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| Autor |
 Barometrische Höhenformel |
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Miiroo
Neu 
Dabei seit: 28.11.2022
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2022-11-28
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Moin,
das hier wäre meine Aufgabe:
Leiten Sie die Abhängigkeit des Drucks von der Höhe h über dem Landeplatz her. Gehen Sie dabei von konstanter Temperatur und konstanter Schwerebeschleunigung aus. In welcher Höhe ist der Druck auf die Hälfte gesunken?
Hinweis:
Schreiben Sie die Änderung des Drucks bei einer Änderung der Höhe aufgrund der Masse auf. Ersetzen Sie in dieser DGL die von der Höhe abhängige Masse bzw. Dichte mit Hilfe der Zustandsgleichung.
(Lsg.: p(h) = p0 exp(-µgh/(kBT0)))
in solchen Aufgaben bin ich sehr schlecht, wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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 Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 423
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03
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Moin Miiroo,
bekanntermaßen ist die Luft kein homogenes, sondern ein heterogenes Gas. Approximativ kann diese, wie jedes Gas, als ideal angenähert werden, wenn nur Temperatur bzw. Druck ausreichend groß bzw. klein sind, sodass die Dichte der Teilchen nicht zu groß wird. Diese Approximation annehmend, gilt für die Beziehung zwischen Partialdruck $p_i$ und Teilchendichte $n_i = N_i/V$ der $i$-ten Teilchenart mit der Teilchenzahl $N_i$, wobei $V$ das betrachtete Luftvolumen bezeichnet, bei der Temperatur $T$ gemäß thermischer Zustandsgleichung:
\[
p_i = n_i k_{\text{B}} T, \quad \text{also} \quad p = \sum_i p_i = \left(\sum_i n_i\right) k_{\text{B}} T = n k_{\text{B}} T,
\]
wobei $p$ der Gesamtdruck und $n = N/V$ mit $N = \sum_i N_i$ die Gesamtteilchendichte bzw. -zahl sind. Bezeichnet weiter $\rho$ die Massendichte und $m_i$ die Masse der $i$-ten Teilchenart, so gilt für die Gesamtmasse $m = \rho V$ offenbar
\[
\rho V = m = \sum_i N_i m_i = N \sum_i \frac{N_i}{N} m_i = N \overline{m},
\]
wobei $\overline{m}$ die mittlere Masse eines Luftteilchens bezeichnet. Also gilt $n = \rho/\overline{m}$ und damit
\[
p = \rho \frac{k_{\text{B}} T}{\overline{m}} \tag{1}.
\]
Nehmen wir nun eine isotherme und (fluid)statische Atmosphäre im homogenen Schwerefeld an. Der Luftdruck $p = p(h)$ in der Höhe $h$ ist dann aus Gleichgewichtsgründen gleich dem Schweredruck, der vom Gewicht des darüberliegenden Gases herrührt. Geht man von der Höhe $h$ in die Höhe $h+dh$, so ändert sich der Luftdruck im gleichen Ausmaß wie auch der Schwerdruck. Betrachten wir eine Luftsäule der Querschnittsfläche $A$, so nimmt bei einem Höhenanstieg um $dh$ die Masse der darüberliegenden Luftsäule um $-\rho A dh$ ab, der Schweredruck also um $\frac{-\rho A dh g}{A} = -\rho g dh$. Somit gilt für die Luftdruckänderung
\[
dp = -\rho g dh \tag{2}.
\]
Löse nun $(1)$ nach $\rho$ auf und setze in $(2)$ ein, um eine DGL für $p = p(h)$ zu bekommen. Löse diese, um die im Themenstart angegebene Lösung zu erhalten, wobei $p_0 = p(0)$ den Luftdruck auf der Erdoberfläche bezeichnet. Aus der Lösung kannst du dann die Halbwertshöhe $h_{1/2}$ aus $p(h_{1/2}) = p_0/2$ bestimmen.
LG,
semasch
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