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Universität/Hochschule Ungleichung durch Mittelwertsatz beweisen
eli123
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  Themenstart: 2022-10-04

Guten Tag, ich möchte folgende Ungleichung für alle x aus R und x>1 mithilfe des Mittelwersatzes beweisen: 1-1/x<=ln(x)<=x-1 Für den MWS brauche ich ja ein geschlossenes Intervall. Da x>1 sein soll, ist das Intervall ja [2,...]. Nur weiß ich nicht was jetzt die obere Grenze sein soll. Und ganz allgemein: wie gehe ich dann vor um die Ungleichung zu beweisen?


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Mano
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\) Hallo! was spricht denn gegen das Intervall $[1,x]$?\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

1 darf doch nicht mit drin sein oder? x ist ja größer 1 und nicht größergleich.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-04 13:32 - eli123 in Beitrag No. 2) 1 darf doch nicht mit drin sein oder? x ist ja größer 1 und nicht größergleich. \quoteoff Das macht aber nichts, da deine Ungleichung für \(x=1\) offensichtlich auch gilt. Also genau das ist der Ansatz: das Intervall \([1,x]\) zu verwenden und den Zwischenwertsatz auf die Logarithmusfunktion anzuwenden. Der Rest ergibt sich dann durch Umformen und Abschätzen. Es muss also eine Stelle \(\xi\in(1,x)\) geben, so dass gilt... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]\(\endgroup\)


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Mano
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\) $x$ ist eine feste reelle Zahl, zum Beispiel 5. Für diese feste reelle Zahl $x$ kannst du sehr wohl das (geschlossene) Intervall $[1,x]$ betrachten (wie es etwa das Intervall $[1,5]$ gibt), hier liegen alle reellen Zahlen $y$ mit $1\leq x\leq y$ drin. Was du meinst, ist, dass die Stelle $\xi$, für die $\ln'(\xi)=\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}$ gelten soll, im offenen Intervall $(1,x)$ liegt, also $1<\xi[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Mit Anwendung des Mittelwertsatzes komme ich dann auf: lnx/(x-1) Wie funktionert das mit dem Abschätzen? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Mano
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\) Ich nehme an, du meinst $\frac{\ln x}{x-1}$. Nutze jetzt die Monotonie der Logarithmusfunktion. Schreibe doch den ganzen Mittelwertsatz als Gleichung hin, wie Diophant das schon vorgeschlagen hat. Also: "Es muss eine Stelle $\xi\in(1,x)$ geben, so dass gilt..." Schätze dann mit der Monotonie der Kehrwertfunktion ab.\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Also so: f'(\x)=lnx/(x-1) Laut Lösungen soll das hier rauskommen: lnx/(x-1) = 1/\x Ich blick da leider noch nicht so durch


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-04

\quoteon(2022-10-04 15:03 - eli123 in Beitrag No. 7) Also so: f'(\x)=lnx/(x-1) Laut Lösungen soll das hier rauskommen: lnx/(x-1) = 1/\x Ich blick da leider noch nicht so durch \quoteoff Hm. Was war gleich nochmal die Ableitung des natürlichen Logarithmus?... Gruß, Diophant


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Mano
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-04

Sorry, ich meinte in Beitrag #6 die Monotonie der Kehrwertfunktion. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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eli123
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Ich verstehe nur nicht warum man jetzt die Ableitung vom Logarithmus bildet und da Xi einsetzt. -- Jetzt hab ichs doch verstanden. Jetzt muss man noch abschätzen?


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Mano
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\) \quoteon(2022-10-04 15:45 - eli123 in Beitrag No. 10) Jetzt hab ichs doch verstanden. \quoteoff Sehr gut. \quoteon Jetzt muss man noch abschätzen? \quoteoff Genau, wie oben beschrieben mit der Monotonie der Kehrwertfunktion. Kannst du jetzt den Beweis vervollständigen? (Was weißt du über $\xi$?)\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Ich weiß dass für 1/\x gilt lnx/(x-1)


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Mano
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\) In der zu zeigenden Ungleichung kommt nur noch $x$ vor. Das heißt, du willst das $\xi$ durch die Abschätzungen loswerden. Du weißt, dass $\xi\in(1,x)$ gilt und dass $f:[1,\infty)$, $x\mapsto\frac{1}{x}$ streng monoton fallend ist.\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55863_Bildschirmfoto_2022-10-04_um_16.42.05.png Das soll ja dabei rauskommen. Aber ich habe leider immer noch 0 Plan wie ich das abschätzen soll:(


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Diophant
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, löse doch einmal die Gleichung \[\frac{\ln x}{x-1}=\frac{1}{\xi}\] nach \(\ln x\) auf. Und dann verwende die Ungleichung \(1<\xiBeitrag No. 14) Aber ich habe leider immer noch 0 Plan wie ich das abschätzen soll:( \quoteoff Ich habe - nicht nur bei dieser Frage hier - das Gefühl, dass du (noch) zu wenig ausprobierst. Die Idee, die obige Gleichung nach \(\ln x\) aufzulösen, ist ja nun nicht so abwegig an dieser Stelle. Die gepostete Musterlösung ist IMO ein wenig umständlicher, da sie zuerst abschätzt und dann jeweils nach \(\ln x\) auflöst. Das ist aber auch ein Stück weit Geschmacksache. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Das wäre mein Beweise für die linke Seite: \x(x-1)/\x>1/x=>lnx>1/x Woher kommt denn noch die 1-? Und wie kommt man eigentlich genau auf die Abschätzung (x-1)/\x>1/x?


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Diophant
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-04 17:27 - eli123 in Beitrag No. 16) Das wäre mein Beweise für die linke Seite: \x(x-1)/\x>1/x=>lnx>1/x Woher kommt denn noch die 1-? \quoteoff Jetzt bringst du alles durcheinander. Du musst dich schon entscheiden, ob du die Musterlösung nachvollziehen möchtest oder den von mir vorgeschlagenen Ansatz. Für den wäre jedenfalls \[\ln x=\frac{x-1}{\xi}\] Und zum Abschätzen verwendet man jetzt das gute alte Prinzip, wonach ein Bruch (mit positivem Zähler und Nenner) - größer wird, wenn man den Nenner verkleinert - kleiner wird, wenn man den Nenner vergrößert So kommst du sofort auf die beiden zu zeigenden Ungleichheiten. \quoteon(2022-10-04 17:27 - eli123 in Beitrag No. 16) Und wie kommt man eigentlich genau auf die Abschätzung (x-1)/\x>1/x? \quoteoff Gar nicht, weil sie falsch ist. Sie kommt nach meiner Vermutung wie gesagt zustande, indem du meinen Ansatz mit dem aus der Musterlösung irgendwie vermischt hast. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Also dann: \x(x-1)/\x>1/\x Durch das Weglassen von x wird der Bruch ja insgesamt kleiner


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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-04 17:47 - eli123 in Beitrag No. 18) Also dann: \x(x-1)/\x>1/\x Durch das Weglassen von x wird der Bruch ja insgesamt kleiner \quoteoff Der Nenner ist beim Bruch unten. Und \(\xi\) hier zufällig auch... Also: wenn man im Bruch \(\frac{x-1}{\xi}\) das \(\xi\) durch \(1\) ersetzt, was passiert dann - mit dem Nenner - und mit dem Bruch? Und wie lautet der Bruch dann? Wenn man nun aber das \(\xi\) durch \(x\) ersetzt, was passiert dann - mit dem Nenner - und mit dem Bruch? Und wie lautet der Bruch in diesem Fall? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Im ersten Fall wieder der Bruch groß bzw. x-1 und im zweiten Fall wird der Bruch groß, weil der Nenner auch groß wird, also (x-1)/x


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Diophant
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-04 17:55 - eli123 in Beitrag No. 20) Im ersten Fall wieder der Bruch groß bzw. x-1 und im zweiten Fall wird der Bruch groß, weil der Nenner auch groß wird, also (x-1)/x \quoteoff Also wenn der Nenner kleiner wird, wird der Bruch größer und wenn der Nenner größer wird auch? Wenn also \(x-1\) größer ist als \(\ln x=\frac{x-1}{\xi}\), dann hätten wir schon einmal \[\ln x1\] Jetzt musst du die andere Seite noch vernünftig formulieren und vielleicht die eine oder andere Termumformung vom Schwierigkeitsgrad, sagen wir mal großzügig: 8. Klasse, auf den Bruch \(\frac{x-1}{x}\) loslassen... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Naja, x ausklammern und kürzen, dann kommt man auf 1-1/x


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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-10-04

\quoteon(2022-10-04 18:05 - eli123 in Beitrag No. 22) Naja, x ausklammern und kürzen, dann kommt man auf 1-1/x \quoteoff Ja, das ist mir schon klar. Wie war das noch: du hattest Fragen, ich hatte versucht sie zu beantworten. Oder bringe ich gerade etwas durcheinander? 😉 Gruß, Diophant


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eli123
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

So langsam fügt sich alles zusammen. Warum setzen wir genau die Grenzen in Xi ein?


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Diophant
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  Beitrag No.25, eingetragen 2022-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-04 18:35 - eli123 in Beitrag No. 24) So langsam fügt sich alles zusammen. Warum setzen wir genau die Grenzen in Xi ein? \quoteoff Weil wir wissen, dass \(\xi\) irgendwo zwischen \(1\) und \(x\) liegt, und dass der Term \(\frac{x-1}{\xi}\), als Funktion von \(\xi\) betrachtet, streng monoton fallend ist (darauf hat Mano in Beitrag #13 dankenswerterweise bereits hingewiesen!). Also müssen Minimum und Maximum dieses Terms an den Rändern des Intervalls \((1,x)\) angenommen werden. Und in der Hoffnung, mit dem Minimum den Logarithmus zu unterbieten und mit dem Maximum ihn zu überbieten, machen wir das. Weil wenn das gelingt: dann haben wir die Ungleichung aus dem Themenstart gezeigt. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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