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 Lösbarkeit simultaner Kongruenzen |
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Der_Mathe_Student
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Dabei seit: 10.12.2022
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2022-12-10
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Hallo,
ich hänge gerade an einer Aufgabe und bräuchte Hilfe einen passenden Ansatz zu finden. Vielen Dank!
Gegeben seien a, b ∈ Z und n, m ∈ N. Sei d = ggT(n, m) und y, z ∈ Z so, dass yn+zm = d. Wir betrachten die simultanen Kongruenzen
x ≡ a mod n und x ≡ b mod m.
zu zeigen:
Im Falle der Lösbarkeit ist die simultane Kongruenz äquivalent zu der einfachen Kongruenz
x ≡ a − yn (a − b)/d mod(mn/d)
Ich kann verwenden: Die Kongruenz ist genau dann lösbar wenn a ≡ b mod d.
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-10
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Hallo Der_Mathe_Student,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Hast du dir schon irgend etwas überlegt? Es ist wahrscheinlich weniger kompliziert als es erst mal aussieht. Du musst ja drei Sachen zeigen (klar wieso?):
1) $x\equiv a−yn\frac{a-b}d\mod\frac{mn}d\implies x\equiv a\mod n$
2) $x\equiv a−yn\frac{a-b}d\mod\frac{mn}d\implies x\equiv b\mod m$
3) $(x\equiv a\mod n\wedge x\equiv b\mod m)\implies x\equiv a−yn\frac{a-b}d\mod\frac{mn}d$
1) ist sehr einfach
Zu 2) Zeige, dass $a−yn\frac{a-b}d=b+zm\frac{a-b}d$
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Der_Mathe_Student
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-11
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Hallo StrAltEntf,
vielen Dank für deine Nachricht.
Also 1) habe ich schon mal, bei 2) habe ich aber noch meine Schwierigkeiten, ich glaube ich stehe da irgendwo auf dem Schlauch, wie ich das zeigen soll.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-11
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\quoteon(2022-12-11 20:12 - Der_Mathe_Student in Beitrag No. 2)
bei 2) habe ich aber noch meine Schwierigkeiten, ich glaube ich stehe da irgendwo auf dem Schlauch, wie ich das zeigen soll.
\quoteoff
Verwende yn + zm = d. Dann steht es praktisch da.
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Der_Mathe_Student
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Dabei seit: 10.12.2022
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-11
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Oh ja jetzt seh ich es auch 😁.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-11
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Hast du auch eine Idee zu 3?
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Der_Mathe_Student
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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Um ehrlich zu sein bin ich da gerade auch etwas ratlos 🤔
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Nuramon
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Mitteilungen: 3693
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Vielleicht hilft es die Aufgabe etwas umzuformulieren:
Zeige, dass $\IZ/\frac{mn}d\IZ \to \IZ/m\IZ\times \IZ/n\IZ, r + \frac{mn}d\IZ \mapsto ( r+ m\IZ, r + n\IZ)$ einen injektiven Ringhomomorphismus definiert.
Kommst Du damit weiter?\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-12-13
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Oder so:
Zeige
a) $x\equiv a\mod n\implies x\equiv a−yn\frac{a-b}d\mod n$
b) $x\equiv b\mod m\implies x\equiv a−yn\frac{a-b}d\mod m$
c) $x\equiv c\mod n\wedge x\equiv c\mod m\implies x\equiv c\mod\frac{mn}d$
Um b) zu zeigen, verwende wieder $a−yn\frac{a-b}d=b+zm\frac{a-b}d$
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