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  Noether-Theorem |
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Lambda88
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Hi zusammen,
ich bin mir nicht ganz sicher, wie man die Aufgabe b und c rechnen soll?
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-12-04_um_18.18.56.jpg
$\textbf{Aufgabe a}$
Bei der Aufgabe 1 habe ich folgendes herausbekommen $L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2+g(t)q$
$\textbf{Aufgabe b}$
Ich würde jetzt einfach $L$ transformieren, also $L'$ bilden, was bei mir wie folgt aussieht $L=\frac{1}{2}m(\dot{q}+\dot{\alpha})^2+g(t)(q+\alpha)$
Jetzt würde ich einfach das Funktional mit $L'$ bilden also $S[q^{\alpha}]=\int_{t_0}^{t_1} L'dt $
Hier habe ich folgende erhalten
$S[q^{\alpha}]=\int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{2}m\dot{q}^2+g(t) dt+\int_{t_0}^{t_1} m\dot{q}\dot{\alpha}+g(t)\dot{\alpha} dt +\int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{2}m\dot{\alpha}^2 dt $
Das erste Integral entspricht $S[q]$ und das hintere Integral wiederum $O(\alpha^2)$ also erhalten $S[q^{\alpha}]=S[q]+\int_{t_0}^{t_1} m\dot{q}\dot{\alpha}+g(t)\dot{\alpha} dt + O(\alpha^2) $
$\textbf{Aufgabe c}$
Hier bin ich mir leider nicht ganz sicher, aber ich würde jetzt einfach das mittlere Integral lösen $\int_{t_0}^{t_1} m\dot{q}\dot{\alpha}+g(t)\dot{\alpha} dt $ um die Erhaltungsgröße zu erhalten.
Ist das damit gemeint, oder wie bestimmt man die Erhaltungsgröße mithilfe des Noether-Theorems?
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semasch
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-05
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Moin Lambda88,
\quoteon(2022-12-04 18:41 - Lambda88 im Themenstart)
$\textbf{Aufgabe a}$
Bei der Aufgabe 1 habe ich folgendes herausbekommen $L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2+g(t)q$
\quoteoff
Es ist $L = T - V$, insofern muss aus dieser Summe eine Differenz werden.
\quoteon(2022-12-04 18:41 - Lambda88 im Themenstart)
$\textbf{Aufgabe b}$
Ich würde jetzt einfach $L$ transformieren, also $L'$ bilden, was bei mir wie folgt aussieht $L=\frac{1}{2}m(\dot{q}+\dot{\alpha})^2+g(t)(q+\alpha)$
Jetzt würde ich einfach das Funktional mit $L'$ bilden also $S[q^{\alpha}]=\int_{t_0}^{t_1} L'dt $
Hier habe ich folgende erhalten
$S[q^{\alpha}]=\int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{2}m\dot{q}^2+g(t) dt+\int_{t_0}^{t_1} m\dot{q}\dot{\alpha}+g(t)\dot{\alpha} dt +\int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{2}m\dot{\alpha}^2 dt $
Das erste Integral entspricht $S[q]$ und das hintere Integral wiederum $O(\alpha^2)$ also erhalten $S[q^{\alpha}]=S[q]+\int_{t_0}^{t_1} m\dot{q}\dot{\alpha}+g(t)\dot{\alpha} dt + O(\alpha^2) $
\quoteoff
Hier stimmt dann leider, ganz abgesehen von dem Folgefehler aus (a) betreffend $L$, vieles nicht. $\alpha$ ist der Parameter deiner Symmetrietransformation und als solcher natürlich nicht von $t$ (oder $q, \dot{q}$) abhängig. Folglich gilt mit $q^{\alpha}(t) = q(t) + \alpha$ auch $\dot{q^{\alpha}}(t) = \dot{q}(t)$. Damit kannst du
\[
S[q^{\alpha}] = \int_{t_1}^{t_2} L(q^{\alpha}(t), \dot{q^{\alpha}}(t),t) \, \mathrm{d}t \tag{2}
\]
auswerten. Zeige, dass dann $(1)$ gilt, wobei der $O(\alpha^2)$-Term verschwindet und $R(q,t) = -G(t)$ für $G(t) = \int g(t) \, \mathrm{d}t$, d.h. $G$ ist eine beliebige Stammfunktion von $g$.
\quoteon(2022-12-04 18:41 - Lambda88 im Themenstart)
$\textbf{Aufgabe c}$
Hier bin ich mir leider nicht ganz sicher, aber ich würde jetzt einfach das mittlere Integral lösen $\int_{t_0}^{t_1} m\dot{q}\dot{\alpha}+g(t)\dot{\alpha} dt $ um die Erhaltungsgröße zu erhalten.
Ist das damit gemeint, oder wie bestimmt man die Erhaltungsgröße mithilfe des Noether-Theorems?
\quoteoff
Aus $(1)$ folgt einerseits
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} S[q^{\alpha}]\rvert_{\alpha = 0} = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} R(q(t),t) \, \mathrm{d}t. \tag{3}
\]
Andererseits erhält man durch direktes Ableiten von $(2)$ mit der inversen Produktregel
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} S[q^{\alpha}]\vert_{\alpha = 0} = \int_{t_1}^{t_2} \left[\delta q(t) \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial L}{\partial q}(q(t),\dot{q}(t),t)\right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\delta q(t) \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t),t)\right)\right]\, \mathrm{d}t, \tag{4}
\]
wobei $q^0(t) = q(t)$ und $\delta q(t) := \frac{\partial}{\partial \alpha} q^{\alpha}(t)\rvert_{\alpha = 0}$. Entlang einer physikalischen Trajektorie, i.e. einer Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung, verschwindet der erste Summand im Integranden von $(4)$. Definiert man nun die zur vorliegenden Symmetrietransformation zugehörige Noether-Ladung $Q$ als
\[
Q(q,\dot{q},t) := \delta q \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q},t) - R(q,t), \tag{5}
\]
so sieht man durch Gleichsetzen der rechten Seiten von $(3)$ und $(4)$ und ein paar Umformungen, dass entlang einer jeden physikalischen Trajektorie
\[
Q(q(t_1),\dot{q}(t_1),t_1) = Q(q(t_2),\dot{q}(t_2),t_2)
\]
für alle Zeitpunkte $t_1, t_2$ gilt, was nichts anderes bedeutet, als dass $Q$ entlang einer jeden physikalischen Trajektorie konstant, also eine Erhaltungsgröße ist.
Werte jetzt einfach $(5)$ im vorliegenden Fall aus. Zum selben Ergebnis kommst du in (d) dann auch direkt aus der Bewegungsgleichung des Systems, also aus der Euler-Lagrange-Gleichung.
LG,
semasch
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Lambda88
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-05
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Vielen Dank semasch für deine Hilfe und deine ausführliche Erklärung 👍👍👍
$\textbf{Aufgabe b}$
Die Aufgabe b muss also wie folgt lauten
$$[S^q]=\int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{2}m\dot{q}^2-g(t)*(q+\alpha)\ dt=[S]+\int_{t_0}^{t_1} -g(t)\alpha\ dt$$
und wie du schon geschrieben hast, folgt daraus, dass $R(q,t)=-G(t)$ sein muss.
$\textbf{Aufgabe c}$
Bei der Aufgabe c war ich mir nicht ganz sicher, bessert gesagt bei dem Term $\delta q \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} $ der Term $\delta q$ verwirrt micht etwas, aber ich bin wie folgt vorgegangen.
$Q(q,\dot{q},t)=\delta q \ m\ddot{q}+G(t)$
$\textbf{Aufgabe d}$
Bei der Aufgabe d habe ich wiederum mit $\frac{\partial L}{\partial q} -\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$ folgendes erhalten $-g(t)-m\ddot{q}=0$ was ja leider nicht ganz der Aufgabe c entspricht. Also denke ich mal, dass ich etwas bei der Aufgabe c falsch gemacht habe.
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semasch
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-06
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\quoteon(2022-12-05 16:50 - Lambda88 in Beitrag No. 2)
$\textbf{Aufgabe b}$
Die Aufgabe b muss also wie folgt lauten
$$[S^q]=\int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{2}m\dot{q}^2-g(t)*(q+\alpha)\ dt=[S]+\int_{t_0}^{t_1} -g(t)\alpha\ dt$$
und wie du schon geschrieben hast, folgt daraus, dass $R(q,t)=-G(t)$ sein muss.
\quoteoff
Ja, genau, es sollte allerdings $S[q^{\alpha}]$ bzw. $S[q]$ heißen, wie auch schon im Aufgabentext. Was du stattdessen geschrieben hast ist undefiniert bzw. macht keinen Sinn. $S$ ist ja ein Funktional, dass einer jeden (nicht notwendigerweise physikalischen, also bloß mathematischen) Trajektorie ihre Wirkung im Zeitintervall $[t_1, t_2]$ zuordnet und das Argument von $S$ ist also die Trajektorie, deren Wirkung interessiert.
Außerdem würde ich Multiplikationszeichen, so sie explizit geschrieben werden sollen, eher als $\cdot$ statt $*$ schreiben. Letztlich könntest du beim letzten Integral das $\alpha$ noch rausziehen, um genau die Form aus $(1)$ zu bekommen, aber das sind Kleinigkeiten.
\quoteon(2022-12-05 16:50 - Lambda88 in Beitrag No. 2)
$\textbf{Aufgabe c}$
Bei der Aufgabe c war ich mir nicht ganz sicher, bessert gesagt bei dem Term $\delta q \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} $ der Term $\delta q$ verwirrt micht etwas, aber ich bin wie folgt vorgegangen.
$Q(q,\dot{q},t)=\delta q \ m\ddot{q}+G(t)$
\quoteoff
Zwei Mankos: (i) $\delta q$ gehört hier natürlich noch ausgewertet und (ii) die Berechnung von $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q},t)$ ist auch schiefgegangen.
Zu (i): $(q^{\alpha})_{\alpha}$ ist eine Familie von Trajektorien, die um eine gegebene Trajektorie $q$ zentriert ist, d.h. $q^0 = q^{\alpha}\rvert_{\alpha = 0} = q$. Insbesondere ist also $q^{\alpha}(t)$ eine Funktion der beiden Variablen $t$ und $\alpha$. Um nun $\delta q$, zu bestimmen, ist einfach, wie aus der Analysis bekannt, diese Funktion gemäß $\delta q(t) := \frac{\partial}{\partial \alpha} q^{\alpha}(t)\rvert_{\alpha = 0}$ für alle $t$ durch partielles Ableiten nach $\alpha$ und nachfolgendes Auswerten bei $\alpha = 0$ zu bestimmen. Probier das mal.
Zu (ii): Überleg dir nochmal, was denn $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q},t)$ ergibt. Bei der Auswertung der Euler-Lagrange-Gleichung weiter unten scheints ja richtig funktioniert zu haben.
\quoteon(2022-12-05 16:50 - Lambda88 in Beitrag No. 2)
$\textbf{Aufgabe d}$
Bei der Aufgabe d habe ich wiederum mit $\frac{\partial L}{\partial q} -\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$ folgendes erhalten $-g(t)-m\ddot{q}=0$ was ja leider nicht ganz der Aufgabe c entspricht. Also denke ich mal, dass ich etwas bei der Aufgabe c falsch gemacht habe.
\quoteoff
Das stimmt so. Multiplizier jetzt erstmal die linke Seite mit $-1$, um die störenden Minuszeichen loszuwerden. Versuche dann, z.B. durch angestrengtes Hinsehen, die linke Seite als totale Zeitableitung einer Funktion von $q, \dot{q}, t$ zu erkennen. Folgere, dass diese Funktion eine Erhaltungsgröße sein muss. Wenn du (c) gemacht hast, wirst du sehen, dass es sich um dieselbe Erhaltungsgröße wie dort handelt.
LG,
semasch
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Lambda88
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06
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Nochmals vielen Dank für deine Hilfe semasch und deine ausführlichen Erklärungen, jetzt macht das ganze Thema schon viel mehr Sinn 👍👍👍
Ich habe bei der Aufgabe a den falschen Formalismus nun korrigiert.
Dann fehlt nur noch die Aufgabe b 😃
Die Erhaltungsgröße kann man also mithilfe der folgenden Formel $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{\partial q^{\alpha}}{\partial \alpha}\bigg \vert_{\alpha=0}-R(q,t)$ berechnen
Die einzelnen Terme lauten dann wie folgt
$$R(q,t)=-G(t)$$
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}$$
$$q^{\alpha}=q+\alpha \rightarrow \frac{\partial q^{\alpha}}{\partial \alpha}\bigg \vert_{\alpha=0}=1 $$
Zusammengesetzt ergibt, dass $m\dot{q} - G(T)$
Stimmt das so?
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semasch
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-07
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Fast, es sollte $Q = m \dot{q} + G(t)$ sein, aber sonst ist das alles richtig.
LG,
semasch
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Lambda88
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-07
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Stimmt, das Minus beim $-G(t)$ hatte ich vergessen 😃
Nochmals vielen vielen Dank semasch für deine Hilfe und deine Erklärungen 👍👍👍👍
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