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| Autor |
  Holomorphe Funktion mit f(1/n)= 1/n^2 * exp((-1)^n/n) |
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elO
Junior 
Dabei seit: 01.02.2022
Mitteilungen: 13
Wohnort: Deutschland, Hamburg
 |  Themenstart: 2022-08-08
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Hallo,
ich soll herausfinden, ob es eine holomorphe Funktion $f \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ gibt, mit $f(1/n) = 1/n^2 * \exp((-1)^n/n), n \in \mathbb{N}$. Ich habe versucht mir eine Funktion $g(z) = z^2 * \exp(\cos(\pi/z)z)$ zu definieren und dann mit Hilfe des Identitätssatzes darauf zu kommen, dass es eine solche Funktion nicht geben kann. Nur leider stimmen die Voraussetzungen für den Identitätssatz immer nicht. Oder gibt es eine solche Funktion und ich gehe das ganze falsch an?
Liebe Grüße
Ole
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2801
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
deine Funktion $g\,\colon \mathbb C\setminus\lbrace 0\rbrace\to \mathbb C$ erfüllt ja
$$
g\left(\frac 1n\right)=\frac{1}{n^2}\cdot \exp\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)
$$
für alle $n\in \mathbb N$. Nun ist die Frage, welche Art von Singularität bei $g$ in $z=0$ vorliegt? Eventuell kann man $g$ ja holomorph auf ganz $\mathbb C$ fortsetzen und hätte eine solche Funktion gefunden. Abgesehen davon: wie hättest du denn zeigen wollen (wenn die Voraussetzungen passen würden), dass es solch eine Funktion nicht gibt?
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Holomorphie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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elO
Junior
Dabei seit: 01.02.2022
Mitteilungen: 13
Wohnort: Deutschland, Hamburg
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08
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Vielen Dank. Ich hab die Funktion jetzt holomorph in 0 fortgesetzt und dann gilt ja schon die gewünschte Eigenschaft. Ich hatte wie gesagt versucht, mit dem Identitätssatz zu folgern, dass es die Funktion nicht geben kann. Aber das hat, aus gutem Grund, überhaupt nicht funktioniert. Vielen Dank nochmal, mit der Funktion hätte mir das echt selber auffallen können 😅.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9811
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Irgendwie glaube ich nicht, dass \(g\) in Null auch nur stetig ist. Kannst du das beweisen?
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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Gestath
Aktiv 
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 251
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-08
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Hallo,
man hat ja
f(0)=0
Für gerade n hättest du ja die Funktion
f(z)=z^2*exp(z)
und eine analoge Überlegung kann man für ungerade n machen.
MfG
Gestath
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elO
Junior 
Dabei seit: 01.02.2022
Mitteilungen: 13
Wohnort: Deutschland, Hamburg
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09
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Hallo Wally und Gestath,
ich verstehe Wallys Antwort so, dass cos im komplexen ja nicht beschränkt ist und deswegen auch eine Singularität im Nullpunkt möglich wäre. Daran habe ich gestern auch nicht gedacht.
Bei Gestaths Antwort ist mir leider nicht ganz klar, wie ich dann die Holomorphie einer solchen Funktion zeigen könnte.
Liege Grüße
Ole
Ergänzung:
Hier ist meine Beweisidee, warum es keine solche Funktion geben könnte: Sei $g(z) \colon = z^2 \exp(\cos(\pi / z)z)$ für die Folge $\lbrace 1/n \rbrace$ gilt $f - g = 0$. Daraus folgt mit dem Idenditätssatz $f = g$. Also muss g holomorph sein, was es aber nicht ist. Also kann es f nicht geben.
Kann man das so machen oder sind da noch Fehler drin?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-09
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\quoteon(2022-08-09 18:59 - elO in Beitrag No. 5)
Bei Gestaths Antwort ist mir leider nicht ganz klar, wie ich dann die Holomorphie einer solchen Funktion zeigen könnte.
\quoteoff
Was dir Gestaths Antwort sagen will ist, dass die Funktionen für gerades und ungerades $n$ nicht zusammenpassen und dass es daher die gesuchte holomorphe Funktion nicht geben kann.
\quoteon(2022-08-09 18:59 - elO in Beitrag No. 5)
Daraus folgt mit dem Idenditätssatz $f = g$.
\quoteoff
Der Identitätssatz gilt für holomorphe Funktionen und ist daher nicht auf $g$ anwendbar.
--zippy
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elO
Junior
Dabei seit: 01.02.2022
Mitteilungen: 13
Wohnort: Deutschland, Hamburg
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09
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Danke, dass g holomorph sein muss hab ich wohl übersehen. Und wie kann ich zeigen, dass die nicht zusammenpassen? Und dass es keine andere Funktion gibt, die das gesuchte erfüllt?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-09
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\quoteon(2022-08-09 21:59 - elO in Beitrag No. 7)
Und wie kann ich zeigen, dass die nicht zusammenpassen?
\quoteoff
Mit $f_\pm(z)=z^2\,e^{\pm z}$ ist für gerade $n$ ist $f(1/n)=f_+(1/n)$ und für ungerade $n$ ist $f(1/n)=f_-(1/n)$. $f_+$ und $f_-$ sind holomorph und es ist $f_+\ne f_-$.
\quoteon(2022-08-09 21:59 - elO in Beitrag No. 7)
Und dass es keine andere Funktion gibt, die das gesuchte erfüllt?
\quoteoff
Wäre $f$ holomorph, gälte nach dem Identitätssatz $f=f_+=f_-$.
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elO hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elO hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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