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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erwartungswert geometrische Verteilung / Poisson-Verteilung
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Universität/Hochschule J Erwartungswert geometrische Verteilung / Poisson-Verteilung
Sekorita
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  Themenstart: 2022-12-06

Hallo, die beiden o.g. Erwartungswerte konnte ich jeweils berechnen. Mein problem besteht nur darin folgende Teilaufgaben zu lösen. Ich soll die Gleichung ja für alle s zeigen. Teilaufgabe 1 würde ich so deuten, also bei der geometrischen Verteilung: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Hilfe_13.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Hilfe_13.3.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Hilfe_13.2.JPG E(s^X) = s^1 * P(X=1) + s^0 * P(X=0), ähnlich wie bei der Bernoulli Verteilung, da meine geometrische Verteilung ja nur den ersten zeitpunkt des Erfolges eines bernoulli Experimentes angibt. Ich habe bloß Probleme P(X=1) und P(X=0) zu fassen, bzw. umzuschreiben. P(X=1) gibt ja die WS des Erfolges an. Aber generell verstehe ich nicht, wieso s \el\ [0,1] und ib dieser Ansatz überhaupt richtig ist. Aufgabe b) Ich weiß auch, dass eine Poisson Verteilung um eine Binomialverteilung mit sehr großer Versuchsl¨ange und sehr kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit handelt und die oben definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Aber auch hier fällt mir der Umgang mit den Verteilungen noch ziemlich schwer


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-06

Hi :) Ich bleibe mal bei der geometrischen Verteilung. Das könnte zum Beispiel die Anzahl der Versuche sein eine 6 zu würfeln. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Versuch eine 6 zu würfeln ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit beim $n$-ten Versuch eine 6 zu würfeln und bei allen anderen davor keine 6 zu würfeln ist $(\frac 56)^{n-1}\cdot \frac 16$. Dass $X\geq 1$ ist, ist also durchaus sinnvoll. Wir erhalten nun in diesem speziellen Fall \[ E[s^X]=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac 56\right)^{n-1}\cdot \frac 16\cdot s^n. \] Nutze die geometrische Reihe. Und ersetze 1/6 durch $p$ bzw. 5/6 durch $1-p$


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Sekorita
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-06

Hallo, das ersetze ich jeweils, weil p ja für meinen Erfolg steht und 1-p für den Misserfolg, oder? Es müsste sich dann ergeben : E[s^X] = sum((1-p)^(n-1) * p * s^n,n=0,\inf ) Das p kann ich aus der Summe rausziehen und da 1-p < 1 und s \el\ [0,1] ist, gilt: sum((1-p)^(n-1) * p * s^n,n=0,\inf ) = p* sum((1-p)^(n-1) * s^n,n=0,\inf ) = lim(n->\inf,p* sum((1-p)^(n-1) * s^n,n=0,n )) Jetzt stocke ich aber, denn ich möchte die geometrische Reihe anwenden. aber mein 1-p und mein s^n haben nicht dn gleichen Exponenten, weswegen ich sie nicht zusammen ziehen kann und die geometrische reihe einfach anwenden kann... Wo ist mein Fehler ?


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luis52
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-07

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-12-06 21:45 - Sekorita in Beitrag No. 2) Wo ist mein Fehler ? \quoteoff Moin, $(1-p)^{n-1}s^n=\dfrac{(1-p)^{n}}{1-p}s^n$ ... vg Luis\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-07

Oh man...... lim(n->\inf,p* sum((1-p)^(n-1) * s^n,n=0,n )) = lim(n->\inf,p* sum(((1-p)^n / (1-p)) * s^n,n=0,n )) = lim(n->\inf,p* sum(((1-p)*s)^n / (1-p)) ,n=0,n )) = lim(n->\inf,p* sum(((s-sp)^n / (1-p)) ,n=0,n )) aber hier stocke ich wieder, weil ich die geometrische Reihe ja immer noch nicht anwenden darf


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luis52
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-07

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-12-07 13:53 - Sekorita in Beitrag No. 4) aber hier stocke ich wieder, weil ich die geometrische Reihe ja immer noch nicht anwenden darf \quoteoff Nimm besser einen anderen Laufindex: \[\sum_{k=0}^n\frac{(s(1-p))^k}{1-p}=\frac{1}{1-p}\sum_{k=0}^n(s(1-p))^k\] Wie muss $s$ gewaehlt werden, damit der Grenzwert existiert? vg Luis \(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-10

Hallo, abs(s) muss kleiner 1 sein, das ist aber ja schon per Vorraussetzung der Fall, ebenso ist 0<1-p<1 , also ist auch abs(s(1-p)) < ^1. Mit der Konvergenz der geometrischen Reihe gegen 1/(1-q) folgt dann lim(n->\inf,p* 1/(1-p)* sum((s*(1-p)^k),k=0,n)) = p/(1-p) * 1/(1-s*(1-p)) aber so habe ich immer noch nicht mein gewünschtes Ergebnissss


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luis52
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-10

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-12-10 09:55 - Sekorita in Beitrag No. 6) aber so habe ich immer noch nicht mein gewünschtes Ergebnissss \quoteoff Moin, ich habe deinen Start oben nicht ueberprueft. Es gibt zwei Formen der geometrischen Verteilung, siehe mal hier. Bei deinem Ansatz muss die Summe bei $n=1$ beginnen, nicht bei $n=0$. vg Luis \(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-10

Jetzt sollte ich es haben : lim(n->\inf,p* sum((1-p)^(k-1) * s^k,k=1,n )) = lim(n->\inf,p* sum((1-p)^(k) * s^(k+1),k=0,n )) = lim(n->\inf,p*s* sum((1-p)^(k) * s^(k),k=0,n )) = lim(n->\inf,p*s* sum(((1-p) * s)^k,k=0,n )) und abs(((1-p)*s)) < 1 liefert die Konvergenz der geometrischen Reihe: lim(n->\inf,p*s* sum(((1-p) * s)^k,k=0,n )) = (p*s) * 1 /(1-(1-p)*s = (s*p) /(1-s(1-p)) Wenn du zeit und Lust hast hätte ich noch ein paar Verständnisprobleme bei dem bedingten Erwartungswert... Ich tue mich schwer die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen dort zu benutzen und Folgerungen aufzustellen


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luis52
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-10

\quoteon(2022-12-10 12:32 - Sekorita in Beitrag No. 8) Wenn du zeit und Lust hast hätte ich noch ein paar Verständnisprobleme bei dem bedingten Erwartungswert... \quoteoff Schaun mer mal. Flansch dich aber bitte nicht an diesen Thread an, sondern beginne einen neuen. Hat sich Aufgabenteil 7.3 oben erledigt? vg Luis


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Sekorita
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-10

Ich kann meinen bereits erstellten Thread irgendwie nicht verlinken. Si, 7.3 hat sich erledigt, danke :)


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Sekorita
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-11

hier Vielleicht kann sich jemand dieser Aufgabe noch annehmen, bis morgen früh, muss ich sie leider schon abgegeben haben...


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