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Mathematik » Geometrie » Umfang einer Ellipse
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Kein bestimmter Bereich J Umfang einer Ellipse
StrgAltEntf
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  Themenstart: 2022-08-05 22:01

Hallo, mache ich hier irgend einen Denkfehler? Gegeben eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Es gelte a/b = 3/2. Laut Wikipedia gilt für die numerische Exzentrizität \(\varepsilon = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt5}3=0,74535599249993 \). Nach Wolframalpha gilt für das vollständige elliptisches Integral zweiter Art \(E(\varepsilon)=1,2139\). Die Ellipse soll einen Umfang von U = 300 haben. Nach Wikipedia gilt \(U=4aE(\varepsilon)\). Es folgt a = 61,7805 und dann b = 41,1870. Der Online-Ellipsenberechner liefert mit diesen Werten für a und b aber U = 326,7249. Ebenso dieser Rechner. Wo steckt der Fehler? Vielen Dank!


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-05 22:17

\quoteon(2022-08-05 22:01 - StrgAltEntf im Themenstart) Wo steckt der Fehler? \quoteoff Um WolframAlpha zu zitieren: $E(m)$ is the complete elliptic integral of the second kind with parameter $m=k^2$. --zippy


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Finn0
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-05 22:22

WolframAlpha rechnet in der Konvention $E(m)$ mit $m=k^2,$ du willst aber $E$ bezüglich $k=\varepsilon$ berechnen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-05 22:27

Hallo StrgAltEntf, bei den elliptischen Integralen muss man höllisch aufpassen, weil der Modul, also das "Argument" des elliptischen Integrals, in der Literatur unterschiedlich interpretiert wird. Siehe den letzten Satz vor dem Inhaltsverzeichnis hier: Elliptisches Integral, speziell den Hinweis auf $m=k^2$. Wenn Du bei WolframAlpha nicht $\frac{\sqrt5}3$, sondern $\frac59$ eingibst, passt es. Ciao, Thomas [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-05 23:07

Herzlichen Dank, zippy, Finn0 und MontyPythagoras! 😃


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Finn0
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-05 23:21

Eure Abhängigkeit von Fremdsoftware könnt ihr übrigens so auflösen: \sourceon python from math import pi, sqrt def E(m): if m == 1: return 1 x, y, a, b = 1, sqrt(1 - m), 1, 1 - m for _ in range(0, 7): x, y, a, b = 0.5*(x+y), sqrt(x*y), 0.5*(a+b), (a*y+b*x)/(x+y) return 0.5*pi*a/x \sourceoff Ist mir neulich bei einer Kontemplation im Garten eingefallen. Nein, nur ein Scherz. Erklärung in https://doi.org/10.1016/j.camwa.2016.11.003. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-06 10:37

Hallo Finn0, das ist die Anwendung des arithmetisch-geometrischen Mittels zur Berechnung von vollständigen elliptischen Integralen. Die dortige Erklärung ist allenfalls sehr rudimentär. Wer sich genauer einlesen will, sollte vielleicht das Kapitel 19 der DLMF, welches von Bille Carlson, dem "Entdecker" der symmetrischen elliptischen Integrale, geschrieben wurde. Obige Berechnung beruht im wesentlichen auf den Formeln 19.30.5 mittels Anwendung von 19.22.9. Dort werden auch noch andere Anwendungen angegeben, wie die Berechnung von Hyperbeln, Lemniskaten und Anwendungen aus der dreidimensionalen Geometrie (Ellipsoide) und Physik. Die Berechnung per AGM funktioniert jedoch nur für die vollständigen elliptischen Integrale. Will man nur Ellipsenbögen berechnen, ist es sinnvoller, auf die numerische Berechnung durch Carlson-Integrale auszuweichen, die für unvollständige Integrale fast genauso schnell ist wie die Berechnung mittels AGM für vollständige Integrale. Ciao, Thomas


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