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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Nichtverschwindende Minoren
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Kein bestimmter Bereich Nichtverschwindende Minoren
Goswin
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  Themenstart: 2022-07-17

Bis auf weiteres nenne ich eine rationelle Matrix "schlicht", wenn sämtliche Minoren derselben verschieden von Null sind. Dazu wäre ich an zwei Fragestellungen interessiert: (1) Gibt es einen etablierten Namen für so eine Matrix, bzw fällt euch ein guter Name dafür ein? (2) Man kann untersuchen, ob eine Matrix "schlicht" ist, indem man den hamiltonschen Johnson-Grafen ihrer Pivotabbilder durchläuft und nachsieht, ob dabei Nullen auftreten oder nicht. Aber das dauert exponentiell lange und ist nur für kleinere Matrizen sinnvoll. Kennt jemand etwas effizienteres? Meine Motivation für das obige ist (natürlich?), dass die Menge der rationell schlichten Matrizen topologisch dicht ist, und dass sich viele Beweise enorm vereinfachen, wenn man sie auf schlichte Matrizen beschränkt.


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Delastelle
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-20

Hallo Goswin! Ich habe gerade mal mitgelesen. Mir ist gerade entfallen, was Du mit dem Begriff Minoren meinst! Viele Grüße Ronald Edit: sind gemeint: die Hauptdiagonalelemente der Matrix. Dann gibt es noch die Nebendiagonalelemente der Matrix.


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Goswin
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-22

\quoteon(2022-07-20 00:56 - Delastelle in Beitrag No. 1) Mir ist gerade entfallen, was Du mit dem Begriff Minoren meinst! \quoteoff Die Minoren einer Matrix sind die Determinanten der Teilmatrizen die durch Entfernen von keiner/einer/mehrerer Spalten und/oder Zeilen entstehen. Eine \(m\times n\)-Matrix hat also genau \[ \sum_{t=1}^{\min(n,m)} \left({m\atop t}\right) \left({n\atop t}\right) \] Minoren, und alle diese sollen bei einer "schlichten Matrix" verschieden von Null sein. Insbesondere sind also auch die Einträge der Matrix verschieden von Null. Beispiele von Matrizen mit nichtverschwindenden Minoren scheinen die "Pascalschen Matrizen" zu sein, das heißt Matrizen mit \(~a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}~\) (Minoren alle positiv?): \[\left[\matrix{ 1& 1& 1& 1& 1 \\ 1& 2& 3& 4& 5 \\ 1& 3& 6& 10& 15 \\ 1& 4& 10& 20& 35 } \right]\]


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Goswin
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-26

\quoteon(2022-07-17 20:49 - Goswin im Themenstart) Gibt es einen etablierten Namen für so eine "Schlichte Matrix", bzw fällt euch ein guter Name dafür ein? \quoteoff Seid doch mal kreativ! Wie wäre es mit "unbefangene Matrix" oder gar "wilde Matrix"? Oder lieber ganz langweilig "nvm-Matrix", was sich auch als "Nonvanishing-Minors-Matrix" lesen lässt?


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thureduehrsen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-26

\quoteon(2022-07-22 14:02 - Goswin in Beitrag No. 2) alle diese [Minoren] sollen bei einer "schlichten Matrix" verschieden von Null sein. Insbesondere sind also auch die Einträge der Matrix verschieden von Null.` \quoteoff Das bedeutet aber nicht dasselbe. Sollen alle Minoreneinträge von Null verschieden sein, oder reicht es, wenn je Minor ein von Null verschiedener Eintrag existiert? mfg thureduehrsen


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Goswin
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-26

\quoteon(2022-07-26 10:07 - thureduehrsen in Beitrag No. 4) Sollen alle Minoreneinträge von Null verschieden sein, oder reicht es, wenn je Minor ein von Null verschiedener Eintrag existiert? \quoteoff ¿¿? Nach der obigen Definition, der einzigen die ich kenne, sind Minoren *Zahlen*; die haben keine Einträge und sind entweder Null oder nicht Null. Gibt es alternative Definitionen, oder hast du nur "Minor" mit "Untermatrix" verwechselt? ( Nach einem Blick auf den Wikipedia-Artikel "Minor" erhalte ich den Eindruck, dass die meisten diesen Begriff nur auf quadratische Matrizen beziehen, und auch da nur im Zusammenhang der Laplaceschen Entwicklung zur Determinantenberechnung. Meine Matrizen sind in der Regel *nicht quadratisch*, und meine Minorenanwendung hat *nichts* mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz zu tun. )


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Goswin
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-26

Satz: Es sei \([a_{ij}]\in\mathbb{R}_{mn}\) eine (\(m\!\times\!n\))-Matrix mit nichtverschwindenden Minoren, und es seien \(D,B\) Indexmengen mit \(|D|=n,~ |B|=m,~ D\cap B=\emptyset\). Für den konvexen Kegel \[ \mathcal{K} ~=~ \Big\{~ x\in\mathbb{R}^{n+m} ~~\Big|~~ \forall~i\!\in\!B\quad x_i = \sum_{j\in D} a_{ij}\,x_j,\qquad \forall~k\in D\cup B\quad x_k\ge0 ~\Big\} \] gilt dann \[ \mathcal{K} \ne \{0\} \quad\iff\quad \exists~x\!\in\!\mathcal{K}\quad \forall~ k\!\in\!D\cup B\quad x_k>0 \] ___ Spannend oder trivial? (Mein Beweis ist etwas umständlich.)


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thureduehrsen
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-27

sorry, hatte überlesen, dass da "Determinanten" steht.


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Goswin
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-04

Mit den schlichten Matrizen scheint es wie bei den transzendenten Zahlen zu sein: transzendente Zahlen sind die häufigsten von allen, und trotzdem kennen die meisten Menschen nur \(\pi\) und \(e\). Und bei willkürlich erzeugten Ziffernfolgen ist es schwer zu beweisen, dass die Zahl transzendent ist. Aber genug der Einleitung! Ist eine Matrix mit Einträgen, die paarweise verschiedene Primzahlen sind, immer schlicht oder nicht? Näher betrachtet läuft diese Frage hinaus auf: "Gibt es singuläre Matrizen mit Einträgen, die paarweise verschiedene Primzahlen sind?" Ich weiß es nicht und habe auch keinen Beweis. Aber ich habe zufallsverteilt ein wenig herumprobiert und bisher keine singulären Matrizen gefunden.


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Kezer
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Auf MSE/2355787 wird ein Beispiel genannt: Es ist $$ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\ 7 & 11 & 13 \\ 19 & 23 & 97 \end{pmatrix} = 0.$$\(\endgroup\)


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Goswin
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-04

\quoteon(2022-08-04 15:34 - Kezer in Beitrag No. 9) Auf MSE/2355787 wird ein Beispiel genannt. \quoteoff Auch \[ \det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 7 \\ 11 & 13 & 17 & 19 \\ 23 & 29 & 31 & 37 \\ 41 & 43 & 67 & 73 \\ \end{pmatrix} = 0. \] Das wars dann wohl!


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Goswin
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-10

\quoteon(2022-07-17 20:49 - Goswin im Themenstart) Man kann untersuchen, ob eine Matrix "schlicht" ist, indem man den hamiltonschen Johnson-Grafen ihrer Pivotabbilder durchläuft und nachsieht, ob dabei Nullen auftreten oder nicht. Aber das dauert exponentiell lange und ist nur für kleinere Matrizen sinnvoll. Fällt jemandem ein besserer Algorithmus ein? \quoteoff Darf ich davon ausgehen, dass kein derariger Algorithmus "wohlbekannt" ist?


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