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Universität/Hochschule J Anwendung der Transformationsformel
Berpal23
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  Themenstart: 2022-08-09

Guten Tag Matheplanet, ich habe noch ein paar Probleme die Transformationsformel anzuwenden, deswegen wollte ich mal fragen, ob ich richtig gerechnet habe: Gebeben sei $M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+4y^2+z^2<16\}$ und $f:M\rightarrow \mathbb R,(x,y,z)\mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2+4y^2}\sqrt{x^2+4y^2+z^2} }$ Zu berechnen ist $\int_M fd\lambda$. Zunächst betrachte ich den Diffeomorphismus $\varphi:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^3,(x,y,z)\mapsto (x,\frac{y}{2},z)$. Dann gilt $(x,y,z)\in B \Leftrightarrow \varphi(x,y,z)\in M$ wobei $B$ die offene Kugel mit Radius 4 ist. Mit der Transformationsformel bekomme ich $\int_M fd\lambda=\int_B\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\frac{1}{2}d\lambda \overset{Kugelkoordinaten}{=}\int_0^\pi \int_0^{2\pi}\int_0^{16}\frac{r^2\sin(\theta)}{\sqrt{r^2\sin^2(\theta)\cos^2(\phi)+r^2\sin^2(\theta)\sin^2(\phi)} \sqrt{r^2\sin^2(\theta)\cos^2(\phi)+r^2\sin^2(\theta)\sin^2(\phi)+r^2\cos^2(\theta)}}\frac{1}{2}drd\theta d\phi= \int_0^\pi \int_0^{2\pi}\int_0^{16}\frac{1}{2}dr d\theta d\phi=16\pi^2$ Könnte mir jemand Feedback zu meiner Rechnung geben (insbesondere ob das Prinzip richtig ist)?


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-09

Hallo Berpal23, das Prinzip ist vollkommen richtig, nur läuft der Winkel \(\phi\) zwischen \(0\) und \(2\pi\) statt \(\theta\) und der Radius ist 4 und nicht 16 (wie du ja selbst schon erkannt hast, aber in der Rechnung steht es falsch).


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Berpal23
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

Danke für deine Hilfe. Dann müsste das Ergebnis $4\pi^2$ sein.


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Kampfpudel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-11

Jupp


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