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| Autor |
 Finde x mit x ≡ 3 mod 5 und x³ ≡ 2 mod 5ⁿ |
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Derme
Neu 
Dabei seit: 10.11.2022
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2022-11-10
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Guten Tag,
wir haben eine Aufgabe in unseremn Studium Erhalten, die wie folgt ist:
Es soll gezeigt werden: für jede positive ganze Zahl n gibt es im Ring Z/5^n genau ein Element x, das x^3 = 2 erfüllt (in Z/5^n ) und außerdem x ≡ 3 in Z/5.
(Beispiel: für n = 1 ist x = 3 ∈ Z/5 die Lösung; für n = 2 ist es x = 3 ∈ Z/25; und für n = 3 ist es x = 53 ∈ Z/125.
Hinweis: schreibe x_n statt x, um die Abhängigkeit von n zu betonen.
Wenn die Behauptung wahr ist, muss gelten x_n+1 ≡ x_n mod 5^n .
Dann kann man versuchen, x_n+1 aus x_n zu bestimmen.
Zuerst habe ich versucht eine Formel in Abhängigkeit von x_n zu finden.
Für n=4 hatte ich die Idee x_n+1=x_n + 2*5^n zu nutzen. Ich kam auch auf ein richtiges Ergebniss, x_4=303.
Leider konnte sich meine erste Behauptung für weitere Fälle nicht bestätigen.
Des Weiteren habe ich mir die in der Aufgabenstellung beschriebene Behauptung von "x_n+1 ≡ x_n mod 5^n" angeschaut. Leider konnte ich dadurch keine weiteren Schlüsse für mich unbekannte Fälle wie z.B. n=5 schließen.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Liebe Grüße
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3690
|  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
probiere es mal mit dem Ansatz $x_{n+1} = x_n + 5^n y_n$, wobei $y_n$ noch zu bestimmen ist.\(\endgroup\)
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Derme
Neu
Dabei seit: 10.11.2022
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-10
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Leider konnte mir der Ansatz nicht weiterhelfen. Nach diesem Schema hatte ich bereits die x_4 gefunden bzw. beschrieben. Leider entwickelt sich kein Schema für das yn. Für x_2 iste es 0, x_3 ist es 2, x_4 ebenfalls 2 und x_5 wieder 3.
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-10
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Schau doch mal, was rauskommst, wenn Du diesen Ausdruck hoch 3 nimmst
Gruß Wauzi
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3563
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-11
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Im Wesentlichen kommen als Kandidaten für $x_{n+1}$ auch nur $x_n$, $x_n\pm 5^n$ und $x_n\pm2\cdot 5^n$ in Frage.
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2023-03-24 11:03 U ?
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