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Analysis » Funktionen » asymptotische Minorante als Beweis der Unendlichkeit der Primzahlenzwillinge
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Universität/Hochschule asymptotische Minorante als Beweis der Unendlichkeit der Primzahlenzwillinge
Informatik-Rentner
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  Themenstart: 2022-09-13

Ich habe eine Frage zur asymptotischen Äquivalenz und zur Frage eines Beweises der Unendlichkeit der Anzahl von Primzahlenzwillingen: Reicht es aus, eine Funktion f zu definieren mit f wächst asymptotisch langsamer als g(=Anzahl Primzahlenzwillingen)? also zB wie die erste Hardy-Littlewood-Vermutung mit einer Konstanten etwa f = int(1/(ln(x)*ln(x)*0,9),x,2,x) Da limes f gegen unendlich geht, muss g gegen unendlich gehen und man wäre fertig? oder muss explizit die asymptotischen Äquivalenz gezeigt werden?


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Soweit ich deine Frage verstehe, lautet die Antwort ja. Es ist $\frac{f(n)}{g(n)} < 1$ für alle hinreichend große $n$ oder äquivalent $f(n) < g(n)$. Wenn man $n \to \infty$ betrachtet, folgt aus $\lim_{n \to \infty} f(n) = \infty$ auch $\lim_{n \to \infty} g(n) = \infty$.\(\endgroup\)


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Informatik-Rentner
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-16

Danke für die Antwort. Ich habe eine Funktion logisch abgeleitet, die das augenscheinlich erfüllt. Wenn diese Funktion akzeptiert würde, wäre das Problem der Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlenzwillinge also gelöst? Anbei die berechneten Funktionswerte, wobei ich keine größeren Werte im OEIS gefunden habe. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44137_Pzwillinge.jpg


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-16

\quoteon(2022-09-16 12:50 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 2) [...], die das augenscheinlich erfüllt. \quoteoff Das ist natürlich kein Argument.


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Informatik-Rentner
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

? Die Tabelle ist kein Argument oder wie darf ich die Antwort verstehen? Klar, dass die Tabelle keine Argument ist, aber wenn ich die Funktion hier hereinschreibe und die Ableitung wie sie zustande kommt, akzeptiert würde, dann wäre es ok oder?


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Informatik-Rentner
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-19

Hier mein Ansatz, ich bitte freundlichst um Hinweise, wo ich einen Gedankenfehler gemacht haben könnte. Dank im Voraus: Der Nachweis erfolgt durch die Definition einer asymptotisch langsamer als die Primzahlenzwillingsfunktion wachsenden Funktion f. Die Anzahl der Primzahlen π(n) <= n kann man mit der Funktion n / ln(n) berechnen, präziser mit dem Integrallogarithmus Li. Aber auch aus der Anzahl der Teiler bis zu einer Zahl n kann man auf die Anzahl der Primzahlen schließen: n / ln(n) = n/e^(ln(ln(n)) (ist asymptotisch äquivalent zu π(n) Die Anzahl der Teiler bis zu einer Zahl x berechnet sich nach Gauß mit ln(ln(x)) + M (= Meissel-Mertens-Konstante). Nach dem Satz von Euler über die Summation der Kehrwerte der Primzahlen gilt (Satz von Euler (Primzahlen) – Wikipedia): "Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus ln(ln(n))“. Visualisierung: Der Primteiler pi teilt alle Zahlen n mod pi =0 weg (für alle pi < n) bis auf das erste Vorkommen von pi. Als nächstes berechnen wir die Anzahl der Zahlen k vom Typ 6*i (i= 1..n/6) für die gilt: k mod pi != 1 und k mod pi != pi -1 für alle k = 6..n, pi = 5..pn (I) Für alle diese Zahlen k gilt: k-1 und k+1 sind ein Primzahlenzwilling. Um die Anzahl der Teiler für diese Zahlen zu berechnen, benötigen wir die Hilfe des Dirichletschen Primzahlensatzes (siehe Wikipedia): „Gemäß dem Dirichletschen Primzahlensatz gilt, dass es in jeder primen Restklasse modulo m in einem gewissen Sinn gleich viele Primzahlen gibt“. Das kann man auch wie folgt umformulieren: Satz S1: ein Primteiler p kann maximal π (n) / (p-1) Primzahlen treffen/markieren Anmerkung: es gibt p Restklassen, also sind in jeder Restklasse maximal π (n) / (p-1) Primzahlen. p-1, weil bei i mod p = 0 natürlich keine Primzahl getroffen wird. Mit dieser Aussage können wir die Summe der Teiler berechnen: Wir betrachten nur die 6*i-Zahlen (kein Teiler 2 und 3) und dementsprechend berechnen wir die Summe der Teiler mit https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44137_pzwill3.jpg Inzwischen kann ich sogar noch einen alternativen Beweis liefern, der den obigen Ansatz auf einem etwas anderen Weg bestätigt. Bei Interesse pn.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

Ich dachte, der Beweis wäre simpel nachzuvollziehen, aber das scheint nicht der Fall zu sein. Jedenfalls ist nach mehr als einer Woche noch kein einziger Kommentar abgegeben worden, was atypisch für dieses Forum ist. Oder findet man einfach keine Worte, dass es richtig ist? Keine Reaktion, das ist etwas frustrierend ...


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Ixx
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-28

\quoteon(2022-09-19 10:27 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 5) Die Anzahl der Primzahlen π(n) <= n kann man mit der Funktion n / ln(n) berechnen, präziser mit dem Integrallogarithmus Li. \quoteoff Nein. Das einzige, was man kann, ist, gewisse Abschätzungen an die Primzahlzählfunktion machen. Tatsächlich ist der Fehlerterm immer mindestens O(Wurzel(n)), selbst wenn die Riemannsche Vermutung erfüllt ist. Der Ansatz krankt daran, dass man annimmt, dass Aussagen, die assymptotisch für Durchschnitte gelten, für konkrete Zahlen erfüllt wären. Dies ist aber natürlich völlig unklar bzw. Falsch. So ist z.B. nach dem Primzahlsatz eine zufällig gewählte natürliche Zahl der Größenordnung N mit a-priori-Wahrscheinlichkeit 1/ln(N) eine Primzahl. Schaut man sich aber eine konkrete natürliche Zahl an, dann ist diese entweder sicher eine Primzahl, oder eben sicher nicht. Die Heuristik, die hier verfolgt wird, deutet stark darauf hin, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Die genaue Verteilungsfunktion gibt auch die Primzahl-k-Tupel-Vermutung von Hardy und Littlewood vom Anfang des 20. Jahrhunderts an. Allerdings ist dies eben noch kein Beweis. Das beste, was man bisher weiß, ist, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen p


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pzktupel
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-09-28

@Ixx Sollte es nicht q-p >= 146 heißen ? Bei <= sind ja Zwillinge mit eingeschlossen....


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Informatik-Rentner
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-28

Zuerst einmal danke für die Antwort auch wenn sie leider nicht konkret auf einen Fehler hinweist, sondern nur den allgemeiner Art ist bzw. auf den aktuellen Stand hinweist. Nur weil ich Zahlen angefügt habe, soll der Beweis nicht gelten? Dann vergiss doch bitte die Zahlen. Die Aussage von Kezer oben ist: "Soweit ich deine Frage verstehe, lautet die Antwort ja. Es ist f(n)/g(n)<1 für alle hinreichend große n oder äquivalent f(n)


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Ixx
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-09-29

Deine Fehlannahme ist konkreter, dass du verwenden willst, dass die Restklassen, in welche eine natürliche Zahl modulo verschiedener Primzahlen $p_i$ fällt, unabhängig voneinander wären. Wenn $P$ eine Menge von natürlichen Zahlen ist, modulo derer man untersuchen will, wie eine natürliche Zahl aus dem Intervall [1; N] in die verschiedenen Restklassen modulo der Elemente von $P$ fällt, dann gilt hier die Annahme der Unabhängigkeit nur, wenn $N$ Vielfaches vom kgV(P) ist. Ist $P$ endlich, so existiert dieses kgV auch; und man kann weiter sagen, dass, sollte $N$ kein Vielfaches dieses Werts sein, der Fehlerterm, den man sich einhandelt, für $N\rightarrow \infty$ zumindest gegen Null geht. Insofern ist die Annahme der Unabhängigkeit der Restklassen modulo einer endlichen Anzahl von Primzahlen $p_i$ in diesem Fall zumindest näherungsweise gerechtfertigt; eine genaue Analyse der Fehlerterme wird dann zeigen, dass man den Fehler, den man sich hier einhandelt, kontrollieren und ggf. als genügend klein abschätzen kann. Du jedoch willst nicht eine endliche Menge $P$ solcher Moduln untersuchen, sondern eine unendliche: Um zu kontrollieren, ob eine nat. Zahl der Größenordnung N Primzahl ist, oder nicht, musst du alle potentiellen Primteiler bis zur Größenordnung $\sqrt{N}$ betrachten, was natürlich mit $N$ selbst gegen unendlich geht. Insbesondere ist also deine Menge $P$ nicht endlich und die Annahme, dass die Kongruenzen modulo der einzelnen Primzahlen unabhängig voneinander wären, sodass du einfach entsprechende Produkte zu Berechnung der a-priori-Wahrscheinlichkeit, dass eine nat. Zahl $p$ Primzahl ist, unter der Voraussetzung, dass es $p-2$ auch ist, (bzw. äquivalent die Anzahl solcher in einem bestimmten Intervall), bilden könntest, falsch bzw. nicht gerechtfertigt. Noch einmal: Deine Überlegungen stellen eine vernünftige Heuristik, aber keinen Beweis dar, da sie voraussetzen, dass sich die natürlichen Zahlen in einem gewissen Sinne als "gutartig" verhalten, dass also jeweils alle Kongruenzen, auch im Fall, dass man ein System mit immer mehr solchen betrachtet, unabhängig voneinander sind. Diese Annahme ist aber nicht gezeigt (und in dieser Allgemeinheit auch falsch). Übrigens: Allein mit dem Primzahlsatz kann man die Primzahlzwillingsvermutung nicht beweisen, weil man leicht Mengen natürlicher Zahlen angeben kann, die der gleichen asymptotischen Verteilung wie die Primzahlen folgen, für die aber die entsprechende Zwillingsvermutung falsch ist. Es müssen also weitere Eigenschaften der Primzahlen in den Beweis der Primzahlzwillingsvermutung (sofern sie richtig ist) einfließen... @pzktupel: Einerseits muss ich mich korrigieren und den Zahlenwert auf 246 erhöhen. Andererseits stimmt aber das Vorzeichen: Die Primzahlzwillingsvermutung kann man ja auch in der Form formulieren, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen $p


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-09-29

\quoteon(2022-09-28 13:27 - pzktupel in Beitrag No. 8) @Ixx Sollte es nicht q-p >= 146 heißen ? Bei <= sind ja Zwillinge mit eingeschlossen.... \quoteoff Bestimmt nicht. Dass es unendlich viele Primzahlpaare mit \(q-p\geq146\) gibt, kann sogar ich beweisen.


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pzktupel
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-09-29

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Informatik-Rentner
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-29

Danke Ixx für deine Kommentare. Ich habe dazu eine Anmerkung/Verständnisfrage: zum Absatz "Deine Fehlannahme ist konkreter, dass du verwenden willst, dass die Restklassen, in welche eine natürliche Zahl modulo verschiedener Primzahlen pi fällt, unabhängig voneinander wären" Nein, ich nutze die durch die Primzahlen definierte Restklassenabhängigkeit der Zahlen, so wie sie durch den Primzahlensatz definiert sind. Ich betrachte doch immer ein konkretes n, das immer größer wird und für alle n kann ich die Anzahl der Pzwillinge gemäß Funktion (ungefähr) berechnen (und die Funktionswerte streben gegen unendlich). Ich drücke mich vielleicht mathematisch etwas mangelhaft aus und versuche deshalb den dargestellten Gedankengang zu erklären. Prinzipiell betrachte ich einen Array mit beliebigem Inhalt (nicht unbedingt Primzahlen) und arbeite nur mit den Indizes des Arrays. Und egal in welchem Primzahlenraster/-Sieb ich die Arrayfelder markiere, es bleiben (ungefähr) n/ln(n) Felder unmarkiert (auf jeden Fall, wenn ich die Primteiler auf dem Indix in der natürlichen Reihenfolge anwende). Wenn ich nun dasselbe Verfahren nochmal anwende (man beachte, dass man mit allen Primteilern nicht die identische Restklasse treffen kann, da der Zwilling um 2 größer ist und deshalb mod pi verschieden ist), dann kann der Primteiler pi maximal π (n)/pi-1 markierte Indizes markieren, weil die Restklasse mod pi=0 keine Primzahl enthalten kann (er kann also nicht π (n)/pi Indizes markieren). Und diese Anzahl der jetzt markierten Indizes addiere ich hinzu: Summe 1/pi-1 . Damit habe ich dann die Gesamtsumme der Teiler (ln(ln(n)) + ln(ln(n)) -d) und kann daraus die (ungefähre) Gesamtanzahl der markierten Arrayfelder berechnen. Und diese Zahl steigt mit wachsendem n. Was soll an diesem Ansatz falsch sein?


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Ixx
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-09-30

Langsam wird es müßig... \quoteon(2022-09-29 20:11 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 13) Nein, ich nutze die durch die Primzahlen definierte Restklassenabhängigkeit der Zahlen, so wie sie durch den Primzahlensatz definiert sind. \quoteoff Der Primzahlsatz definiert gar nichts, sondern ist eine Eigenschaft der Primzahlen. Deine Idee lässt sich in etwa auch so formulieren: Nach dem Primzahlsatz istfür eine nat. Zahl n der Größenordnung N die a-prior-Wahrscheinlichkeit, Primzahl zu sein, 1/ln(N). (Bis auf einen konstanten Faktor erhält man den gleichen Wert durch die Überlegung, dass für n und alle Primzahlen $p<\sqrt{N}$ jeweils eine Restklasse verboten ist, da ja n nicht durch p teilbar sein darf, aus dem Mertens-Produkt $\prod_{p<\sqrt{N}} \left(1-\frac{1}{p}\right) \sim \frac{1}{\ln N}$.) Dies trifft prinzipiell auch auf n+2 zu. Allerdings wissen wir, dass, wenn n Primzahl und p


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Informatik-Rentner
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-30

Danke für deine Hinweise. Ja, die Überlegungen sind elementar und ich verstehe auch deine Einstellung "was kann ein Rentner schon gegenüber der Mathe-Creme-de-la-Creme für Ideen haben". Deshalb bin ich umso dankbarer, dass du so ausführlich geantwortet hast, auch wenn ich das nicht als Heuristik sehe. Ich schließe das Thema erstmal und beschäftige mich mit der Unabhängigkeit der verschiedenen Restklassen-Betrachtungen, die im Allgemeinen aber nicht gegeben sein soll.


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Informatik-Rentner
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

also der Hinweis mit den Restklassen hat mir geholfen, das Thema zu überdenken. Ich kann jetzt die Unabhängigkeit nachweisen. Und sogar eine asymptotische Äquivalenz statt Minorante. Danke für die Hinweise. Mein Metagedanke an mich "scheinbar sind die klügsten Köpfe der Mathematik doch nicht so klug". Muss doch vielleicht mal versuchen, die Lösung als Doktorarbeit einzureichen..


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
StrgAltEntf
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-10-04

\quoteon(2022-10-04 11:32 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 16) Muss doch vielleicht mal versuchen, die Lösung als Doktorarbeit einzureichen.. \quoteoff Dann mal viel Erfolg bei der Suche nach einem Doktorvater. Aber vielleicht siehst du dir vorher noch mal diesen Film von Edmund Weitz an, der hier auch schon an anderer Stelle verlinkt ist.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-10-04

\quoteon(2022-10-04 11:32 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 16) Mein Metagedanke an mich "scheinbar sind die klügsten Köpfe der Mathematik doch nicht so klug". \quoteoff Jemand, der die "klügsten Köpfe der Mathematik" mit seiner angeblichen Klugheit zu überflügeln glaubt, sollte es gar nie nötig haben in einem Internetforum nach Antworten bzw. Bestätigung zu fragen. Nur ein weiterer "Metagedanke" für dich, auch wenn er dir vielleicht nicht so gefällt. Grüße, PhysikRabe P.S.: \quoteon(2022-10-04 11:32 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 16) Muss doch vielleicht mal versuchen, die Lösung als Doktorarbeit einzureichen.. \quoteoff Das wäre gar nicht nötig. Ein viel einfacherer erster Schritt wäre die Einreichung an ein anerkanntes, peer-reviewed Journal. Wenn deine Arbeit diese Feuerprobe übersteht (worauf ich mich aber an deiner Stelle nicht zu sehr verlassen würde), kann man hoffen, dass sie tatsächlich Substanz hat. Übrigens wird dadurch eine spätere Verwendung als Doktorarbeit nicht ausgeschlossen.


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pzktupel
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-10-16

Ich möchte hier auch noch einen Gedanken ( kein Beweis ) einwerfen, das dies erstmal so dasteht.... Unabhängig von anderen Ausführungen bin ich mal auf folgendes gestoßen.... Will man ein primes k-tuplel finden und hat nach einer Siebtiefe N noch x Kandidaten übrig, dann gilt offenbar folgendes... Siebt man weiter bis zu einer Tiefe von M bei k-Bedingungen, dann sind bis M noch y = x * [ log(N)/log(M) ]^k Kandidaten über. Für Zwillinge ist k=2. Betrachtet man nun allein ein Intervall 10^m und 10^(m+1), gibt es eine obere Siebtiefe mit [10^(m+1)]^0.5. Würden die Zwillinge sich erschöpfen, bedeutet dies, das y auf glatt Null fallen würde, egal was m ist und Siebtiefe x. Es reicht ja quasi eine Siebtiefe von N=2 und es bleiben x = (10^(m+1))/2 über...was dann zu Null abfallen müsste, was nicht vorliegen kann, da y > 0. Man könnte auch so argumentieren...würde man y=0 erzwingen, wäre die Siebtiefe höher als die maximal nötige Tiefe von 10^(m+1)^0.5...was zum Widerspruch führen würde. Bsp. Intervall 100000, 1000000 Siebtiefe 2: x=450000 Siebtiefe 1000: y=450000 * (log(2)/log(1000)^2 = 4531 ; y>0, Zwillinge vorhanden. y<1 erzwungen: Siebtiefe 7,25e212 ! Widerspruch.


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Ixx
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-10-16

Moin pzktupel, deine Beobachtungen sind konsistent mit dem Primzahlsatz bzw. sind das, was man erwarten würde, wenn die Reste modulo beliebig vieler teilerfremder Module jeweils unabhängig wären. Das läuft auf eine ähnliche Heuristik hinaus, wie sie hier schon beschrieben wurde. Einen Beweis stellt es aber natürlich nicht dar, was du ja auch nicht behauptet hast. Um mal ein Gegenbeispiel zu zeigen, dass man nicht allein aus der Dichte-Information der Primzahlen die Primzahlzwillingsvermutung beweisen kann: Sei $P:=\left\{n\in\mathbb{N}\mid \lfloor\frac{n}{2}\rfloor \text{ ist prim}\right\}$. Dann enthält $P$ offenbar $2\pi(x/2)$ Elemente, die $\leq x$ sind, was asymptotisch gleich $\pi(x)$ ist. Insbesondere besitzen die Menge der Primzahlen und $P$ asymptotisch gleiche Verteilungen. Offensichtlich aber gibt es aber in $P$ außer den Paaren 4 und 6 sowie 5 und 7 keine zwei Elemente im Abstand 2, da sich in solchen Paaren die Werte der abgerundeten Hälften ja um jeweils genau 1 unterscheiden und es außer 2 und 3 keine zwei direkt aufeinanderfolgenden Primzahlen gibt. Also gilt hier die entsprechende Zwillingsvermutung nicht.


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