge. Dann ist für $\lambda$-fast jedes $x\in \mathbb R^n$ die Teilmenge $$ A_x:=\lbrace y\in \mathbb R^m\mid (x,y)\in A\rbrace\subseteq \mathbb R^m $$ messbar und es gilt $$ \lambda^{n+m}(A)=\int_{\mathbb R^n} \lambda^m(A_x)\dd \lambda^n(x). $$ Ansonsten ist der Weg von Treppenfunktionen zu nichtnegativen messbaren Funktionen i.d.R. durch eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen, die gegen deine Funktion konvergiert in Verbindung mit bestimmten Konvergenzsätzen. LG Nico\(\endgroup\)


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mathilde01
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-28

Noch ein weiterer Hinweis: Füge auf der rechten Seite künstlich ein weiteres Integral ein. LG


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Jahi02
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29

Ja, danke, jetzt hat es geklappt :)


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Jahi02 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Jahi02 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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