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Universität/Hochschule lokale Extrema unter Nebenbedingungen
sussy
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  Themenstart: 2022-11-05

Hallo liebes Matheforum, Ich sitze nun seit einiger Zeit an einer Aufgabe die mich wirklich sehr frustriert. Es geht um die Bestimmung lokale Extrema unter Nebenbedingungen. Dabei habe ich (meiner Meinung nach) keine Probleme beim Anwenden von Formeln und Regeln und hänge aber beim eigentlichen rechnen. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Ermitteln Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y)=x+2y\mixoff unter der Nebenbedingung e^(x-y)=x Nach der Anwendung des Lagrange-Formalismus erhalte ich nun 3 Gleichungen: 1-\lambda e^(x-y)-\lambda =0; 2+\lambda e^(x-y)=0; e^(x-y)-x=0 Wobei der Lagrange-Formalismus gradient(f(x,y))-\lambda*gradient(g(x,y))=(0;0) & g(x,y)=0 lautet. Verzeiht mir bitte die schlechte Formatierung, aber ich finde leider den Nabla-operator nicht. Ich schaffe es einfach nicht auf geeignete Umformungen zu kommen um auf x bzw. y zu schließen. Egal wie ich es drehe und wende, ich erhalte immer wieder einen komplizierteren Term oder einen der mir nicht weiterhilft. Einen Hinweis den ich erhalte habe war die Definitionsmenge unter der Nebenbedingung zu betrachten/einzuschränken. Das einzige worauf ich dabei kam war die Umformung e^(x-y)=x <=> e^x/e^y=x <=> e^x=xe^y => x>0 . Ich verstehe aber nicht ganz inwiefern mir das weiterhilft und ob man den Definitionsbereich weiter einschränken kann. Habe ich vielleicht bei irgendeiner partiellen Ableitung einen Fehler gemacht? Ich würde mich sehr über Tipps/Hinweise, die mich in die richtige Richtung leiten, freuen. Bitte aber nicht einfach die Lösung anschreiben, da ich es selbst auch verstehen möchte. Gruß, sussy


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, setzen wir $g(x,y)=\e^{x-y}-x$. Dann haben wir $\opn{grad}(f)(x,y)=(1,2)$ und $\opn{grad}(g)(x,y)=(\e^{x-y}-1,-\e^{x-y})$. Der Satz von Lagrange sagt: Wenn $f$ in $(x,y)$ ein Extremum unter der Nebenbedingung $g=0$ hat, dann sind $\opn{grad}(f)(x,y)$ und $\opn{grad}(g)(x,y)$ linear abhängig. In diesem Fall gibt es hier einen netten "Trick". Wir können den Lagrange-Multiplikator $\lambda$ in diesem Fall vergessen und mit einer bekannten Aussage der linearen Algebra arbeiten: $\opn{grad}(f)(x,y)$ und $\opn{grad}(g)(x,y)$ sind genau dann linear abhängig, wenn $$ \det\begin{pmatrix} 1 & \e^{x-y}-1 \\ 2 & -\e^{x-y}\end{pmatrix}=0 \iff -3\e^{x-y}+2=0. $$ Wir haben daher nur noch die beiden Gleichungen I $-3\e^{x-y}+2=0$ II $\e^{x-y}=x$ Kommst du damit weiter? Aber auch bei deinen Gleichungen solltest du zum Ziel kommen. Nutze die dritte Gleichung und ersetze $\e^{x-y}$ in einer der beiden anderen Gleichungen (oder beiden) durch $x$. Damit sollte sich einiges vereinfachen. LG Nico\(\endgroup\)


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sussy
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06

Vielen Dank Nico! Ich fühle mich etwas dumm, dass ich nicht auf die Idee kam die dritte Gleichung zu benutzen um bei Gleichung I/II ein x einzusetzen. Ich war zu sehr darauf versteift das mit den ersten beiden Gleichungen zu lösen. Letztendlich kam ich auf das Ergebnis x=2/3; y=2/3-ln(2/3) Aber die Methode die lineare Abhängigkeit mit Hilfe der Determinante auszudrücken ist auch sehr interessant und ergibt auch Sinn. Die werde ich mir definitiv merken! Nochmals Vielen Dank für die Hilfe! Gruß, sussy


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Bedenke aber noch, dass du an dieser Stelle noch nicht fertig bist. Der Satz von Lagrange liefert nur eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremums. Ob in $(\tfrac 23,\tfrac 23-\ln(\tfrac 23))$ wirklich ein Extremum unter Nebenbedingung vorliegt ist damit noch nicht geklärt. LG Nico\(\endgroup\)


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