Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon PhysikRabe
Atom-, Kern-, Quantenphysik » Konzepte, Interpretationen, Experimente » Was sagt ihr zum Bild? - Modifiziertes Stern-Gerlach-Experiment
Autor
Universität/Hochschule Was sagt ihr zum Bild? - Modifiziertes Stern-Gerlach-Experiment
Skalhoef
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 257
Wohnort: Uppsala (Schweden)
  Themenstart: 2022-11-29

Hej, in der Wikipedia findet man schnell die folgende schematische Darstellung eines Experiments. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47370_SternGerlach3.png So, wie es im Bild dargestellt ist, ist die "z-Achse" des zweiten Magneten nicht parallel zum ersten Magneten. Streng genommen ist das Bild also nicht ganz richtig oder? Um das im Bild vorhergesagte Verhalten zu messen müsste der zweite Magnet so rotiert werden, dass das Magnetfeld in die Magnetfeldrichtung des ersten Magneten zeigt, oder? Vänliga hälsningar Sebastian


   Profil
jmd
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.11.2016
Mitteilungen: 123
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-29

Es könnte sein,dass bei einer parallelen Ausrichtung Atome den Nordpol des 2.Magneten treffen Ich glaube du hast recht. Der Strahl müsste sich aufspalten


   Profil
Skalhoef
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 257
Wohnort: Uppsala (Schweden)
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-30

Ich danke dir jmd. Ich sehe das genauso. Ich mache zu, falls niemand mehr ein Veto einlegt. Hälsningar Sebastian


   Profil
Spock
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-02

Hallo Sebastian, ich muß da ein Veto einlegen. Der Feldgradient sollte senkrecht zum Strahl stehen. Da der Strahl nach dem ersten SG leicht nach oben abbiegt, ist die Orientierung des zweiten SG so wie gezeichnet richtig. Im übrigen solltest Du so etwas nicht bei Wiki nachlesen, :-) Die verschiedenen Gedankenexperimente mit SG Apparaten gehen auf Feynman zurück, schau mal in sein Quantenmechanik-Buch: "Feynman Lectures on Physics, Volume III, Quantum Mechanics" Grüße Juergen


   Profil
Skalhoef
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 257
Wohnort: Uppsala (Schweden)
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-02

Hej Spock, ich danke dir für deinen Beitrag. Meine ehemaligen Kommilitonen werden mich verwegen nennen, dass ich es wage der Matheplanet-Legende Spock zu widersprechen, aber ich möchte meinen Gedankengang ausführen und ihn zur Diskussion stellen: Für den ersten Magneten, kann man sich auf einen Hamiltonian der Gestalt $$ H_{ \text{eff}_1} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}_1 \propto \sigma_z $$ einschränken, wobei $\vec{B}_1 \propto \vec{e}_z$ das Magnetfeld des ersten Magneten bezeichnet. Wenn man davon ausgeht, dass die Elektronen die die Quelle verlassen unpolarisiert sind, dann ist der Zustand der Teilchen (etwa der Ag-Atome im SG-Experiment) unmittelbar nach verlassen der Quelle z.B. gegeben durch einen der beiden Zustände $$ |\psi( t= 0 )\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | \uparrow \rangle \pm | \downarrow \rangle \right) $$ wobei $|\uparrow \, \rangle$ und $|\downarrow \, \rangle$ die beiden Eigenzustände der dritten Pauli-Matrix bezeichnen. Wenn wir jetzt annehmen, dass die Zeitentwicklung von $| \psi \rangle$ vernachlässigbar ist, d.h. $$ | \psi (t_{\text{S} \to \text{M}_1} ) \rangle \approx | \psi (t = 0) \rangle $$ wobei $t_{\text{S} \to \text{M}_1} $ diejenige Zeit bezeichnet, die das Teilchen benötigt um von der Quelle zum ersten Magneten zu kommen. (Ich glaube die Teilchen dürften recht schnell sein; Wegen der geringen Zustandsdichte (es wurde, glaube ich, im Originalexperiment eine Pumpe verwendet um die Silberatome nach und nach in diese Kammer mit dem kleinen Loch zu pumpen) kann man ungefähr mit der Boltzmann-Verteilung arbeiten, und die Siedetemperatur von Silber ist (vermutlich bei Standard-Druck?) 2212 °C. D.h. der Zeitentwicklungsoperator der auf die Dichte von beiden Seiten wirkt ist ungefähr die Identität, weil die Teilchen relativ schnell sein sollten...) Nach Passieren des ersten Magneten wurde "gemessen", also auf einen Eigenzustand des Hamiltonians projiziert. Wenn man also jetzt den Fall betrachtet, dass man den Zustand $$ | \psi ( t \approx t_{\text{S} \to \text{M}_1} + \epsilon ) \rangle \equiv | \uparrow \, \rangle $$ gemessen hat, und dann wieder annimmt, dass sich das Teilchen "schnell genug" bewegt, sodass die Gleichung $$ | \psi ( t \approx t_{\text{S} \to \text{M}_1} + \epsilon + t_{\text{M}_1 \to \text{M}_2} ) \rangle \approx | \uparrow \, \rangle $$ gilt, dann kann man jetzt wie folgt argumentieren: Der Zustand des Teilchens ist gegeben, der Hamiltonian lautet jetzt (für "diesen Teil im Raum") $$ H_{ \text{eff}_2} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}_2 \text{.} $$ So, aber wenn man jetzt den Magneten so wie im Bild orientiert, dann ist $\vec{B}_2$ ja gar nicht mehr parallel zur z-Achse! (Obwohl es in der Beschriftung des Bildes so geschrieben wurde.) Man hat jetzt auch eine komponente in $y$-Richtung! Also $$ \vec{B}_2 = B_{2, y} \vec{e}_y + B_{2, z} \vec{e}_z \quad (\star \star \star) $$ und dementsprechend $$ H_{ \text{eff}_2} = H_{2, y} \sigma_y + H_{2, z} \sigma_z \text{.} $$ Dementsprechend ist der Zustand des Teilchens VOR Passieren des zweiten Magneten nicht identisch mit einem der Eigenzustände des Hamiltonians. Dementsprechend wird, wie gesagt, unter der Annahme dass $(\star \star \star)$ gilt, das im Bild geschilderte Verhalten nicht reproduziert. Ich freue mich auf Rückmeldung und mögliche Fehler in der Logik! Hälsningar Sebastian


   Profil
Spock
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-03

Hej Sebastian, das mit der Legende geht natürlich runter wie warme Milch mit Honig, und natürlich ist es hier im Forum nicht nur erlaubt, sondern auch erwünscht, zu widersprechen, :-) Aber zurück zu Deinen Fragen: Beachte, daß ein HOMOGENES Magnetfeld keine Aufspaltung bewirkt, es muß ein räumlicher Gradient vorhanden sein, und der Gradient, egal in welche Richtung er zeigt, sollte senkrecht zum Strahl sein. Das wird immer vorausgesetzt, wenn es um "idealisierte" Stern Gerlach (SG) Apparate bzw. Gedankenexperimente geht. Vielleicht konntest Du diesbezüglich schonmal einen Blick in den Feynman werfen? Dein Erklärungs- bzw. Herleitungsversuch deutet, wenn ich ihn richtig verstanden habe, darauf hin, daß es Dir darum geht, was bei einem "realen" SG Experiment passiert, und was z.B. hier ab Beitrag No.5 als "Quiz" behandelt wird? Du hast bei Deinem Erklärungsversuch gleich mit dem Hamiltonian und den Pauli-Matrizen losgelegt, aber man kann idealisierte SG Apparate im Bra Ket Formalismus etwas einfacher als Operatoren beschreiben: Im Fall der Spin 1\/2 Zustände projiziert dieser Operator aus einem Strahl die Zustände ket(\textuparrow) und ket(\textdownarrow). Jeder der beiden "Kanäle" ist ein Projektionsoperator. Der obere Kanal projiziert auf den Spin ket(\textuparrow), der untere Kanal projiziert auf den Spin ket(\textdownarrow): P^^_\textuparrow==ket(\textuparrow) bra(\textuparrow) P^^_\textdownarrow==ket(\textdownarrow) bra(\textdownarrow) Damit kann man sich dann formal klarmachen, was bei Hintereinanderschaltungen, Drehungen, usw. von verschiedenen SG Apparaten passiert. Vielleicht noch der Hinweis: Unterscheide streng zwischen der Richtung des Magnetfeldes und der Richtung der magnetischen Momente im Strahl. Die Aufspaltung eines unpräparierten Strahles passiert immer, wobei das Magnetfeld lediglich die Richtung der Ablenkung bestimmt. Der Spin selbst hat keine Richtung! Viele Grüße Juergen


   Profil
jmd
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.11.2016
Mitteilungen: 123
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-12-03

Auf dem Bild erkennt man,dass das Atom im 2. Magneten neu ausgerichtet wird und dass deshalb das Wikipedia Bild nicht stimmt https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46843_Stern_Gerlach.jpg


   Profil
Skalhoef
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 257
Wohnort: Uppsala (Schweden)
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-31

Hallo Juergen, ich danke dir (und jmd) für eure Antworten. \quoteon(2022-12-03 19:02 - Spock in Beitrag No. 5) Beachte, daß ein HOMOGENES Magnetfeld keine Aufspaltung bewirkt, es muß ein räumlicher Gradient vorhanden sein, und der Gradient, egal in welche Richtung er zeigt, sollte senkrecht zum Strahl sein. \quoteoff Aiii! Da hast du mich bei einem Denkfehler ertappt... Ja, also wenn man das Experiment "vollständig quantenmechanisch" beschreiben möchte, dann muss man wohl oder übel inhomogene Magnetfelder, und vermutlich noch irgendwie eine Art von "Ortswellenfunktion" einführen oder so... Also den Hilbertraum auf $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{C}^2$ erweitern... Jag hade fel!!! - Die Hamiltonians die ich oben angegeben habe stimmen dann natürlich nicht. (Bestenfalls lokal...) Die Wellenfunktionen zu verschiedenen Zeiten die ich oben angegeben habe stimmen dann auch nicht, weil der Ortsanteil fehlt. Aber der Spin-Anteil sollte unproblematisch korrekt sein! \quoteon(2022-12-03 19:02 - Spock in Beitrag No. 5) Vielleicht konntest Du diesbezüglich schonmal einen Blick in den Feynman werfen? \quoteoff Ja, das habe ich getan. Hier habe ich nachgesehen, und ich glaube entweder du vertust dich, oder (vermutlich inklusiv) ich bin schrecklich im Kommunizieren meines Anliegens. Wenn S und T den ersten und zweiten Magneten im sequentiellen Stern-Gerlach-Experiment bezeichnen, dann wird in der Vorlesung von Feynman etwa gesagt "The result will depend, of course, on the angles between the two systems S and T." wobei das "result" das Signal auf einem Detektor ist der hinter den Magneten ist. Im Bild wird in figure 6.4 ein hingegen ein für mich "unreales" Experiment von zwei Magneten dargestellt, indem zuerst nach Spins entlang der z-Achse separiert wird, und dann, ohne die Bewegungsrichtung des Strahls (entlang der y-Achse im Bild) zu verändern werden wieder die Spins entlang der z-Achse separiert. "We take our “z-axis” in this direction. Surely, if the beam goes “up” (toward +z) in the S apparatus, it will do the same in the T apparatus. Similarly, if it goes down in S, it will go down in T." Weil das ein für mich unreales Experiment ist, zitiere ich auch mal direkt an einer anderen Stelle aus dem Text "(...) that’s the fun of abstract thinking—you can make the most weird experiments just by drawing lines!" Im Text steht weiter "Suppose, however, that the T apparatus were placed at some other angle, but still with its axis parallel to the axis of S, as in Fig. 6-4(b). Intuitively, you would say that a (+) beam in S would still go with a (+) beam in T, because the fields and field gradients are still in the same physical direction. And that would be quite right". Deshalb hatte jmd im ersten Beitrag imho richtig kommentiert, dass bei einer neu-Ausrichtung des zweiten Magneten im Bild der Wikipedia die Strahlenatome den Nordpol des zweiten Magneten treffen würden. Ich bleibe dabei: Das Bild aus der Wikipedia ist falsch bzw. irreführend! :D Vielleicht konzentrieren wir uns auf das Bild von jmd. Ich finde er / sie hat meinen Einwand mit dem einzelnen Bild ziemlich gut kondensiert. :D Ich freue mich auf Rückmeldung. Vänliga hälsningar Sebastian


   Profil
Spock
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-12-31

Hej Sebastian, wie ich sehe hast Du die Zeit genutzt und in den Feynman geschaut, :-) Aber Du liest an der falschen Stelle, gehe ein Kapitel zurück, Kapitel 5. Dort geht es zwar um Spin 1 Teilchen, das Prinzip ist dasselbe. Hier das Bild zu Deinem Problem aus R.P. Feynman "Lectures on Physics Quantum Mechanics", Millenium Edition: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/204_SG_Feynman.png Grundsätzlich sollten wir uns nur über "idealisierte SG-Experimente" unterhalten, so wie das auch Feynman zum größten Teil tut, und da schaut das Ergebnis so aus, wie im Bild gezeigt. Deine Argumente nimmst Du aus Feynmans Kapitel 6, aber dort sind Feynmans "S" und "T" Apparate nicht so zueinander verdreht wie der Fall, der Dich interessiert, schau dazu in das folgende Bild https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/204_SG_Feynman_Fig_5_6.png Vielleicht erkläre ich nicht gut genug, aber löse Dich vom Gedanken, daß der Spin etwas "räumliches" ist, siehe dazu auch nochmal in meine Erklärungsversuche oben. Der Strahl, wenn er durch den ersten SG Apparat tritt ist ideal präpariert, und der zweite SG ist lediglich so verdreht (bezogen auf das Bild 5-6 um die x-Richtung), daß der Feldgradient nach wie vor senkrecht zur Strahlrichtung bleibt. Und dann passiert da rein "gar nichts" an Aufspaltung. Fazit: Auch wenn ich alles andere als ein Fan von Wiki-Artikeln bin, da muß ich den Verfasser ausnahmsweise in Schutz nehmen, sein Bild ist richtig, und ich unterstelle mal, er hat Feynman gelesen, :-). Was jmd in Beitrag No. 6 zeigt, stimmt unter den oben gemachten Voraussetzungen so nicht. Gruß Juergen


   Profil
Skalhoef
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 257
Wohnort: Uppsala (Schweden)
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-31

Hallo Juergen, ich muss richtig grinsen, wenn ich deine Antwort lese. :D \quoteon(2022-12-31 12:51 - Spock in Beitrag No. 8) Aber Du liest an der falschen Stelle, gehe ein Kapitel zurück, Kapitel 5. Dort geht es zwar um Spin 1 Teilchen, das Prinzip ist dasselbe. Hier das Bild zu Deinem Problem aus R.P. Feynman "Lectures on Physics Quantum Mechanics", Millenium Edition: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/204_SG_Feynman.png \quoteoff Das ist fast exakt das Experiment aus der Wikipedia. Mit der Ausnahme: Dort wird ausdrücklich verlangt, dass der Ablenkwinkel "klein" ist. Das ich für mich auch sehr gut nachvollziehbar, denn wenn der Ablenkwinkel hinter dem ersten Magneten groß wäre (etwa 45° z.B.) und wenn wir von Spin 1/2 Teilchen sprechen würden, dann würde man zwei Strahlen hinter dem zweiten Magneten sehen! Ich vermute, dass wegen des kleinen Ablenkwinkels der Effekt der anderen Strahlen vernachlässigt wurde. \quoteon(2022-12-31 12:51 - Spock in Beitrag No. 8) Deine Argumente nimmst Du aus Feynmans Kapitel 6, aber dort sind Feynmans "S" und "T" Apparate nicht so zueinander verdreht wie der Fall, der Dich interessiert, (...) \quoteoff Doch doch! Der Fall der mich interessiert war doch in "figure 6.2" also wie in diesem Bild hier https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/47370_Figure621.jpg und das hatte der Feynman dann auch kommentiert mit "The kind of question we want to answer, then, is this: If an atom has been prepared in a given condition—say the (+S) state—by blocking one of the beams in the apparatus S, what is the chance that it will get through the second apparatus T if this is set for, say, the (−T) state. The result will depend, of course, on the angles between the two systems S and T." \quoteon(2022-12-31 12:51 - Spock in Beitrag No. 8) löse Dich vom Gedanken, daß der Spin etwas "räumliches" ist \quoteoff Aber man sagt doch immer der Spin ist quantisiert *bezüglich einer Magnetfeldachse*. Hinter dem ersten Magneten ist der Spin bzgl. der z-Achse quantisiert. Hinter dem zweiten Magneten wird er aber nicht mehr bzgl. der z-Achse quantisiert, weil die Richtung des Magnetfelds (im Bild der Wikipedia) nicht mehr in die z-Achse zeigt, sondern in eine andere Richtung... Ich glaube immer noch, dass das Bild von jmd den Nagel auf den Kopf trifft... Ich weiß, dass ich deinen Langmut auf die Probe stelle, aber ich bin wirklich überzeugt, dass ich recht habe! :D Vänliga hälsningar Sebastian


   Profil
Spock
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
  Beitrag No.10, eingetragen 2023-01-12 17:54

Hej Sebastian! \quoteon(2022-12-31 13:57 - Skalhoef in Beitrag No. 9) ... Doch doch! Der Fall der mich interessiert war doch in "figure 6.2" also wie in diesem Bild hier https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/47370_Figure621.jpg ... \quoteoff Aber dann redest Du nicht von dem im Themenstart von Dir gezeigten Bild! Kapitel 6 im Feynman behandelt hauptsächlich den Fall, daß die SG Apparate (also der Feldgradient) um die Strahlachse gedreht ist. Wenn Du Dir das Koordinatensystem in Fig. 5-6 anschaust, ist das die y-Achse. Dagegen meint das eingangs gezeigte Bild und das Bild Fig. 5-2 im Feynman eine Verkippung um die senkrecht zur Strahlachse liegende x-Richtung! Auch wenn ich nichts dagegen habe, daß Du Dir selbst "Recht" gibst,🙂, das Bild in Wiki ist richtig, hier dazu nochmal mein Bild ohne unnötigen 3D Schnick Schnack: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/204_SG_Zeichnung.png ("N" soll die Anzahl der Teilchen bedeuten, und im hinteren SG kommt nur das raus, was vorne reingeht, also nur ein Strahl mit N Teilchen) Grüße Juergen


   Profil
Skalhoef hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Skalhoef hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]