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Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzible Polynome zweiten Grades in Z_3 (Leitkoeffizient 1)
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Universität/Hochschule Irreduzible Polynome zweiten Grades in Z_3 (Leitkoeffizient 1)
Enno_M
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  Themenstart: 2022-07-03

Hallo zusammen, ich sitze jetzt schon viel zu lange an dieser wahrscheinlich leichten Aufgabe und komme nicht weiter: Die genaue Aufgabe lautet: "Finden Sie alle irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1 über dem Z3 vom Grad 2." Ich habe bis jetzt rausgefunden: - ein Polynom vom Grad 2 ist irreduzibel, wenn es keine Nst besitzt. - Es gibt 9 Polynome 2. Grades in Z3(?) sind es diese: x²+x+1 x²+x+2 x²+2x+1 x²+2x+2 x²+x x²+2x x²+1 x²+2 x² Wie finde ich heraus, wann ein Polynom eine Nullstelle hat in Z3? Muss ich hier Modulo rechnen? Wäre sehr dankbar für Hilfe.. Beste Grüße Enno


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-04

Das ist richtig soweit. Weil der Körper* $\IF_3$ nur drei Elemente hat, nämlich $0,1,2$, ist es relativ leicht, die Nullstellenfreiheit zu prüfen. Setze einfach die Elemente der Reihe nach ein. Du kannst auch $2=-1$ benutzen. Außerdem hat ein Polynom ohne konstanten Term immer $0$ als Nullstelle; die fliegen also sowieso raus. Du kannst auch einmal hier reinschauen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1518 *Warum ich $\IF_3$ schreibe, steht hier: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/fav.php?op=view&fav_id=86334


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Enno_M
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Hey danke dir schonmal 🙃 Soweit klar, aber warum 2 = -1? beste Grüße Enno


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wladimir_1989
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-04

Hallo Enno_M und willkommen auf dem Matheplaneten! \quoteon(2022-07-04 18:09 - Enno_M in Beitrag No. 2) aber warum 2 = -1? \quoteoff Weil \(1+2=0\ \ \text{mod}\ 3\) gilt. lg Wladimir


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kurtg
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-04

Du kannst auch prüfen, ob die Diskriminante kein Quadrat ist.


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Enno_M
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Hallo, also dank euch beiden :) Aber warum ist 2 mod 3 -1, ist 2 mod 3 nicht 2? Und an welcher Stelle rechne ich modulo, vor dem Einsetzen? sorry für die ganzen Fragen.


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Triceratops
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-05

Wiederhole einmal die Definition / Konstruktion von endlichen Körpern. Das ist notwendig, bevor du dich mit einer Aufgabe beschäftigen kannst, in der diese vorkommen. https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper https://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring In $\IF_3$ gilt $3=0$, also auch (addiere $-1$ auf beiden Seiten) $2=-1$.


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Enno_M
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Hallo danke für deine Hilfe. Habs gelöst glaub ich. habe jetzt die Polynome gefunden: x^2 + x + 2 x^2 + 2x + 2 x^2 + 1


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
wladimir_1989
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-07-05

Hallo, die Polynome sind richtig. lg Wladimir


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