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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Mengenlehre mit 3 Mengen
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Universität/Hochschule Mengenlehre mit 3 Mengen
Math_user
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 629
Wohnort: Deutschland
  Themenstart: 2022-09-20 18:13

Guten Abend zusammen Ich stecke gerade an einer scheinbar einfachen Aussage fest.. Beweisen möchte ich folgendes: Für beliebige Mengen $A,B,C$ gilt, falls $A \cup B= A \cup C$ und $A \cap B = A \cap C$, dann haben wir $B \subseteq C$. Meine Ansätze/Ideen waren folgende: - Wir haben einerseits, dass $A \cap B \subseteq A \cup B$ - Weiter gilt: $A \cap B \subseteq B$ and $B \subseteq A \cup B$ Ich übersehe jedoch, wie ich diese Informationen zusammenfügen muss für das gewünschte Resultat. Könnt ihr mir weiterhelfen? Vielen Dank! Viele Grüsse Math_user


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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1815
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-20 18:29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Tipp: Es gilt $A \cup B = (A \setminus (A \cap B)) \sqcup B$ (und ein ähnliches Resultat für $A \cup C$). Hierbei steht $\sqcup$ für disjunkte Vereinigung.\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-20 18:30

Hallo Math_user, versuche einen Widerspruchsbeweis, angenommen \(x \in B\) und \(x \notin C\). Was folgt dann? lg Wladimir [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Diophant
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Mitteilungen: 9653
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-20 18:32

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, noch ein Zusatz: bist du sicher, dass hier nicht sogar die Gleichheit \(B=C\) gezeigt werden soll? Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Mengenlehre' von Diophant]\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-09-21 22:20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Tipp: Man braucht hier eigentlich im wesentlichen nur die Absorbtionsgesetze: $(X \cap Y) \cup Y = Y$ und $(X \cup Y) \cap Y = Y$, und Distributivität von $\cap$ über $\cup$ (oder umgekehrt). D.h. folgendes lässt sich straigh-forward ausfüllen: $\begin{array}{rclll} B &=& (A \cup B) \cap B&\text{Absorption} \\&=& (A \cup C) \cap B&\text{Annahme} \\&=& ... \\&=& (A \cup B) \cap C&\text{...} \\&=& (A \cup C) \cap C&\text{Annahme} \\&=& C & \text{Absorption} \end{array}$ \(\endgroup\)


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luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 747
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-22 12:04

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin, oder so: Sei $x\in B$. Zu zeigen ist $x\in C$. Unterscheide $x\in A$ und $x\notin A$. Der Hinweis von Kezer koennte helfen ... vg Luis\(\endgroup\)


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tactac
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Mitteilungen: 2552
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-09-23 00:10

Mein Vorschlag ist übrigens der portabelste, da er konstruktiv ist und nicht auf klassische Logik angewiesen. Er funktioniert in distributiven Verbänden, in allen Topoi, ...


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