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Mathematik » Stochastik und Statistik » Berechnung des bedingten Erwartungswerts E(X|X+Y).
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Universität/Hochschule J Berechnung des bedingten Erwartungswerts E(X|X+Y).
Strandkorb
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  Themenstart: 2022-09-26

Ich weiß, dass $X,Y$ zwei unabhängige Zufallsvariablen sind. Diese Zufallsvariablen haben die Gleichverteilung auf $\{1,\cdots,n\}$ mit $n\geq 2$. Nun betrachte ich $\Bbb{E}(X|X+Y)$. Ich konnte zeigen, dass $\Bbb{E}(X|X+Y)=\frac{1}{6}n(n^2-1)$. Grob gesagt habe ich das Folgendes gemacht: $$\Bbb{E}(X|X+Y)=\sum_{k=1}^n \Bbb{E}(X|X=k-Y)1_{X=k-Y}=\sum_{k=1}^n \sum_{z=1}^k \Bbb{E}(X|X=k-z)1_{X=k-Y}$$ Dann bekam ich $$\Bbb{E}(X|X=k-z)=k-z$$ Nun weiß ich außerdem, dass $\Bbb{E}(X|X+Y)$ messbar ist, d.h. es existiert eine messbare Funktion $g$, so dass $g(X+Y)=\Bbb{E}(X|X+Y)$. Nun würde ich gerne dieses $g$ finden, aber ich sehe nicht, wie. Denn ich habe einen expliziten Ausdruck für $\Bbb{E}(X|X+Y)$, aber nicht in Abhängigkeit von $x,y$. Kann mir vielleicht jemand helfen? Vielen Dank schon mal.


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-27

Huhu Strandkorb, schau doch einmal hier. lg, AK


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luis52
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-27

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin Strandkorb, ich tue mich schwer, deinen Ueberlegungen zu folgen. Insbesondere die Gleichung $\Bbb{E}(X\mid X+Y)=\frac{1}{6}n(n^2-1)$ ist mir schleierhaft. Ueblicherweise bezeichnet $\Bbb{E}(X\mid X+Y)$ eine Zufallsvariable. In diesem Fall ist es eine Transformation $g(X,Y)$ von $X$ und $Y$. Vllt ist es das, was du suchst. Betrachte bspw $n=2$. Aus $P(X=1\mid X+Y=2)=1$ folgt $\Bbb{E}(X\mid X+Y=2)=1$, aus $P(X=1\mid X+Y=3)=1/2=P(X=2\mid X+Y=3)$ folgt $\Bbb{E}(X\mid X+Y=3)=1/5$ und aus $P(X=2\mid X+Y=4)=1$ folgt $\Bbb{E}(X\mid X+Y=4)=2$. Auf diese Weise erhaelt man die Verteilung von $\Bbb{E}(X\mid X+Y)$: $P(\Bbb{E}(X\mid X+Y)=1)=1/4=P(\Bbb{E}(X\mid X+Y)=2)$ und $P(\Bbb{E}(X\mid X+Y)=1.5)=1/2$. Ich sehe keinen Zusammenhang zu deinem Ergebnis oben. vg Luis \(\endgroup\)


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Strandkorb
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

Hallo Ja ich habe meinen Fehler gefunden und bin dann auch auf $g(k)=\frac{k}{2}$ gekommen oder eben $g(X+Y)=\frac{X+Y}{2}$. Trotzdem vielen Dank für die Hilfe


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