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 Ableitung des Produkts von zwei vektorwertigen Funktionen und einer Bilinearform |
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dvdlly
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Mitteilungen: 288
 |  Themenstart: 2022-11-03
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Hallo zusammen,
Ich habe mich gerade etwas schwer mit dem Bestimmen des Differentials und der Hesse-Matrix von z.B. folgenden Funktionen getan,
\(h(x) := a(x) \cdot g(x)\) oder \(h(x) := f(x) A g(x)\) mit \(a : \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f,g: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) und \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
Ich habe ein wenig im Internet und in meinem Ana 2 Buch gesucht, aber nicht das gefunden, wonach ich suche.
Kann mich jemand auf Literatur verweisen, wo die Produktregel für Skalarprodukte, Vektor-Produkte oder Matrix-Vektor-Produkte "gezeigt" wird?
Danke!
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-04
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Du kannst dich der Kettenregel bedienen sowie der allgemeinen Tatsache, dass für eine bilineare Abbildung $\beta : V \times W \to U$ die Ableitung in einem Punkt $(v_0,w_0)$ durch die lineare Abbildung $(v,w) \mapsto \beta(v_0,w) + \beta(v,w_0)$ gegeben ist. Siehe dazu https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1922 insbesondere die Abschnitte zur Kettenregel und zur Produktregel.
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dvdlly
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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dvdlly
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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Tut mir Leid, dass ich noch mal einwerfe, aber:
\(h(x) := f(x)^{T} A g(x)\) dann ist \(\frac{\partial h(x)}{\partial x} = f(x)^T A \frac{\partial g(x)}{\partial x} + g(x)^T A^T \frac{\delta f(x)}{\delta x}\) (1).
Nach deinem Artikel gilt i.A. \(D_{x_0,y_0}(f)(x,y) = f(x_0,y) + f(x,y_0)\)(2) für eine Bilineare Funktion \(f\), hier ist \(f\) insbesondere nicht das gleiche \(f\) wie in \(h(\cdot)\). Mir gelingt es irgendwie nicht, deine allgemeinere Aussage auf diesen konkreten Fall anzuwenden, so dass sich (1) ergibt.
Ich habe bisher: \(h(x) = A \circ L\) wobei \(L := (f(\cdot),g(\cdot))\).
Ich setze jetzt \(f(x) := y_0\) und \(g(x) := y_1\). Dann ist doch \(D_{x}(h) = D_{y_0,y_1} \circ D_{x}(L) = (A(y_0,\cdot) + A(\cdot, y_1)) \circ (D_x(f), D_x(g)) \). Aber wie kommt man jetzt zu (1)?
Kann mir jemand zeigen wie das geht? Ich bin leider nicht mehr so fit aufgrund einer psychischen Krankheit, um etwas Kontext zu schaffen.
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darkhelmet
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-06
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\quoteon(2022-11-04 11:15 - dvdlly in Beitrag No. 3)
Ich habe bisher: \(h(x) = A \circ L\) wobei \(L := (f(\cdot),g(\cdot))\).
\quoteoff
Es muss heißen $h=A\circ L$. Außerdem stimmt das natürlich nur, wenn du mit $A$ die Funktion $(y,z)\mapsto y^TAz$ meinst, was man machen kann, aber nicht nachher wieder vergessen sollte.
\quoteon(2022-11-04 11:15 - dvdlly in Beitrag No. 3)
Ich setze jetzt \(f(x) := y_0\) und \(g(x) := y_1\).
\quoteoff
Ok, dann ist ab jetzt $x$ ein fester Punkt, an dem differenziert wird. Man darf dann später nicht $x$ als freie Variable verwenden.
\quoteon(2022-11-04 11:15 - dvdlly in Beitrag No. 3)
Dann ist doch \(D_{x}(h) = D_{y_0,y_1} \circ D_{x}(L) = (A(y_0,\cdot) + A(\cdot, y_1)) \circ (D_x(f), D_x(g)) \).
\quoteoff
Es muss $D_{y_0,y_1}(A)$ heißen, aber ansonsten stimmt das und du musst nur noch "sehen", dass das das gleiche ist wie (1).
Bei der Notation von (1) übersieht man leicht, dass zwar $f(x)$ ein Element von $\mathbb{R}^n$ ist, aber $\frac{\partial f(x)}{\partial x}$ eine (lineare) Abbildung von $\mathbb{R}^m$ nach $\mathbb{R}^n$. Und so ist auch $f(x)^TA\frac{\partial g(x)}{\partial x}$ nicht etwa eine reelle Zahl, sondern eine (lineare) Abbildung von $\mathbb{R}^m$ nach $\mathbb{R}$, die man auch
\[
\left(f(x)^TA\;\cdot\;\right)\circ\frac{\partial g(x)}{\partial x}
\]
schreiben könnte.
Außerdem wurde im zweiten Summanden verwendet, dass für alle $y,z\in\mathbb{R}^n$
\[
y^TAz=z^TA^Ty.
\]
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dvdlly
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06
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dvdlly hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
dvdlly hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | dvdlly wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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