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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * Primsummenquadrate
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Kein bestimmter Bereich * Primsummenquadrate
querin
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Dabei seit: 12.01.2018
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  Themenstart: 2022-09-17

Ein Primsummenquadrat ist ein schachbrettartiges $n\times n$ Quadrat, auf dessen Feldern die Zahlen von $1$ bis $n^2$ verteilt werden. Alle Zeilen- und Spaltensummen sowie die beiden Diagonalsummen müssen paarweise verschiedene Primzahlen sein (insgesamt also $2n+2$ Primzahlen). Ein Primsummenquadrat ist also in gewisser Weise das Gegenteil eines magischen Quadrats, bei dem ja alle Summen gleich sein müssen. Gesucht sind Primsummenquadrate in Schachbrettgröße, also $8\times 8$, mit möglichst großer maximaler Summe. Auch kleinere (oder größere?) Primsummenquadrate können gerne hier gepostet werden. Viel Spaß 🙂


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gonz
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-18

Danke für die neue Herausforderung! Für 3x3 scheint es keine Lösung zu geben... * weiterknobeln


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Kay_S
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-18

Hier eine Lösung mit 479 als maximaler Primsumme: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/17348_Primsummenquadrat.png Manuell mit Excel gefunden.


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querin
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

Die erste Goldmedaille geht an Kay_S, herzlichen Glückwunsch! 👍 479 ist die maximal erreichbare prime Summe. In meiner Musterlösung treten zum Teil andere Primzahlen (und natürlich 479) auf, es sind also noch weitere Goldmedaillen zu vergeben. Aber auch Primsummenquadrate mit kleineren Primzahlen sind möglich und interessant und erhalten eine Silbermedaille 🙂 @Kay_S: wie prüfst Du in Excel, ob die Summen prim sind? Könnte vielleicht ein Tipp für andere Knobler sein. @gonz: Ja, 3x3 sollte unlösbar sein. Aber für 4x4 bis 8x8 gibt es Lösungen mit der größten theoretisch möglichen Summe. In der Literatur sind solche Quadrate unter dem Namen "Heterosquare" (siehe https://mathworld.wolfram.com/Heterosquare.html) bekannt. Die Zusatzforderung "prim" habe ich sonst noch nicht gesehen.


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pzktupel
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-09-18

Glückwunsch ! 👍


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juergenX
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-19

gelooescht


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cramilu
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-09-19

@Kay_S: Steinstark! 😮 Für \(3×3\) (\(n=3\)) geht es tatsächlich beweisbar nicht, denn es sind \(n^2=9\) Quadratelemente \(q_{ij}\) von \(1\) bis \(n^2=9\) zu verteilen, die kleinste prime Kolonnensumme aus verschiedenen \(q_{ij}\) beträgt \(1+2+4=7\) , die größte \(9+8+6=23\) , und es gibt \(2n+2=6+2=8\) verschiedene Kolonnensummen, wobei \(\vert\{7,11,13,17,19,23\}\vert=6<8\) . Also stehen nicht genügend verschiedene Primzahlsummen zur Verfügung. Es scheint sogar, dass es da überhaupt nicht möglich ist, alle acht Kolonnensummen prim hinzubekommen... Allgemein sind stets je Zeile, Spalte und Diagonale eine ungerade Anzahl ungerader Quadratelemente notwendig. Mit den kleinen \(4×4\) und \(5×5\) habe ich mich während meiner sonntäglichen Web-Abstinenz bereits beschäftigt - leider noch nicht ganz erfolgreich: Vielleicht jedoch taugt es zur Fremdvervollkommnung. @querin: Wieder eine nette Idee von Dir! 😉


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Kay_S
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-19

\quoteon(2022-09-18 20:17 - querin in Beitrag No. 3) @Kay_S: wie prüfst Du in Excel, ob die Summen prim sind? Könnte vielleicht ein Tipp für andere Knobler sein. \quoteoff Ich habe mir eine Primzahlliste danebengelegt ^^ (irgendwann kannte ich die infrage kommenden Primzahlen auswendig). Bei den kleineren Quadraten besteht die Schwierigkeit vermutlich darin, dass man zu wenige Primzahlen zur Wahl hat.


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juergenX
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-09-19

\quoteon(2022-09-19 08:29 - cramilu in Beitrag No. 6) @Kay_S: Steinstark! 😮 Allgemein sind stets je Zeile, Spalte und Diagonale eine ungerade Anzahl ungerader Quadratelemente notwendig. Vielleicht jedoch taugt es zur Fremdvervollkommnung. @querin: Wieder eine nette Idee von Dir! 😉 \quoteoff Jo, habe die halbe Nacht dran gesessen gg. und kam zu so was wie oben links für 4: \sourceon nameDerSprache | 14 16 10 13 | 43 | 12 15 9 11 | 47 | 10 8 7 4 | 29 | 1 2 5 3 | 11 31 -------------- 37 | 37 41 31 31 | \sourceoff Leider 3 mal 31 und 2 mal 41. Durch permutieren einer oder mehrerer Zeilen kommt man vielleicht auf was richtiges? Jede Zeile kann ja auf 24 Arten geschrieben werden ohne die Liniensummen zu beeinflussen. Nur gerade oder ungerade zu vertauschen schränkt den Algorithmus ein.


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-09-19

Hallo zusammen, wer eine Primzahlcheck-Funktion in Excel braucht, kann sich dieses beiden kleinen Makros in VBA einbinden, die ich mir eben aus dem Kopf gedrückt habe. Anscheinend gab es da noch nix in Excel. \sourceon VB \numberson Option Explicit Public Function IsPrime(ByVal n As Long) As Boolean Dim Sqrtn As Double, k As Long If n < 4 Then IsPrime = True: Exit Function IsPrime = (n = NextPrime(n - 1)) End Function Public Function NextPrime(ByVal n As Long) As Long Dim Sqrtn As Double, k As Long If n < 3 Then NextPrime = n + 1: Exit Function If n Mod 2 = 0 Then n = n - 1 Do n = n + 2 k = 2 Sqrtn = Sqr(n) Do While n Mod k > 0 And k <= Sqrtn k = NextPrime(k) Loop Loop Until n Mod k > 0 NextPrime = n End Function \sourceoff "NextPrime" bestimmt rekursiv die nächstgrößere Primzahl, ausgehend von einem Argument $n$. Die Funktion "IsPrime" macht sich das zunutze, um zu checken, ob das Argument prim ist. Bei einem $n\approx 10^9$ bemerkt man ein kurzes Zögern des Rechners, eine genaue Geschwindigkeitsmessung habe ich nicht gemacht. Für diese Zwecke sollte es ausreichen. 🙂 @Jürgen: In Deinem Quadrat kommt zweimal 10 vor, aber keine 6. Die Diagonale von links oben nach rechts unten ist 39, nicht 37. Ciao, Thomas


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MontyPythagoras
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Wohnort: Werne
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-09-19

... da Excel sowieso keine Ganzzahlen größer 2147483647 beherrscht, tut es hier allerdings auch die brachial einfache Variante, und das in diesem Zahlenbereich auch noch deutlich schneller: \sourceon VB \numberson Public Function IsPrime(ByVal n As Long) As Boolean Dim Sqrtn As Double, k As Long If n < 4 Then IsPrime = True: Exit Function If n Mod 2 = 0 Then IsPrime = False: Exit Function Sqrtn = Sqr(n) k = 3 Do While k <= Sqrtn If n Mod k = 0 Then IsPrime = False: Exit Function k = k + 2 Loop IsPrime = True End Function \sourceoff Ciao, Thomas


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pzktupel
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-09-19

Ich will auch mal einen bescheidenen Beitrag leisten. Mein kleines Programm findet wahrscheinlich alle Möglichkeiten für 4 x 4, ohne doppelt prim zu prüfen. Mir scheint, MINDESTENS ein Pärchen ist immer doppelt...insbesondere 37 \sourceon nameDerSprache gelöscht... \sourceoff Nachtrag: Doch, es gibt eine Lösung 🙂 \sourceon nameDerSprache |37 --------------- 01 07 03 08 |19 02 05 04 06 |17 11 16 12 14 |53 09 15 10 13 |47 --------------- 23 43 29 41 |31 Knaller, alle Primzahlen von 17 bis 53 in Folge einmal vertreten. ...hatte Fehler, könnte paar mehr geben, lasse nochmal anlaufen. \sourceoff


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cramilu
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-09-19

@pzktupel: Nicht schlecht, Herr Specht! 👍 Die substanziell gleiche Lösung hatte ich minimal nach Dir selber gefunden, nachdem ich mein Verteilungsmuster für die ungeraden Quadratelemente abgeändert hatte: @MontyPythagoras: Die konkrete GANZZAHL()-Schranke \(2147483647\) in EXCEL ist mir neu; ich hatte sie bislang lediglich auf den unteren zehnstelligen Bereich eingrenzen können, nachdem mir die Ad-Hoc-Prüfungen in meinen Modulo-Folgen-Tabellen schon unerwartet früh um die Ohren geflogen waren. Merci! 😉 EDIT Selbstkritik ist Pflicht! Ich Hirsch! 🙄 Dass \(2\,147\,483\,647\;=\;2^{31}\,-\,1\) , hätte ich als Informatiker mir schon längst selber zusammenreimen können. Danke, MontyPythagoras für den zarten privaten Hinweis!


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juergenX
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-09-19

\quoteon(2022-09-19 16:46 - MontyPythagoras in Beitrag No. 9) Hallo zusammen, wer eine Primzahlcheck-Funktion in Excel braucht, kann sich dieses beiden kleinen Makros in VBA einbinden, die ich mir eben aus dem Kopf gedrückt habe. Anscheinend gab es da noch nix in Excel. \sourceon VB \numberson Public Function IsPrime(ByVal n As Long) As Boolean Public Function NextPrime(ByVal n As Long) As Long \sourceoff @Jürgen: In Deinem Quadrat kommt zweimal 10 vor, aber keine 6. Die Diagonale von links oben nach rechts unten ist 39, nicht 37. Ciao, Thomas \quoteoff OOps danke!🙄 @pkztupel Die Lösung \sourceon nameDerSprache |37 --------------- 01 07 03 08 |19 02 05 04 06 |17 11 16 12 14 |53 09 15 10 13 |47 --------------- 23 43 29 41 |31 \sourceoff ist n Knaller, alle Primzahlen von 17 bis 53 in Folge sind echt einmal vertreten. Ich kann kein excel, arbeite in php. Für n = 4 haben wir 13 primsummen 7,..,53. von den wir 10 = 4+4+1+1 brauchen werden. Eine alternative Herangehnsweise wäre alle 4er Reihen zu schreiben die 11,13,17... erreichen und disjunkt sind. (a) 1,2,3,5 :11 13 ist mit dieser "11er-Vorgabe" nicht als Summe zu erreichen! Die nächste Primsumme unter Vorraussetzung von (a) ist erst wieder: 4,6,7,12 :29 Mit diesen beiden 1,2,3,5 :11 4,6,7,12 :29 werden wir also nicht weiterkommen... und 10 aus 13 Primsummen werden nicht zusammenkommen, weil wir 4 nicht nutzen können. 17 ist mit den Vorgaben auch nicht als Summe zu erreichen! Auf dieser Basis könnte man einen Try and Error Algorithm schreiben..


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querin
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-19

Oh, gleich zwei 4x4-Goldmedaillen 🙂 Gratulation an pzktupel 👍 und cramilu 👍 Meine Lösung war übrigens \sourceon | 37 -----------------+----- 14 16 12 11 | 53 6 5 4 2 | 17 8 7 3 1 | 19 15 13 10 9 | 47 -----------------+----- 43 41 29 23 | 31 \sourceoff @Kay_S: Respekt, die 81 Primzahlen von 37 bis 479 auswendig! Und man muss ja alle im Blick haben, es gibt auch eine 8x8 Lösung mit Summe 37. @MontyPythagoras: Das IsPrime Makro ist sehr praktisch. Das wird in personal.xlsb gespeichert, damit es in jeder Arbeitsmappe automatisch verfügbar ist. @juergenX: Bin gespannt welche Lösung Dein Algorithmus liefert.


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cramilu
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-09-20

Hier eine gepimpte Visual-Basic-Variante: \sourceon VB \numberson Public Function PRIMZAHL(ByVal Zahl As Long) As Boolean If Zahl = 2 Or Zahl = 3 Then PRIMZAHL = True: Exit Function If Zahl < 2 Or Zahl Mod 2 = 0 Or Zahl Mod 3 = 0 Then PRIMZAHL = False: Exit Function Dim Wurzel As Double, Pruefling As Long PRIMZAHL = True: Wurzel = Sqr(Zahl): Pruefling = 5 Do While Pruefling <= Wurzel If Zahl Mod Pruefling = 0 Then PRIMZAHL = False: Exit Function Pruefling = Pruefling + 2 Loop End Function \sourceoff Das sortiert zusätzlich alles aus, was kleiner ist als \(2\). Was die Performanz anbelangt, konnte MontyPythagoras ergründen, dass VBA wohl beim stumpfen Durchtesten auch nicht langsamer ist, als wenn man es noch fieseliger implementiert.


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pzktupel
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-09-20

Bin da anders heran. Habe alle 4er Zahlen, die prim als Summe sind, abgespeichert (10560 Stk) und mit denen nur gearbeitet...sind ja dann schon prim.


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-09-20

Hallo zusammen, \quoteon(2022-09-20 17:28 - cramilu in Beitrag No. 15) Hier eine gepimpte Visual-Basic-Variante: \quoteoff hier noch einmal ein wenig optimiert. Eine "For"-Schleife ist deutlich schneller als "While". Ich glaube, schneller wird es in VBA nicht, wenn man nicht eine Primzahltabelle anlegen möchte: \sourceon VB \numberson Public Function PRIMZAHL(ByVal Zahl As Long) As Boolean If Zahl = 2 Or Zahl = 3 Then PRIMZAHL = True: Exit Function If Zahl < 2 Or Zahl Mod 2 = 0 Then PRIMZAHL = False: Exit Function Dim Pruefling As Long For Pruefling = 3 To Int(Sqr(Zahl)) Step 2 If Zahl Mod Pruefling = 0 Then PRIMZAHL = False: Exit Function Next PRIMZAHL = True End Function \sourceoff Ciao, Thomas


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pzktupel
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-09-20

Primzahltabellen sind immer schneller, hier sowieso. Optimierung : Speichere alle relevanten Primzahlen unter P(I)=1, falls I prim Schau einfach , ob die Summe in P(Summe) mit 1 belegt ist.


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querin
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-20

Tipp für eine "silberne" 5x5-Lösung (ähnlich wie cramilu in Beitrag #6) \showon \sourceon | 59 --------------------+----- 20 * * * * | 67 * 25 * 10 * | 71 * * * * 15 | 97 * * 1 * * | 53 * * * 5 * | 37 --------------------+----- 79 83 29 73 61 | 101 \sourceoff \showoff


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querin
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-21

Auflösung: 5x5 bis 10x10 \sourceon 5x5 , p_max 113 | 67 --------------------+----- 22 23 24 25 19 | 113 11 13 18 20 21 | 83 1 14 9 6 17 | 47 4 16 10 8 15 | 53 3 5 12 2 7 | 29 --------------------+----- 41 71 73 61 79 | 59 6x6 , p_max 199 | 127 ------------------------+----- 32 33 34 35 36 29 | 199 26 10 21 20 5 15 | 97 11 13 12 28 22 3 | 89 18 27 16 9 23 14 | 107 7 30 25 1 6 2 | 71 19 24 31 8 17 4 | 103 ------------------------+----- 113 137 139 101 109 67 | 73 7x7 , p_max 317 | 197 ----------------------------+----- 44 45 46 47 48 49 38 | 317 10 42 28 32 19 23 37 | 191 2 26 15 41 43 22 24 | 173 36 40 27 34 9 6 5 | 157 11 14 30 7 29 13 35 | 139 20 25 18 21 12 16 39 | 151 4 31 3 17 33 8 1 | 97 ----------------------------+----- 127 223 167 199 193 137 179 | 181 8x8 , p_max 479 | 223 --------------------------------+----- 58 59 60 61 62 63 64 52 | 479 42 31 15 17 46 50 34 6 | 241 13 39 25 41 56 20 36 51 | 281 28 4 2 9 21 24 45 40 | 173 30 55 32 18 11 23 7 3 | 179 38 5 10 8 43 27 33 47 | 211 35 49 37 57 53 48 54 26 | 359 19 29 12 16 1 22 44 14 | 157 --------------------------------+----- 263 271 193 227 293 277 317 239 | 229 9x9 , p_max 691 | 337 ------------------------------------+----- 74 75 76 77 78 79 80 81 71 | 691 73 40 55 64 70 29 54 21 15 | 421 72 10 19 17 66 36 18 11 34 | 283 31 22 26 7 39 5 60 68 59 | 317 53 23 58 20 46 41 69 30 27 | 367 14 57 37 50 44 4 2 16 3 | 227 1 67 51 35 28 56 12 9 48 | 307 42 62 24 61 32 38 49 8 43 | 359 13 63 33 52 6 65 45 25 47 | 349 ------------------------------------+----- 373 419 379 383 409 353 389 269 347 | 257 10x10 , p_max 953 | 449 ----------------------------------------+----- 92 93 94 95 96 97 98 99 100 89 | 953 14 68 86 52 17 59 67 91 49 74 | 577 75 83 46 50 70 64 51 37 10 61 | 547 48 85 43 87 56 82 7 34 40 5 | 487 31 58 15 30 53 16 21 9 22 38 | 293 66 80 33 71 57 3 8 24 42 55 | 439 65 2 81 79 28 29 36 32 27 84 | 463 73 41 23 18 25 35 20 44 90 4 | 373 60 47 72 78 63 69 77 54 76 11 | 607 45 62 6 39 26 13 12 19 1 88 | 311 ----------------------------------------+----- 569 619 499 599 491 467 397 443 457 509 | 593 \sourceoff


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haribo
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-10-23

1. versuch die grösste verwendete primsumme zu minimieren (hier 359) händisch mit excel, eine diagonale ist noch nicht prim, es erscheint mir einfacher als bei dem magischenquadrat mit seinen gleichen summen zu sein als prim-prüfung verwende ich "zählenwenn" in einem nachbarfeld mit einem referenzbereich in dem alle primzahlen zwischen 37 und 523 eingetragen sind https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_primsum-min.PNG ob man 317 oder 313 erreichen könnte?


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querin
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-23

Hi haribo 🙂 es ist jedenfalls deutlich einfacher als magische Spiegelquadrate zu finden. Bei 8x8 ist sogar 311 als minimale größte Primsumme möglich!


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haribo
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-10-23

Am besten wäre wohl man baut die beiden kleinstmöglichen summen in die diagonalen, denn die gesamtsumme aller 16 anderen summen bleibt sich ja immer gleich Und genau diese summe der beiden kleinstmöglichen zu ermitteln ist allein schon nicht ohne


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haribo
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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-10-23

\quoteon(2022-10-23 11:27 - querin in Beitrag No. 22) Hi haribo 🙂 es ist jedenfalls deutlich einfacher als magische Spiegelquadrate zu finden. Bei 8x8 ist sogar 311 als minimale größte Primsumme möglich! \quoteoff händisch die min lösung mit 311 ist schwierig, ich hab eine beinahe lösung für 313 mit immerhin der kleinstmöglichen diagonalsumme, weil in beiden diagonalen zusammen alle zahlen von 1-16 enthalten sind, (im sinne von kleinste gesamtsumme aller 18 summen) aber ich habe noch zwei doppelte 239/269 da müsste ich z.B. einmal 241 und das andere 267 hinbekommen, problem die 241 ist schon vergeben... https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_primsum-min2.png


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querin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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