Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Berufspenner Ueli rlk MontyPythagoras
Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Abtastung
Autor
Universität/Hochschule J Abtastung
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Themenstart: 2022-08-20

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_013227.png 1) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_013238.png 2) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_013249.png 3) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_013341.png 4) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_013419.png 5) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_013433.png Zu 1) Ist im ersten Bild blau markiert. 2) $$s(t) = 8\operatorname{si}^2(4\pi t) - 2\operatorname{si}^2(2\pi t)$$ 3) $$f_a \geq 2 f_{max} \rightarrow \quad f_{a_{min}} = 8$$ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_013547.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_014432.png Ist das soweit alles richtig und wenn ja, wie geht man bei der 5) vor, da sehe ich bis auf die Vorfaktoren der $\operatorname{si}^2$-Terme Unterschiede. 4) dreht sich was im Einheitskreis und bei 5) fehlt die 6 als Vorfaktor und der Dirac ist halt noch da.


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-27

Bis \(S_{a1}(f) = 6 \sum_{k=-\infty}^\infty \big(2 \Lambda(\frac{f-6k}4) - \Lambda(\frac{f-6k}2)\big)\) stimmt alles. Bevor du weiterrrechnest, solltest du dir aber \(S_{a1}\) erst einmal skizzieren. Welche Periode hat die Funktion? Wie schaut die Funktion im Bereich \(|f| \leq 2\) aus? Wie schaut sie im Bereich \(2 \leq |f| \leq 4\) aus? Kannst du sie noch weiter vereinfachen?


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-01

\quoteon(2022-08-27 21:30 - Bozzo in Beitrag No. 1) Bis \(S_{a1}(f) = 6 \sum_{k=-\infty}^\infty \big(2 \Lambda(\frac{f-6k}4) - \Lambda(\frac{f-6k}2)\big)\) stimmt alles. Bevor du weiterrrechnest, solltest du dir aber \(S_{a1}\) erst einmal skizzieren. Welche Periode hat die Funktion? Wie schaut die Funktion im Bereich \(|f| \leq 2\) aus? Wie schaut sie im Bereich \(2 \leq |f| \leq 4\) aus? Kannst du sie noch weiter vereinfachen? \quoteoff Den ersten Teil verstehe ich nicht. Wie soll ich was zeichnen, das noch eine Phasendrehung hat, wie in diesem Fall mit $\Lambda$-Fkt.? Kann ich denn einfach so den $e$-Term auslassen?


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-01

Wieso hat Λ bei dir eine Phasendrehung? S(f) konnte im Themenstart auch gezeichnet werden, da hat die Λ Funktion noch nicht gestört.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-01

Hab das mit $s_{a1}(t)$ verwechselt, sorry. So würde bei mir, etwas unsauber gezeichnet, aussehen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-01_161801.png Und in den schraffierten Flächen im rechten Diagramm, sind das die Stellen die sich überlappen (Alias-Effekt). Daraus resultiert dann die Gerade, welche auf den Flächen bei $S_a(f) = 6$ liegt und das durchgängig für alle Werte von $f$. Ich denke, dass du das mit $2 \leq |f| \leq 4$ meintest. Aber was soll mir das jetzt bringen?


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-01

Es war Teil der Aufgabe 4 das Spektrum Sa1 zu bestimmen. Das hast du nun gemacht. Jetzt kannst du die Aufgabe weiter bearbeiten. Deine Skizzen sind vollkommen in Ordnung so, die würde ich nicht als "unsauber" bezeichnen.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-01

\quoteon(2022-09-01 16:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Hab das mit $s_{a1}(t)$ verwechselt, sorry. So würde bei mir, etwas unsauber gezeichnet, aussehen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-01_161801.png Und in den schraffierten Flächen im rechten Diagramm, sind das die Stellen die sich überlappen (Alias-Effekt). Daraus resultiert dann die Gerade, welche auf den Flächen bei $S_a(f) = 6$ liegt und das durchgängig für alle Werte von $f$. Ich denke, dass du das mit $2 \leq |f| \leq 4$ meintest. Aber was soll mir das jetzt bringen? \quoteoff Aber das war ja auch schon vor den beiden Diagrammen bereits bestimmt. In der Aufgabe wird nicht verlangt, das Spektrum $S_{a1}(f)$ zu skizzieren. Daher war das Spektrum zu Zeichnen ohnehin nicht notwendig. Zudem der Prüfer, falls das Spektrum skizziert werden sollte, auch angibt, ob diese skizziert werden soll oder nicht. Aber auch ganz unabhängig von dem Fakt, dass das Spektrum nicht skizziert werden soll, da nicht danach gefragt, war mir der Verlauf auch so schon klar und nicht Teil meiner Frage. Mein Problem ging in die Richtung Vergleichen, sprich den Teil von Aufgabe 5)


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-01

Genausowenig wie ich deine Summe für Sa1 als "Lösung" gelten lassen würde, wenn sie noch zu so etwas einfachem wie 6 vereinfacht werden kann, würde ich das als "Lösung" für sa1 gelten lassen, was du im Themenstart dafür angegeben hast. sa1 lässt sich auch noch wesentlich einfacher darstellen. Die Skizze war nicht gefordert, aber sie hat ja offenbar geholfen, zum richtigen Ergebnis zu kommen, und mit diesem solltest du nun auch fertigrechnen. Bei der 5) hilft der Satz über den Sinus des doppelten Winkel aus den Additionstheoremen weiter.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-01

Also war die ganze Zeit über $S_{a1}(f) = 6$ und die invers-transformierte wäre dann $s_{a1}(t) = 6\delta(t)$. Ich dachte man müsste dafür nicht mehr machen aber dann hieße es ja, dass beide Vereinfachungen bei 4) und 5) dann die Gleichheit beider Herangehensweisen, die in Aufgabe 4) und 5) verlangt werden, gezeigt wird, ohne jemals numerisch gerechnet zu haben. Soweit habe ich gar nicht gedacht. Sorry nochmal an der Stelle, dass ich dich da missverstanden habe. Also die Vereinfachungen bei 4) und 5) liefern so gesehen die Gleichheit oder habe ich dich da jetzt wieder falsch verstanden? Bei der 5) bin ich jetzt soweit gekommen aber sehe noch nicht wirklich viel bzw. wie ich weiter rechnen könnte, um auf das selbe Ergebnis, wie in 4) zu kommen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-01_230445.png


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.9, eingetragen 2022-09-02

Ja. Ich sehe da noch viele offensichtliche Vereinfachungen, die möglich sind. Die findest du bestimmt auch selber. Denke auch daran den Term danach wieder zurück in die Summe mit dem Dirac-Kamm einzusetzen. Dadurch ergeben sich noch weitere Vereinfachungen mit speziellen Werten von Sinus und Kosinus.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-02

\quoteon(2022-09-02 11:15 - Bozzo in Beitrag No. 9) Ja. Ich sehe da noch viele offensichtliche Vereinfachungen, die möglich sind. Die findest du bestimmt auch selber. Denke auch daran den Term danach wieder zurück in die Summe mit dem Dirac-Kamm einzusetzen. Dadurch ergeben sich noch weitere Vereinfachungen mit speziellen Werten von Sinus und Kosinus. \quoteoff Ich komme noch auf folgendes aber dann ist eigentlich schon Schluss. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-02_130100.png


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.11, eingetragen 2022-09-02

Das ist schon ein guter Schritt vorwärts. In der Klammer ist noch was schief gelaufen. Wenn du die ausmultipliziertst, hast du da jetzt (2πt)4 im Nenner. Sonst den Sinus durch si ersetzen, wie du es schon angedeutet hast und den Term wieder zurück in den Dirac-Kamm einsetzen und das t in der Summe durch n/6 ersetzen. Welche Werte kann der quadriert Kosinus für die verschiedenen Werte von n annehmen?


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-02

Dann komme ich auf folgendes https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-02_144441.png


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.13, eingetragen 2022-09-02

Du hast die Stellen aufgeschrieben, für die der Kosinus 1, -1 oder 0 ist (du hast dabei nicht quadriert). Damit hast du die Fälle n = 0, ±6, ±12, ... und n = ±3, ±9, ±15, ... erledigt. Rauszufinden, wann der Kosinus = 0 ist hat offenbar nichts gebracht, da n = ±3/2, ±9/2, ... keine ganzen Zahlen sind. Was jetzt noch fehlt sind n = ±1, ±2, ±4, ±5, ... Gehe am besten mal die einzelnen Fälle einen nach dem anderen nacheinander durch.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-02

Da komme ich dann auf $$\cos^2\left({\pi n \over 3}\right) = \begin{cases}1, \text{ fuer } n = 0, \pm3,\pm6,\pm9,\pm12,\pm15,\pm18\\ {1\over 4}, \text{ fuer } n=\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm7,\pm8,\pm9 \end{cases}$$ Ich habe das jetzt teils nummerisch für ${1\over 4}$ gemacht, da ich nicht mehr wusste, was das Ergebnis des $\cos$, für das Argument ${\pi\over3}$ ist. Was mache ich jetzt mit dem $\operatorname{si}$-Term im Dirac-Kamm? Hätte ich hier nicht die beiden $\operatorname{si}$-Terme aus dem Themenstart nehmen, die in die $\sin^2$-Terme aufsplitten und den Wert jeweils aus dem T.R. berechnen können? Das wäre doch dann viel schneller als hier mit Additionstheoremen heranzugehen. Der Delta-Term bleibt ja ohnehin übrig.


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.15, eingetragen 2022-09-03

Wenn du dann nicht mit den unterschiedlichen Phasen durcheinander kommst, haettest du du das auch mit den sin-Termen machen koennen. Fuer mich war es so leichter. Fuer mich war die Umformung aber auch nur ein kurzer Handgriff. Wie sieht der Term denn jetzt aus?


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-03

Ich glaube, dass der Aufgabensteller, sich die folgende Herangehensweise vorgestellt hat. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-03_110652.png Da bleiben auch die beiden $\operatorname{si}^2$-Terme erhalten. Ist dann aber teils nummerisch gelöst. Bei der Variante mit Additionstheorem, macht mir der $\operatorname{si}^2$-Term Probleme. Da kommen ständig krumme Werte heraus.


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.17, eingetragen 2022-09-03

Bei mir kommen beim si keine krummen Werte heraus. Das was rechts steht (6 für n = 0 und 0 sonst) ist die entscheidende Erkenntnis. Mal mit dem Tascherechner rumprobieren um auf die Idee zu kommen ist nicht verkehrt, aber ohne Beweis wird es wahrscheinlich nicht viele Punkte geben. Sinus und Kosinus von 60 Grad bekommst du, wenn du dir das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge 1 etwas genauer ansiehst. Wenn du es an der Höhe in zwei gleiche Teile teilst, hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel 60 Grad und bekannten Seitenlängen.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-03

\quoteon(2022-09-03 14:52 - Bozzo in Beitrag No. 17) Bei mir kommen beim si keine krummen Werte heraus. Das was rechts steht (6 für n = 0 und 0 sonst) ist die entscheidende Erkenntnis. Mal mit dem Tascherechner rumprobieren um auf die Idee zu kommen ist nicht verkehrt, aber ohne Beweis wird es wahrscheinlich nicht viele Punkte geben. Sinus und Kosinus von 60 Grad bekommst du, wenn du dir das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge 1 etwas genauer ansiehst. Wenn du es an der Höhe in zwei gleiche Teile teilst, hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel 60 Grad und bekannten Seitenlängen. \quoteoff Zum ersten Absatz. Ein Beweis ist hier ohnehin nicht notwendig und wie bereits gesagt, ist das die Herangehensweise des Prüfers, da ich mich nicht erinnern kann, dass der Prüfer jemals einen Beweis verlangt hat. Und so wirklich anders - von der Form - ist es von dem was ich im Themenstart geschrieben auch nicht aber von der Zeit her schon. Man sollte schon so nah wie möglich von dem was erwartet wird bleiben, gerade weil man auch in der Prüfung, zumindest an der Stelle nicht viel Zeit verschwenden sollte. Klar kann man es mit Additionstheoremen machen aber es ist kein bzw. nie ein Beweis verlangt worden und der Taschenrechner ist durchaus erlaubt. Also beim $\operatorname{si}^2$-Term bekomme ich krumme Werte, wenn ich die Werte für n, mit dem Taschenrechner bestimmen möchte. Was hast du denn für n eingesetzt? Beim zweiten Absatz, verstehe ich jetzt nicht, was du mir damit sagen willst. Ob ich jetzt anhand eines Dreiecks den Output bestimme oder anhand des E.K. spielt denke ich aber keine Rolle. Ich wusste einfach nicht mehr, was mir das Argument ${\pi\over 3}$ liefert. Ob ich das Argument im Grad- oder Bogenmaß angebe bringt mir da jetzt keine neue Erkenntnis.


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.19, eingetragen 2022-09-04

Im Themenstart hast du alles mit nachvollziehbaren Rechnungen belegt. Wie du im Beitrag No. 16 auf "6 fuer n = 0 und 0 sonst" kommst, dagegen nicht. Wenn du meinst, der Pruefer laesst das so durchgehen, musst du da auch nichts weiter machen. Ich habe n = 0, ±3, ±6, ... in den si eingesetzt. Wenn du den exakten Wert fuer pi/3 irgendwoanders herbekommen hast, tut es das auch. Nachdem, was du geschrieben hast, bin ich davon ausgegangen, dass du mit irgendwelchen Kommazahlen aus dem Taschenrechner rumrechnest und dann am Ergebnis raetst, was das exakte Ergebnis sein koennte. Da bin ich nicht sicher, ob so ein Vorgehen akzeptiert wird.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-04

\quoteon(2022-09-04 06:09 - Bozzo in Beitrag No. 19) Im Themenstart hast du alles mit nachvollziehbaren Rechnungen belegt. Wie du im Beitrag No. 16 auf "6 fuer n = 0 und 0 sonst" kommst, dagegen nicht. Wenn du meinst, der Pruefer laesst das so durchgehen, musst du da auch nichts weiter machen. Ich habe n = 0, ±3, ±6, ... in den si eingesetzt. Wenn du den exakten Wert fuer pi/3 irgendwoanders herbekommen hast, tut es das auch. Nachdem, was du geschrieben hast, bin ich davon ausgegangen, dass du mit irgendwelchen Kommazahlen aus dem Taschenrechner rumrechnest und dann am Ergebnis raetst, was das exakte Ergebnis sein koennte. Da bin ich nicht sicher, ob so ein Vorgehen akzeptiert wird. \quoteoff Und was ist mit den Werten dazwischen also $n = \pm1, \pm2, \pm4 ...$ Das mit dem gleichseitigen Dreieck will ich jetzt aber doch wissen. Ich sehe da eine Eselsbrücke, die man sich gut merken könnte. Also wenn ich das gleichseitige Dreicke in der Mitte in zwei Dreiecke, durch eine Gerade teile, habe ich einen rechten Winkel ($90°$), einen $30°$ und einen $60°$ Winkel. Der Sinus wäre ja Gegenkathete/Hypotenuse. Die Höhe wäre die Gegenkathete vom rechten Teildreieck bei $60°$ aus betrachtet. Diese wäre ${\sqrt{3}\over 2}a$, die Hypotenuse $a$ und damit wäre dann $\sin(60°) = {\sqrt{3}\over 2}$. Ich denke, dass du das so meintest. Ich habe den Wert immer aus einer Tabelle entnommen, da ich es in den meisten Fällen als schneller empfinde aber so geht es ja auch. Muss man aber nur wissen, dass im Bogenmaß ${\pi\over 3} \widehat{=} 60°$, im Gradmaß sind. Meistens habe ich die häufig vorkommenden Werte im Kopf wie $\pi/2, \pi$ oder ganze vielfache von $\pi$


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.21, eingetragen 2022-09-04

Die Werte n = ±1, ±2, ±4, ±5, ... habe ich in den Kosinus eingesetzt, da sind sie weggefallen. Ja, das mit dem gleichseitigen Dreieck habe ich so gemeint. Wenn man die passende Tabelle zur Hand hat, kann man sie auch schnell nachschlagen. Wenn man erst das Suchen anfangen muss, geht es oft auch schneller übers gleichseitige Dreieck. Außerdem ist es wirklich eine gute Eselsbrücke. Nachdem man es sich ein paar Mal übers Dreieck hergeleitet hat muss man nur noch dran denken, dass man es sich so herleiten könnte, und dann fallen einem die Werte meist gleich schon wieder ein. Der Vollwinkel hat 360 Grad oder 2π Radian. Ein Sechstel des Vollwinkels sind daher 360/6 = 60 Grad oder 2π/6 = π/3 Radian. Normalerweise "weiß" man, dass das Dreieck 180 Grad Winkelsumme und das gleichseitige Dreieck 60 Grad Innenwinkel hat (weil man das meist schon in der Schule lernt, in der man meist mit Grad arbeitet). Darum habe ich beim gleichseitigen Dreieck auch von 60 Grad geredet. Ich bin davon ausgegangen, dass klar ist, dass das dasselbe wie π/3 ist. Das war nicht zur Verwirrung gedacht.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-04

Dann bleibt der $\operatorname{si}^2$Term ja bestehen. Ich sehe nicht was mir das bringen soll.


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.23, eingetragen 2022-09-05

Der si2-Term fällt raus. Hast du falsch eingesetzt?


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-05

\quoteon(2022-09-05 10:14 - Bozzo in Beitrag No. 23) Der si2-Term fällt raus. Hast du falsch eingesetzt? \quoteoff Also wenn ich für $\operatorname{si}^2\left({\pi n\over 3}\right)$ Werte für $n = \pm1,\pm2,\pm4$ einsetze ergibt das für mich ja nicht $1$ Ich verstehe auch nicht, wie du beim $\operatorname{si}^2$-Term Werte für $n = 0,\pm3,\pm6$ usw. einsetzen kannst und beim $\cos$ Term Werte für $n = \pm1,\pm2,\pm4$ usw.. Es müssen doch wenn dann all diese Werte für beide Terme gelten oder kann ich einfach sagen, in dem einen Term setze ich diese Werte und in den anderen diese Werte ein. Das ist irgendwie nicht einheitlich.


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2286
Wohnort: Franken
  Beitrag No.25, eingetragen 2022-09-05

Setz mal n = 1 Schritt für Schritt ein und zeige mir, was bei den einzelnen Zwischenschritten herauskommt.


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 531
  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-05

\[ \sum_{n} 2\operatorname{si}^2\left({\pi n\over 3}\right)\left[4\cos^2\left({\pi n\over 3}\right) - 1\right]\delta\left({t-{n\over 6}}\right)\bigg{|}_{n=1}\] Ohne das Summenzeichen für $n=1$: $$2\operatorname{si}^2\left(\pi{1\over 3}\right)\left[4\cos^2\left(\pi{1\over 3}\right)-1\right]\delta\left(t-{1\over 6}\right) \quad (1)$$ $$2\cdot\underbrace{\operatorname{si}^2\left({\pi\over 3}\right)}_{\frac{\sin^2\left({\pi\over 3}\right)}{\left({\pi\over 3}\right)^2} = {{3\over 4}\over {\pi^2\over 9}} = {27\over 4\pi^2}}\cdot \left[\underbrace{4\underbrace{\cos^2\left({\pi \over 3}\right)}_{1\over 4}-1}_{0}\right]\delta\left(t-{1\over 6}\right) = 0 \quad (2)$$ Für $n = 2$: $$2\cdot\underbrace{\operatorname{si}^2\left({2\pi\over 3} \right)}_{\frac{\sin^2\left(\left(\pi - {2\pi\over 3}\right) = {\pi\over 3}\right)}{\left(\left(\pi - {2\pi\over 3}\right) = {\pi\over 3}\right)^2} = {{3\over 4}\over {\pi^2\over 9}} = {27\over 4\pi^2}}\cdot \left[\underbrace{4\underbrace{\cos^2\left({2\pi \over 3}\right)}_{-\cos\left({\pi\over 3}\right)-\cos\left({\pi\over 3}\right) =\cos^2\left({\pi\over 3}\right) = {1\over 4}}-1}_{0}\right]\cdot\delta\left(t-{2\over 6}\right) = 0 \quad (3)$$ Und wie man sieht kommt für den $\operatorname{si}^2$-Term krumme Werte heraus. Da es aber durch den rechten Term wegen $0$ zu vernachlässigen ist, wird das gesamte zu $0$. Ich denke jedoch, dass ich die Werte aus der Tabelle dafür nehmen werde oder wie bereits gesagt, den Taschenrechner dafür einsetzen werden, weil das m.E. schneller geht und auch ein erlaubtes Hilfsmittel in der Prüfung ist.


   Profil
Sinnfrei hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sinnfrei hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Sinnfrei wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]