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  Zweite Quantisierung von Boson-Fermion-Systemen |
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Skalhoef
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 |  Themenstart: 2022-07-07
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Hej,
ich hatte gehofft, dass mir mal jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Im Buch von Mahan (Abschnitt 3.4 in der dritten Auflage) betrachtet man das Boson-Fermion-System
\[ H = H_{ \text{el}} + H_{ \text{ph}} + H_{ \text{int}} \]
mit $H_{ \text{el}} = \sum_{ \mathbf{p} , \sigma} \epsilon_{\mathbf{p}} c_{ \mathbf{p} \sigma}^{\dagger} c_{ \mathbf{p} \sigma}$, $H_{ \text{ph}} = \sum_{ \mathbf{p} , \sigma} \omega_{\mathbf{q}} a_{ \mathbf{q} }^{\dagger} a_{ \mathbf{q}}$ und
\[ H_{ \text{int}} \propto \sum_{ \mathbf{q}} M_{\mathbf{q}} \left( a_{ \mathbf{q}} + a_{ - \mathbf{q}}^{\dagger} \right) \sum_{\mathbf{p} \sigma} c_{ \mathbf{p} + \mathbf{q} \sigma}^{\dagger} c_{ \mathbf{p} \sigma} \]
Also "Elektronengas $+$ Phononengas $+$ Wechselwirkung".
Was mich verwundert ist die Herkunft bzw. die Gestalt der Wechselwirkung. In einführenden Vorlesungen zur Vielteilchenphysik (etwa hier in Abschnitt 3.5) wird ein Standard-Rezept dargelegt um von einer rein fermionischen oder rein bosonischen Ein-Teilchen-Theorie hin zu einer rein fermionischen oder rein bosonischen Viel-Teilchen-Theorie überzugehen.
Frage: Gibt es für den "gemixten" Fall auch ein solches Standard-Rezept? Woher kommt der obige Hamiltonian?
Ich freue mich auf Rückmeldungen.
Vänliga hälsningar
Sebastian
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07
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Välkommen tillbaka, Sebastian,
wenn ich das richtig interpretiere (ich habe das von dir erwähnte Buch nicht zur Hand) dann ist $\sigma$ hier ein Spin-Index, und $H$ ist wohl sowas wie der Fröhlich-Hamiltonian*, richtig? Dann beschreibt die Wechselwirkung $H_{\mathrm{int}}$ in jedem Summanden im Wesentlichen die Emission bzw. Absorption eines Phonons mit Impuls $-\mathbf{q}$ bzw. $\mathbf{q}$, wodurch der Impuls $\mathbf{p}$ eines Elektrons aufgrund von Streuung zu $\mathbf{p}+\mathbf{q}$ geändert wird (unter Erhaltung des Spins).
Die Herleitung (inklusive aller Vorfaktoren wie Streuamplituden und so Zeug) bzw. die Motivation dahinter ist natürlich etwas umfangreicher, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das nicht auch irgendwo in deinem Buch genauer ausgeführt wird. Hättest du noch weitere Informationen dazu?
Jedenfalls beschreibt das Modell eine konkrete physikalische Situation. Natürlich kann man bei der Konstruktion eines Hamiltonians bis zu einem gewissen Grad raten, zumindest was die prinzipielle Struktur betrifft. Aber ein "Standard-Rezept" ist mir nicht bekannt.
Grüße,
PhysikRabe
* H. Fröhlich, "Electrons in lattice fields", Advances in Physics 3, 325-361 (1954), https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00018735400101213
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Skalhoef
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29
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Hej PhysikRabe,
ich danke dir vielmals für deinen Beitrag!
"Fröhlich-Hamiltonian" war ein super Stichwort! Ich kannte das einfach nicht, aber mit CTRL-F und meinen Büchern über Solid State Theory fand ich dann ganz schnell einen Haufen von Herleitungen! :-)
Ich glaube "das Standard-Rezept" lautet einfach
"Elektronische Komponenten nach Koch-Rezept in zweite Quantisierung bringen und anschließend die Auslenkungen von Gitterseiten kanonisch quantisieren."
Jedenfalls habe ich das jetzt bereits ein paar mal gesehen...
Vielen Dank und ich mache einen Haken an das Thema! :-)
Vänliga hälsningar
Sebastian
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PhysikRabe
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-29
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\quoteon(2022-11-29 13:53 - Skalhoef in Beitrag No. 2)
Ich glaube "das Standard-Rezept" lautet einfach
"Elektronische Komponenten nach Koch-Rezept in zweite Quantisierung bringen und anschließend die Auslenkungen von Gitterseiten kanonisch quantisieren."
\quoteoff
Wenn du diese generelle Art der Quantisierung als "Standard-Rezept" bezeichnen möchtest, dann ja. Ich dachte du wolltest ein "Standard-Rezept" konkret für den Fröhlich-Hamiltonian. Das existiert aber nicht, da es modellspezifisch ist; man benötigt schon eine physikalische Motivation dafür, was man beschreiben möchte. Die weitere Vorgehensweise ist dann aber gewissermaßen "standard", und man entwickelt mit der Zeit einen Blick dafür, wie die Konstruktion des Hamiltonians auszusehen hat.
Grüße,
PhysikRabe
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Skalhoef hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Skalhoef hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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