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Universität/Hochschule J Cayley-Graphen und Gruppen
Phi_28
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  Themenstart: 2022-09-24

Es sei $\Gamma(G,S)$ ein Cayleygraph der Gruppe $G$ dabei sind die Ecken des Graphen genau die Gruppenelemente $g \in G$. $S$ ist eine symmetrische Teilmenge von $G$, also wenn $s \in S$ ist, ist auch $s^{-1} \in S$. Die Cayley graphen besitzen eine Automorphismengruppe die nicht nur aus dem trivialen Automorphimus besteht (zu dieser Aussage würde ich gerne einen Beweis haben, habe aber absolut nichts dazu in Lehrbüchern gefunden, außerdem bin ich verwirrt und weiß nicht wie die Elemente der Gruppe überhaupt aussehen, da scheinbar auch die Gruppe $G$ selbst eine Untergruppe der Automporphismengruppe der Cayley Graphen ist, aber wie kann $G$ eine Untergruppe von einer Automorphismengruppe sein, wenn $G$ gar keine Abbildungen als Elemente hat ?)


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Phi_28
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

Also nach dem Satz von Cayley kann ich mit jedem $a \in G$ eine bijektive Abbildung $\phi: G \rightarrow G, g \mapsto ag$ induzieren. Außerdem ist jede Gruppe isomorph zu einer Untergruppe aus $S_n$. Ich kann außerdem einen Automorphismus eines Cayley- Graphen mi einer Permutation $\pi: G \rightarrow G, (1,...,n) \mapsto P(1,...,n)^{\mathrm{T}}$ wobei $P$ eine Permutationsmatrix mit $P^{\mathrm{T}}AP = A$ und $A$ die Adjazenzmatrix des Cayley- Graphen ist ausdrücken.


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Kezer
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) \quoteon(2022-09-24 07:50 - Phi_28 im Themenstart) Es sei $\Gamma(G,S)$ ein Cayleygraph der Gruppe $G$ dabei sind die Ecken des Graphen genau die Gruppenelemente $g \in G$. $S$ ist eine symmetrische Teilmenge von $G$, also wenn $s \in S$ ist, ist auch $s^{-1} \in S$. Die Cayley graphen besitzen eine Automorphismengruppe die nicht nur aus dem trivialen Automorphimus besteht \quoteoff Das kann so nicht stimmen, denn für die triviale Gruppe erhält man einen trivialen Graphen, welche eine triviale Automorphismusgruppe hat. \quoteon(2022-09-24 07:50 - Phi_28 im Themenstart) [...] da scheinbar auch die Gruppe $G$ selbst eine Untergruppe der Automporphismengruppe der Cayley Graphen ist, aber wie kann $G$ eine Untergruppe von einer Automorphismengruppe sein, wenn $G$ gar keine Abbildungen als Elemente hat ?) \quoteoff Gemeint ist nicht, dass $G$ wortwörtlich eine Untergruppe ist, sondern, dass es eine Einbettung $G \hookrightarrow \operatorname{Aut}(\Gamma(G,S))$ gibt. D.h. $G$ ist isomorph zu einer Untergruppe dieser Automorphismusgruppe. In der Tat kann man $$G \to \operatorname{Aut}(\Gamma(G,S)), g \mapsto f_g$$ setzen, wobei $f_g(h) = gh$ für Knoten gelabelled durch $h \in G$. Du kannst nachprüfen, dass das ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Das beweist insbesondere deine Behauptung für nicht-triviale $G$.\(\endgroup\)


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Phi_28
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

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