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Lineare Algebra » Vektorräume » Umwandlung affine Hülle in lineares Gleichungssystem
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Universität/Hochschule J Umwandlung affine Hülle in lineares Gleichungssystem
JamesNguyen
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  Themenstart: 2022-07-01

Hallo Leute, ich komme bei Folgendem einfach nicht weiter: Sei S \subsetequal\ \IR^n und aff (S) := menge(sum(\alpha_i x_i,i=1,k)|sum(\alpha_i,i=1,k)=1, x_i \el\ S, \alpha_i \el\ \IR, k \el\ \IN) ihre affine Hülle. Zu zeigen: Es gibt eine Matrix A \el\ \IR^m×n und b \el\ \IR^m, so dass aff (S) = menge(x \el\ \IR^n|Ax = b) Hat jemand einen Tipp. Vielen Dank, James


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-01

Hallo James, die Aussage ist, dass jeder affine Teilraum die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist. Du kannst ja erst einmal zeigen, dass jeder lineare Teilraum die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist. Vielleicht bringt dich das auf Ideen. Nachtrag: Dazu wäre es natürlich nützlich zu wissen, dass die Definition von affinen Teilräumen als affine Hülle und als Teilräume der Form $V+a$ (mit $V$ einem linearen Teilraum und $a$ einem Vektor) äquivalent sind. Aber vielleicht hast du das ja schon gesehen? Grüße, PhysikRabe


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JamesNguyen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-01

Hallo PhysikRabe, das affine Unterräume die Form V + a (mit V als Unterraum) haben wusste ich. Das man affine Unterräume auch als affine Hülle definieren kann und beide Definitionen äquivalent sind, wusste ich nicht. Das wäre für mich so, als wären Unterraum und span äquivalent. (Jeder span ist ein Unterraum.) Mein Fahrplan wäre, dass man mit der angegebenen Definition von aff (S) zeigen kann, dass aff (S) affin ist und damit ein affiner Unterraum ist. Dann kann man abstrakt zeigen, dass jeder affine Unterraum sich als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems schreiben lässt. Ich hatte halt gedacht, dass man das A und b irgendwie konstruktiv aus dem angegebenen aff(S) bekommen kann. Ich schreibe das morgen auf und hake dann ab, wenn alles geklappt hat. Vielen Dank schonmal für den Tipp. James


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JamesNguyen
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02

Hat alles geklappt. Vielen Dank nochmal, PhysikRabe, James


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PhysikRabe
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-02

Das freut mich! Zur Ergänzung: \quoteon(2022-07-01 19:11 - JamesNguyen in Beitrag No. 2) Das man affine Unterräume auch als affine Hülle definieren kann und beide Definitionen äquivalent sind, wusste ich nicht. Das wäre für mich so, als wären Unterraum und span äquivalent. (Jeder span ist ein Unterraum.) \quoteoff Die Situation für affine Teilräume ist analog zum linearen Fall: $U$ ist ein affiner Teilraum, wenn $\mathrm{aff}(U)=U$. Den Beweis, dass affine Teilräume dieser Art genau jene sind, die als $V+a$ geschrieben werden können, findet man recht schnell in Lehrbüchern. Man kann sich das aber auch selbst relativ leicht überlegen: Es gilt $\mathrm{aff}(V+a)=V+a$, und für einen Teilraum $U$ mit $\mathrm{aff}(U)=U$ und ein beliebiges $a\in U$ ist $U-a$ ein linearer Teilraum des $\mathbb{R}^4$, also $U=(U-a)+a$ (man kann sich dann noch davon überzeugen, dass das nicht von der Wahl von $a$ abhängt, also $U-a$ eindeutig bestimmt ist). Um das im Detail auszuführen benötigt man lediglich die Definition des affinen Hüllenoperators $\mathrm{aff}$. Grüße, PhysikRabe


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