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Analysis » Integration » Integrierbarkeit
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Universität/Hochschule Integrierbarkeit
Lau
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  Themenstart: 2022-09-22 22:12

Guten Abend Ich habe gerade diese Aufgabe vor mir und komme nicht weiter. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55851_32.PNG wäre über Ansätze wirklich sehr dankbar.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-22 22:30

Hallo, wie wäre es, wenn du zum Beispiel mit Ober- und Untersummen bzw., je nach eurem konkreten Zugang, mit Ober- und Unterintegral arbeitest? Übrigens wäre es generell zielführend, wenn du ein bisschen ausführst, was du dir bisher überlegt hast oder an welcher Stelle du nicht weiter kommst. Nicht weiterkommen heißt ja, dass man sich etwas überlegt hat und mit der Überlegung nicht vorankommt. Was sind deine Überlegungen? LG Nico [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von nzimme10]


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Lau
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26 20:19

Hallo, ich komme schon bei der Berechnung der Ober- bzw. Untersumme nicht weiter. Ich weiß nicht welche Zerlegung ich dafür wählen soll. Und auch das Supremum/Infimum der Funktionswerte auf den Teilintervallen der Zerlegung kenne ich nicht. Liebe Grüße


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-26 20:36

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Kennst du denn ein Kriterium für Integrierbarkeit, das mit Ober- und Untersummen zu tun hat? In etwa: $f$ ist genau dann integrierbar, wenn es zu jedem $\varepsilon>0$ eine Zerlegung $Z$ von $[0,1]$ gibt, so dass $$ O(Z,f)-U(Z,f)<\varepsilon $$ gilt. Dann könnte man mal ein $\varepsilon>0$ vorgeben. Nach Voraussetzung gibt es nun höchstens endlich viele $x_1,\dots,x_{r-1}\in [0,1]$ mit $f(x_j)>\varepsilon$. O.B.d.A. gelte $$ 0\leq x_1\(\endgroup\)


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Lau
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26 21:11

Danke für die schnelle Antwort. Die Ober-/Untersumme der Zerlegung wären dann: $OS(f,Z)=\sum_{i=0}^r (x_{i-1}-x_{i}) sup\{f(x):x\in[x_{i-1},x_{i}]\}$ $US(f,Z)=\sum_{i=0}^r (x_{i-1}-x_{i}) inf\{f(x):x\in[x_{i-1},x_{i}]\}$ Dafür finde ich folgende Abschätzung: $0 = inf\{f(x):x\in[x_{i-1},x_{i}]\}$ Da in jedem Teilintervall unendlich viele reelle Zahlen liegen, es aber nur endlich viele x aus [0,1] gibt so dass f(x)>0 gilt. Also gilt US(f,Z)=0 für jede Zerlegung von [0,1]. Ist es bis hierhin richtig? Wie kann ich die Obersumme abschätzen?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Mandelbluete
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-30 05:39

Huhu! 🙂 Es geht also um das Riemann-Integral. Sei $\varepsilon > 0$, und seien $0 \leq x_1 < \cdots < x_n \leq 1$ die endlich vielen Stellen mit $f(x_i) > \varepsilon$. Wir können eine Treppenfunktion $\psi$ auf $[0,1]$ folgendermaßen definieren: auf den offenen Intervallen $]x_{i-1},x_i[$ sei $\psi$ konstant gleich $\varepsilon$, und es sei $\psi(x_i) = f(x_i)$. Auf diese endlich vielen Stellen kommt es gar nicht an; da sind die Werte der Treppenfunktion beliebig wählbar. Dann gilt \[ 0 \leq f \leq \psi. \] Auch $0$ ist eine Treppenfunktion, und man hat \[ \int_0^1 \psi(x) \, \mathrm{d}x - \int_0^1 0 \, \mathrm{d}x \leq \varepsilon. \] Also ist $f$ per definitionem integrierbar im Riemannschen Sinne, und es folgt (durch die Monotonie des Integrals) auch sofort $\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x = 0$.


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