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  Zusammenhang zwischen Green-Funktionen in der Festkörperphysik |
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Skalhoef
Aktiv 
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 257
Wohnort: Uppsala (Schweden)
 |  Themenstart: 2022-07-07
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Hej,
ich hatte gehofft, dass mir mal jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Man betrachtet ein fermionisches Vielteilchensystem. Die zeitgeordnete- und retardierte-Green-Funktionen lauten
$$ G_{ \alpha \alpha^{\prime}} (t) = - \mathrm{i} \langle T_{t} \, a_{ \alpha } ( t ) a_{ \alpha^{\prime}}^{ \dagger } ( 0 ) \rangle
$$
und
$$
G_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{ \text{ret}} (t) = - \mathrm{i} \theta ( t ) \langle \{ a_{ \alpha } ( t ) , \, a_{ \alpha^{\prime}}^{ \dagger } ( 0 ) \} \rangle
$$
mit großkanonischer Zeitentwicklung
$$
U(t) = \mathrm{e}^{- \mathrm{i} (H - \mu N) t / \hbar }
$$
Die "equation-of-motion"-Technik liefert dann
$$
G_{ \alpha \alpha^{\prime}} (\omega) = \big[ \omega - \frac{ \operatorname{mat} H - \mu \mathbb{1}}{\hbar} \big]_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{\operatorname{inv}}
$$
und
$$
G_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{ \text{ret}} (\omega + \mathrm{i} \delta ) = \big[ \omega + \mathrm{i} \delta - \frac{ \operatorname{mat} H - \mu \mathbb{1}}{\hbar} \big]_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{\operatorname{inv}}
$$
Im Buch von Altland (Kapitel 7) finde ich aber die Identitäten
$$
\operatorname{Re} G ( \omega ) = \operatorname{Re} G^{ \text{ret}} (\omega)
$$
und
$$
\operatorname{Im} G( \omega ) = \operatorname{Im} G^{ \text{ret}} (\omega) \cdot \tanh \frac{\hbar \beta \omega}{2}
$$
welche man wohl (TBD) mit der Lehmann-Darstellung beweisen kann. Die erste Identität erscheint mir im Grenzfall $\delta \rightarrow 0$ ja ganz sinnvoll, aber die zweite...?!
In wie fern stimmen sind diese beiden Sets von Gleichungen überein? Bringe ich etwas durcheinander?
Ich freue mich auf Rückmeldung.
Vänliga hälsningar
Sebastian
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PhysikRabe
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Mitteilungen: 2647
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-18
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Ein kleiner Kommentar:
\quoteon(2022-07-07 12:38 - Skalhoef im Themenstart)
$$
\operatorname{Im} G( \omega ) = \operatorname{Im} G^{ \text{ret}} (\omega) \cdot \tanh \frac{\hbar \beta \omega}{2}
$$
\quoteoff
Das sieht für mich so aus als würde hier angenommen werden, dass sich das System im thermalen Gleichgewicht (mit Temperatur $\beta^{-1}$, entsprechend einer Fermi-Dirac-Statistik) befindet. Eine ähnliche Relation habe ich hier gefunden, siehe Gleichung (3.116); vielleicht ist das hilfreich für dich. Ansonsten würde ich stark vermuten, dass man das auch aus der KMS (Kubo-Martin-Schwinger) Bedingung folgern kann, aber das habe ich nicht weiter durchdacht.
Grüße,
PhysikRabe
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Skalhoef
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29
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Hej,
ich danke dir für den Input PhysikRabe.
Ich versteh' es jetzt...
Was mich verwirrt hatte war, dass ich desöfteren gesehen habe, etwa hier, dass man die "Equation-Of-Motion-Technik" benutzt um einen Ausdruck für die retardierte Green-Funktion zu erhalten:
Man nimmt also die sehr kompliziert definierte Green-Funktion und schreibt die Bewegungsgleichungen hin. Diesen Ausdruck manipuliert man dann ein bisschen (durch Fourier-Transformation etwa) und dann erhält man einen konkreten Ausdruck für die Green-Funktion.
Was mich verwundert hatte war, dass die Bewegungsgleichungen von *unterschiedlichen* Green-funktionen dann merkwürdigerweise *identisch* sind. In einer Literatur fand ich dann die sehr einleuchtende Bemerkung:
On the other hand, the detailed time-dependence of $G^{\text{r}} ( t)$, $G^{\text{a}} (t)$ and $G ( t)$ is obviously very different. From the definition of these quantities follows for example that $G^{\text{r}} ( t < 0) \equiv 0 $, while $G^{\text{a}} ( t > 0) \equiv 0$. Thus, if one wants to determine the correct solution of the equation of motion, one must incorporate those boundary conditions appropriately. This implies that the Fourier-transformation in eq. (...) has to be performed with some care.
In diesem Sinne: Diese Gleichung hier stimmt nicht!!!
\quoteon(2022-07-07 12:38 - Skalhoef im Themenstart)
$$
G_{ \alpha \alpha^{\prime}} (\omega) = \big[ \omega - \frac{ \operatorname{mat} H - \mu \mathbb{1}}{\hbar} \big]_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{\operatorname{inv}}
$$
\quoteoff
Aber diese Gleichung hier stimmt! (Das kann man mit etwas Mühe z.B. mit dem Formalismus aus dem Altland-Buch zeigen.)
\quoteon(2022-07-07 12:38 - Skalhoef im Themenstart)
$$
G_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{ \text{ret}} (\omega + \mathrm{i} \delta ) = \big[ \omega + \mathrm{i} \delta - \frac{ \operatorname{mat} H - \mu \mathbb{1}}{\hbar} \big]_{ \alpha \alpha^{\prime}}^{\operatorname{inv}}
$$
\quoteoff
Und die anderen Identitäten aus dem Altland-Buch sind auch ok.
Das ist vermutlich alles ein bisschen zu "Fachspezifisch" für den Matheplaneten... :( Ich danke aber für den Input und mache einen Haken dran.
Vänliga hälsningar
Sebastian
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Skalhoef hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Skalhoef hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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