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Integration » Integraltransformationen » Fourier-Transformation Indikatorfunktion
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Universität/Hochschule J Fourier-Transformation Indikatorfunktion
Pioch2000
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  Themenstart: 2022-08-02

Hallo, ich komme bei der folgenden Aufgabe einer Altklausur einfach nicht weiter: Sei $B$ die offene Einheitskugel in $\mathbb R^d$, $g:=\chi_B$ und $\hat{g}$ die Fourier Transformation von $g$. Zeigen Sie folgende Aussagen: a) $\hat{g}\in L^p(\mathbb R^d)$ für alle $p\in [2,\infty]$ b) $\hat{g}\not \in L^1(\mathbb R^d)$ c) $\hat{g}\in C^\infty(\mathbb R^d)$ Meine erste Idee wäre es die Fourier Transformation auszurechnen, das scheint mir aber ziemlich kompliziert zu sein. Gibt es hier einen "einfachen" Trick? Danke schonmal für Hilfe.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-02

\quoteon(2022-08-02 10:38 - Pioch2000 im Themenstart) Meine erste Idee wäre es die Fourier Transformation auszurechnen, das scheint mir aber ziemlich kompliziert zu sein. \quoteoff Man erhält zwar eine spezielle Funktion, aber die Rechnung ist eigentlich gar nicht so kompliziert. Wir haben $\hat{g}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{\|x\|<1} e^{-i\langle\xi,x\rangle} \mathrm{d}x$. Um dieses Integral zu berechnen können wir $\xi$ entlang einer Koordinatenachse wählen, z.B. $\xi=(\xi_1 , 0,0,\ldots)$ mit $\xi_1 >0$ (warum?). Die Rechnung liefert dann letztendlich ein Integral, welches eine Bessel-Funktion erster Art darstellt (siehe z.B. hier). Von dieser direkten Analyse abgesehen ist es bei solchen Problemen nützlich darüber nachzudenken, welche Eigenschaften die betreffende Funktion (hier $\chi_B$) besitzt, und was die zugehörigen Eigenschaften Fourier-Transformation sind. Zum Beispiel könntest du dir überlegen, dass $\chi_B \in L^p (\mathbb{R}^d)$ gilt, und zwar für alle $p$. Insbesondere ist $\chi_B \in L^2 (\mathbb{R}^d)$, und die Fourier-Transformation hat bekanntermaßen gute Eigenschaften auf $L^2 (\mathbb{R}^d)$... Aber man kann mithilfe von Eigenschaften der Fourier-Transformation noch mehr Aussagen treffen (siehe z.B. die Hausdorff-Young-Ungleichung, Paley-Wiener-Theorem und dergleichen; das sollte dich auf Ideen bringen). Grüße, PhysikRabe [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integraltransformationen' von PhysikRabe]


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mathilde01
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-07

Hi, noch eine Idee zur a): wie PhysikRabe schon geschrieben hat, ist $g\in L^p$ für alle $p$. Die Fourier-Trafo auf $L^1$ bildet eine $L^1$ Funktion in $L^\infty$ ab und die Fourier-Trafo auf $L^2$ bildet in $L^2$ ab. Du bekommst also $\hat{g}\in L^2 \cap L^\infty$ und die Interpolationsungleichung gibt dir $\hat{g}\in L^p$ für alle $p\in [2,\infty)$.


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