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Universität/Hochschule Verständnisproblem bei der komplexen Integration
Jufrus
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  Themenstart: 2022-08-10

Hallo Zusammen, ich hätte eine Frage für eine alternative Lösung für die folgende Aufgabe https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55095_Aufgabenstellung_F144-T2-A3.JPG Es geht hierbei nur um die a). Ich würde das ganze gerne über den Residuensatz lösen, weis aber nicht wie ich zeigen soll, dass hier eine hebbare Singularität vorliegt. Ich habe auch gefühlt jedes mal bei Aufgaben dieses speziellen Typs. Edit: anscheinend liegt hier auch ein Pol zweiter Ordnung vor laut wolfram. Jetzt bin ich völlig verwirrt! Wenn ich nachweisen möchte, dass eine hebbare Singularität vorliegt, dann betrachte ich doch eigentlich den Limes gegen die vorliegende Singularität. Wenn der Limes endlich ist, dann liegt eine hebbare Singularität vor. In diesem speziellen Fall: \(\lim_{z \to 0} \frac{e^{iz^{2}}-1}{z^{2}}\) Aber hier bekomme ich ja dann als Ergebnis \(\frac{'0'}{'0'}\) Edit: Sinnvoll ist es hier oftmals die Laurentreihenentwicklung zu probieren. Hier scheint es so, als ob man sich mehr Mühe macht als notwendig. An der Stelle hängts dann bei mir immer - kann mir jemand einen Tipp geben?


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-10

Hallo Jufrus, setze einfach die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ein, dann sieht man es direkt. Der Limes ist \(i\). lg Wladimir


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Jufrus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-10

Hallo Wladimir, dann komme ich auf: \(e^{iz^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(iz^2)^n}{n!}\) Somit dann insgesamt auf: \(\frac{e^{iz^2}}{z^2}-\frac{1}{1-1+z^2}=\frac{1}{z^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(iz^2)^n}{n!}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1+z^2)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{i^nz^{2n-2}}{n!}-(1+z^2)^n\) Ab hier komme ich nicht weiter.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-10

\quoteon(2022-08-10 18:17 - Jufrus in Beitrag No. 2) Ab hier komme ich nicht weiter. \quoteoff Es geht nicht um $\frac{e^{iz^2}}{z^2}$, sondern um $\frac{e^{iz^2}-1}{z^2}$. --zippy


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Jufrus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-10

Wow, ganze lange Leitung! Wenn ich genau das mache was Wladimir gesagt hat (danke nochmal für den Hinweis zippy), dann ist der Summand für n=0 ist 1 und somit kann ich auch bei n=1 starten und meine -2 fliegt raus. Dann kann ich durch \(z^2\) teilen und sehe sofort, dass ein Pol 2. Ordnung rauskommt. Korrekt? 1000-Dank!


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-10

Hallo, \quoteon(2022-08-10 19:49 - Jufrus in


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Jufrus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Jufrus hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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